5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

1、5/5【新教材】5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角和弧度制，任意角的三角函數(shù)后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)內(nèi)容，是求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個(gè)三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時(shí)，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。課程目標(biāo)1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；2.邏輯推理： “sin cos ”同“sin cos ”間的關(guān)系；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)

2、系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明重點(diǎn)：理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用； 難點(diǎn)：會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入公式一表明終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？ 要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本182-183頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪兩種？2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式適合任意角嗎？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出

3、代表回答問(wèn)題。三、新知探究1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2 cos2 1.商數(shù)關(guān)系：eq f(sin ,cos )tan_eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kZ).(2)語(yǔ)言敘述：同一個(gè)角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切思考：“同角”一詞的含義是什么？提示一是“角相同”，如sin2cos21就不一定成立二是對(duì)任意一個(gè)角(在使得函數(shù)有意義的前提下)，關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)式形式無(wú)關(guān)，如sin215cos2151，sin2eq f(,19)cos2eq f(,19)1等四、典例分析、舉一反三題型一 應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值例1 (1)若，求co

4、s ，tan 的值；(2)已知cos eq f(8,17)，求sin ，tan 的值【答案】(1)當(dāng)是第三象限角時(shí)，cos eq f(4,5)，tan .是第四象限角時(shí)，cos eq f(4,5)，tan -(2)如果是第二象限角，那么sin eq f(15,17)，tan eq f(15,8).如果是第三象限角， sin eq f(15,17)，tan eq f(15,8).【解析】(1)sin eq f(3,5)，是第三、第四象限角，當(dāng)是第三象限角時(shí)，cos eq r(1sin2)eq f(4,5)，tan eq f(sin ,cos ).是第四象限角時(shí)，cos eq r(1sin2)eq

5、 f(4,5)，tan eq f(sin ,cos )-(2)cos eq f(8,17)0，是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(8,17)sup12(2)eq f(15,17)，tan eq f(sin ,cos )eq f(f(15,17),f(8,17)eq f(15,8).如果是第三象限角，同理可得sin eq r(1cos2)eq f(15,17)，tan eq f(15,8).解題技巧：（利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問(wèn)題的方法）(1)已知角的某一種三角函數(shù)值，求角的其余三角函數(shù)值，要注

6、意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系(2)若角所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一組結(jié)果；若角所在的象限不確定，應(yīng)分類(lèi)討論，一般有兩組結(jié)果提醒：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求值的符號(hào)跟蹤訓(xùn)練一1已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值【答案】角的終邊在第二象限時(shí)，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10)；當(dāng)角的終邊在第四象限時(shí)，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10).【解析】sin 3cos 0，sin 3cos .又sin2cos21，

7、(3cos )2cos21，即10cos21，cos eq f(r(10),10).又由sin 3cos ，可知sin 與cos 異號(hào)，角的終邊在第二或第四象限當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10)；當(dāng)角的終邊在第四象限時(shí)，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10).題型二 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值例2(1)化簡(jiǎn)：eq f(r(12sin 130cos 130),sin 130r(1sin2130)；(2)若角是第二象限角，化簡(jiǎn)：tan eq r(f(1,sin2)1).【答案】（1）1；

8、 （2）-1.【解析】(1)原式eq f(r(sin21302sin 130cos 130cos2130),sin 130r(cos2130)eq f(|sin 130cos 130|,sin 130|cos 130|)eq f(sin 130cos 130,sin 130cos 130)1.(2)原式tan eq r(f(1sin2,sin2)tan eq r(f(cos2,sin2)eq f(sin ,cos )eq f(|cos |,|sin |)，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以sin 0，cos 0，所以原式eq f(sin ,cos )eq f(|cos |,|sin |)eq f(sin

