微積分課件：第18講 不定積分的概念與性質(zhì)

1、24 九月 20221第十八講 內(nèi)容第一節(jié)、不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)、換元積分法24 九月 20222第一節(jié)、不定積分的概念與性質(zhì)24 九月 20223例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念24 九月 20224原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1) 原函數(shù)是否唯一？例（ 為任意常數(shù)）(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？24 九月 20225關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，（2）若 和 都是 的原函數(shù)，則（ 為任意常數(shù)）證（ 為任意常數(shù)）24 九月 20226任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量24 九月 20227例1 求解解例2 求24

2、 九月 20228例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為24 九月 20229顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.24 九月 202210實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、 基本積分表24 九月 202211基本積分表是常數(shù));說(shuō)明：簡(jiǎn)寫(xiě)為24 九月 20221224 九月 20221324 九月 202214例4 求積分解根據(jù)積分公式（2）24

3、 九月 202215證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、 不定積分的性質(zhì)24 九月 202216例5 求積分解24 九月 202217例6 求積分解24 九月 202218例7 求積分解24 九月 202219例8 求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.24 九月 202220解所求曲線方程為24 九月 20222124 九月 20222224 九月 202223基本積分表(1)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、 小結(jié)24 九月 202224符號(hào)函數(shù)在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？思考題24 九月 2

4、02225思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以 在 內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個(gè)含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).24 九月 202226第二節(jié)、換元積分法課件制作：汪光先 戴中寅 徐聰敏24 九月 202227問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類(lèi)換元法24 九月 202228在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理24 九月 202229第一類(lèi)換元公式（湊微分法）說(shuō)明此公式的關(guān)鍵在于可以將不定積分定理124 九月 202230例1 求解（一）解（二）解（三）24 九月 202231例2 求解一般地24 九月 202232例3 求解24 九月 202233例4 求解24 九月