2023屆廣西高三上學(xué)期西部聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 （解析版）

1、PAGE 第4頁(yè)2023屆高三年級(jí)西部聯(lián)考卷理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng):1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。2.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。3.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4.回答選考題時(shí),考生須按照題目要求作答,并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。5.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并收回。一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的.1. 已知集合, 則A. B. C. D. 2. 已知復(fù)數(shù)滿足, 則復(fù)數(shù)的虛部是A. B. C. ID. 13. 4個(gè)人排成一排, 則甲不站兩邊的概率為A. B. C. D. 4. 在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中, 若, 則A. 39B. 40C. 41D. 425. 已知某種食品保鮮時(shí)間與儲(chǔ)存溫度有關(guān), 滿足函數(shù)關(guān)系（為保鮮時(shí)間,為儲(chǔ)存溫度), 若該食品在冰箱中的保鮮時(shí)間是144 小時(shí),在常溫的保鮮時(shí)間是48 小時(shí), 則該食品在高溫的保鮮時(shí)間是A. 16 小時(shí)B. 18 小時(shí)C. 20 小時(shí)D. 24 小時(shí)6. 右圖是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一個(gè)銅鏃,其由兩部分組成,前段是高為、底面邊長(zhǎng)為1cm的正三棱錐

3、, 后段是高為0.6cm的圓柱, 圓柱底面圓周與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切, 則此銅鏃的體積約為A. B. C. D. 7. 已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn), 半徑為 2 , 若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng), 則的最大值為A. 1B. C. D. 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖, 則輸出的值為A. 11B. 12C. 13D. 149. 如圖, 在平面四邊形中, , 現(xiàn)將沿折起, 并連接, 使得平面平面, 若所得三棱錐的外接球的表面積為, 則三棱錐的體積為A. B. C. D. 10. 已知當(dāng)時(shí), 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn), 則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 11. 如圖 1 所示, 雙曲線具有

4、光學(xué)性質(zhì): 從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射, 其反 射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn). 若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為 , 從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖 2 中的兩點(diǎn)反射后, 分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和, 且, 則雙曲線的離心率為A. B. C. D. 12. 已知函數(shù), 則下列結(jié)論正確的是A. 是奇函數(shù)B. 的最大值為 2C. D. 二、填空題: 本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分.13. 已知非零向量滿足,且,則與的夾角為_(kāi).14. 在等比數(shù)列中, 若, 則_.15. 已知, 則_.16. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, 離心率為為橢圓的左頂點(diǎn), 且, 過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn), 則的取值范圍

5、為_(kāi).三、解答題: 共 70 分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 第 題為必考題, 每個(gè) 試題考生都必須作答. 第 22、23題為選考題, 考生根據(jù)要求作答.(一) 必考題:共 60 分.17. (本小題滿分 12 分)在中, 內(nèi)角所對(duì)的邊分別為, 且.(1) 若, 求 ;(2) 若為邊上一點(diǎn), 且, 求的面積.18. (本小題滿分 12 分)如圖, 在三棱柱中, 平面平面, 四邊形是菱形, 是的中點(diǎn).(1) 證明: 平面;(2) 求二面角的正弦值.19. (本小題滿分 12 分)我國(guó)出現(xiàn)了新冠疫情后, 醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥, 并對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治. 現(xiàn)有6位癥狀相

6、同的確診患者,分成兩組,組3人, 服用甲種中藥,組3人, 服用乙種中藥. 服藥一個(gè)療程后,組中每人康復(fù)的概率都為, 組3人康復(fù)的概率分別為.(1) 設(shè)事件表示組中恰好有 1 人康復(fù),事件表示組中恰好有 1 人康復(fù), 求;(2) 求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.20. (本小題滿分 12 分)已知函數(shù), 其中為非零實(shí)數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn), 且, 證明:.21. (本小題滿分 12 分)已知拋物線(為正常數(shù)) 的焦點(diǎn)為是拋物線上任意一點(diǎn), 圓的方程為 的最小值為 4 .(1) 求的值;(2) 過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線分別與拋物線相交于點(diǎn) (異于點(diǎn)), 證明: 直線也始終與圓相切

7、.(二)選考題: 共10分.請(qǐng)考生在第 22 、23題中任選一題作答. 如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22. (本小題滿分 10 分) 選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中, 曲線的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)). 以坐標(biāo)原為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸, 建立極坐標(biāo)系, 則曲線的極坐標(biāo)方程為.(1) 分別求曲線和曲線在平面直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 若曲線和曲線相交于兩點(diǎn), 求.23. (本小題滿分 10 分) 選修 4-5:不等式選講已知均為正數(shù), 且滿足. 證明:(1) ;(2) 答案第 = page 14 14頁(yè)，共 = sectionpages 15 15頁(yè)答案第 = pag

8、e 15 15頁(yè)，共 = sectionpages 15 15頁(yè)參考答案：1B【分析】分別解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式，求得集合，進(jìn)而利用交集的定義求得.【詳解】A，則.故選：B2D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合i的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算求得復(fù)數(shù)，可得答案.【詳解】由可得，則復(fù)數(shù)的虛部是1,故選;D3C【分析】利用全排列求出基本事件總數(shù)，再求出甲不站兩邊的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意4個(gè)人排成一排基本事件總數(shù)為種，其中滿足甲不站兩邊的有種，所以所求概率.故選：C4B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗裕?故選：B5A【分析】根據(jù)已知條件