9、,cos )eq f(cos ,sin )1.解題技巧：(化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法)1、切化弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)種類(lèi)以便化簡(jiǎn).2、對(duì)含有根號(hào)的，常把根號(hào)下式子化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的3、對(duì)于化簡(jiǎn)高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或用“1”的代換，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)目的.提醒：在應(yīng)用平方關(guān)系式求sin 或cos 時(shí)，其正負(fù)號(hào)是由角所在的象限決定，不可憑空想象.跟蹤訓(xùn)練二1化簡(jiǎn)：(1)eq f(cos 36r(1cos236),r(12sin 36cos 36)；(2)eq f(sin cos ,tan 1).【答案】(1)1；(2)

10、 cos .【解析】(1)原式eq f(cos 36r(sin236),r(sin236cos2362sin 36cos 36)eq f(cos 36sin 36,r(cos 36sin 362)eq f(cos 36sin 36,|cos 36sin 36|)eq f(cos 36sin 36,cos 36sin 36)1.(2)原式eq f(sin cos ,f(sin ,cos )1)eq f(cos sin cos ,sin cos )cos .題型三 三角函數(shù)式的證明例3 求證：.【解析】解題技巧：（三角函數(shù)式解題思路及解題技巧）1證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般

11、由繁到簡(jiǎn)；(2)左右開(kāi)弓，即證左邊、右邊都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)2常用的技巧有：(1)巧用“1”的代換；(2)化切為弦；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式)3解決此類(lèi)問(wèn)題要有整體代換思想跟蹤訓(xùn)練三1求證：eq f(12sin xcos x,cos2xsin2x)eq f(1tan x,1tan x).【解析】證明：右邊eq f(1f(sin x,cos x),1f(sin x,cos x)eq f(cos xsin x,cos xsin x)eq f(12sin xcos x,cos2xsin2x)左邊，原等式成立題型四 “sin cos ”同“sin cos ”間的關(guān)系例

12、4 已知sin cos eq f(1,5)，且0.求：(1)sin cos 的值；(2)求sin cos 的值【答案】(1)eq f(12,25)； (2)eq f(7,5).【解析】證明：(1)sin cos eq f(1,5)，(sin cos )2eq f(1,25)，12sin cos eq f(1,25)，即sin cos eq f(12,25).(2)(sin cos )212sin cos 1eq f(24,25)eq f(49,25).又0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos eq f(7,5).解題方法（ “sin cos ”同“

13、sin cos ”間的關(guān)系）1、已知sin cos 求sin cos ，只需平方便可2、已知sin cos 求sin cos 時(shí)需開(kāi)方，此時(shí)要根據(jù)已知角的范圍，確定sin cos 的正負(fù)跟蹤訓(xùn)練四1.已知sin cos eq f(7,13)，(0，)，則tan 2.已知eq f(sin cos ,sin cos )2，計(jì)算下列各式的值：(1)eq f(3sin cos ,2sin 3cos )；(2)sin22sin cos 1.1、【答案】eq f(12,5).【解析】法一：(構(gòu)建方程組)因?yàn)閟in cos eq f(7,13)，所以sin2cos22sin cos eq f(49,169)

14、，即2sin cos eq f(120,169).因?yàn)?0，)，所以sin 0，cos 0.所以sin cos eq r(（sin cos ）2)eq r(12sin cos )eq f(17,13).由解得sin eq f(12,13)，cos eq f(5,13)，所以tan eq f(sin ,cos )eq f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sin cos eq f(60,169)，eq f(sin cos ,sin2cos2)eq f(60,169)，eq f(tan ,tan21)eq f(60,169)，整理得60tan2169tan 600，解得tan eq f(5,12)或tan eq f(12,5).由sin cos eq f(7,13)0知|sin |cos |，故tan eq f(12,5).2.【答案】（1）eq f(8,9)；(2)eq f(13,10).【解析】由eq f(sin cos ,sin cos )2，化簡(jiǎn)得sin 3cos ，所以tan 3.（1）法一(換元)原式eq f(33cos cos ,23cos 3cos )eq f(8cos ,9cos )eq f(8,9).法二(弦化切)原式eq f(3tan 1,2tan 3)eq f(331,233)eq f(8,9).(2)原式eq f(s