9、列出方程組，整體求得，然后整體代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，得，即， 于是當(dāng)時(shí)，（小時(shí)）.故選：A6D【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為r，再分別利用三棱錐體積與圓柱體積公式即可求出總體積.【詳解】因?yàn)檎忮F的底面邊長(zhǎng)為1，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法，可得：，解得：，所以其內(nèi)切圓半徑為.由三棱錐體積與圓柱體積公式可得：.故選：D.7D【分析】由題設(shè)得圓心軌跡為，且直線必過(guò)圓心，即直線與圓心軌跡有交點(diǎn)，利用點(diǎn)線距離求參數(shù)范圍即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，又圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓心必在直線上，所以與有交點(diǎn)，則，解得，故的最大值為.故選：D8C【分析】根據(jù)程序框圖的意義，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)

10、的關(guān)系，求得答案.【詳解】由，得到，當(dāng)從1一直取到最后一個(gè)小于等于4100的數(shù)，且實(shí)數(shù)為整數(shù)的值時(shí)，計(jì)數(shù)這樣的情況的次數(shù)，即為最后輸出的的值.由，可得輸出的值為13.故選：C9C【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理可以證得為直角，又為直角，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得到外接球的球心為斜邊AB的中點(diǎn)，然后根據(jù)球的面積公式求得球的半徑，進(jìn)而計(jì)算求得三棱錐的體積.【詳解】平面ACD平面ABC，平面ABC平面BCD=AC，ACBC，BC平面ABC，BC平面ACD，又AD平面ACD，ADBC，又ADDC，BCDC=C，BC平面BCD，DC平面BCD，AD平面BCD，又BD平面BCD，ADBD

11、，即為直角，又為直角，取的中點(diǎn)，連接OC，OD，由直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)OA=OB=OC=OD，可得為三棱錐外接球的球心，由三棱錐外接球的表面積為，可得外接球的半徑，BC平面ACD，為直角，三棱錐的體積為故選：C10A【分析】先將與有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析的圖像，數(shù)形結(jié)合可得與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可知，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，故，當(dāng)，故；當(dāng)時(shí)，故，如圖；所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A.11B【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量數(shù)量

12、積為0的條件，判定，結(jié)合已知條件得到，設(shè)出，表示出直角三角形的其余邊，結(jié)合雙曲線的定義表示出，利用建立方程求得，進(jìn)而求得，然后利用勾股定理求得，從而得到，從而得到離心率的值.【詳解】如圖，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨設(shè)，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，根據(jù)可得，解得，所以，在Rt中，可得，故雙曲線的離心率為.故選：B.12D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)直接可得判斷A選項(xiàng)，利用反證法可判斷B選項(xiàng)，分別計(jì)算并化簡(jiǎn)與可判斷C，D選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若時(shí)，由，有，必有，這是不可能的，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)，故選項(xiàng)D正確，故選：D.1

13、3【分析】根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的公式求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，又，故故答案為：1424【分析】根據(jù)的值，利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算求得，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)公比為，有，可得.故答案為：2415#0.8【分析】由正切的差角公式求得的值，再用誘導(dǎo)公式將式子化簡(jiǎn)，結(jié)合二倍角公式化為齊次式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以則故答案為:16【分析】根據(jù)已知先求出的值，記，得到，記，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解.【詳解】解：由題可知，即，又由題可知，記，則，記，則在上恒成立，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，.故答案為：17(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正

14、弦公式可得，即得A，從而求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合可推得，利用向量表示出，結(jié)合可求得，利用三角形面積公式即可求得答案.（1）由根據(jù)正弦定理得：，即，故，因?yàn)?，所以，所以，且，所以，故若，則；（2）在中，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，即，解得（舍去?因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，所以的面積.18(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，先證平面，得，再由，得，即可得到平面（2）連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出面，面的法向量，求得法向量的余弦值，即可得二面角的正弦值.（1）連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，?/p>

15、面平面平面，所以平面，平面，所以.因?yàn)椋?，所?又，平面，平面，所以平面；（2）連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?設(shè)，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量是，則，取，可得.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得所以，因此，二面角的正弦值是.19(1)(2)【分析】（1）利用二項(xiàng)分布概率公式求得,利用獨(dú)立、互斥事件的概率公式求得,進(jìn)而利用的獨(dú)立性求得；（2）先仿照（1）中的方法求得A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)的分布列和B組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)的分布列，再根據(jù)獨(dú)立、互斥事件概率公式計(jì)算A組康復(fù)人數(shù)比B組康復(fù)人數(shù)多的概率

16、.（1）解：依題意有，又事件與相互獨(dú)立，則；（2）解：設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則，設(shè)組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為，A組康復(fù)人數(shù)比B組康復(fù)人數(shù)多的概率20(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)求導(dǎo)，得，分、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)并確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)由題意可得，則有，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，只需故即可.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，則，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，舍去.則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)

17、遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明：因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，由（1）知當(dāng)時(shí)，所以且，因?yàn)?，所以，所以，要證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，故，即.21(1)2；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)的幾何意義，結(jié)合拋物線性質(zhì)有，即可得答案；（2）設(shè)，根據(jù)已知得是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且為，由直線與圓的相切關(guān)系及分析法判斷是否恒成立即可.（1）表示到圓心與焦點(diǎn)距離和，即到圓心與拋物線準(zhǔn)線距離和，所以最小為到拋物線準(zhǔn)線距離，則，可得.（2）由（1）知：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則的斜率為，直線為，整理為，得，由直線與圓相切有，整理為，同理，所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，故.直線為，若直線也始終與圓相切，則，故直線也始終與圓相切.22(1)曲線；曲線(2)【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可求