電阻電路的一般分析

1、電阻電路的一般分析1第1頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五故事故事18世紀，在東普魯士的哥尼斯堡。 人們長期議論：能否從任一塊陸地出發(fā)，走遍七橋而且每橋只走一次？這就是數(shù)學(xué)界的著名的一、七橋難題：CDBA2第2頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五 1736年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉針對這個問題發(fā)表了依椐幾何位置的解題方法。一筆畫問題歐拉提出要實現(xiàn)一筆畫的三條通用的判定規(guī)則：圖必須都是連通的；每個頂點所關(guān)聯(lián)的邊都要為偶數(shù)；這時才能回到原來的出發(fā)點；若其中僅有兩個頂點的相關(guān)邊是奇數(shù)，則必須從一頂點出發(fā)，經(jīng)過所有的邊以后而達到另一個頂點。一、七橋難題：DABC3第3

2、頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五二、環(huán)球旅行：三、平面圖和非平面圖的問題： 1857年英國數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)明了一種稱之為 20 的環(huán)球旅行的游戲。哈密頓圈：尋求一個回路，必須經(jīng)過每個頂點且只經(jīng)過一次，而邊的次數(shù)不限，也可以不經(jīng)過邊。歐拉路：尋求一條路徑，必須經(jīng)過圖中的每一條邊且只經(jīng)過一次，而頂點經(jīng)過的次數(shù)不限。五個王子的故事。4第4頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五四、四色定理：1852年，英國哥斯尼提出用四種顏色對地圖著色的問題。 1878年，英國數(shù)學(xué)家凱萊在倫敦的一次國際數(shù)學(xué)會議上提出四色問題是否可以證明，才引起世人的關(guān)注。 化為圖形問題就是國家

3、為頂點，相鄰則有邊相連接，要證明只需四種顏色，就可使相鄰頂點具有不同的顏色。 1890年，赫伍德證到五種顏色。 1969年，有人在有40多個國家的地圖上證明了四色問題。 1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在3臺不同的電子計算機上，用了1200小時（50晝夜），宣布證明了四色問題，從此，稱之為四色定理。 上面我們討論的是一個古老的、重要的、又是在近30年來發(fā)展十分活躍的一個數(shù)學(xué)分支 圖論。 圖論是研究運動圖形的不變的規(guī)律的數(shù)學(xué)。一維圖論稱為拓撲學(xué)。5第5頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五3-1 電路的拓撲圖+_uS1iS2R1R6R5R4R3R23-1 電路的拓撲圖一、拓撲

4、圖：1、圖G：2、子圖G1：很多個結(jié)點（頂點）、支路（線段）的集合。 每條支路的兩端都聯(lián)到相應(yīng)的結(jié)點上，結(jié)點和支路各自成一個整體，任一條支路必須終止在結(jié)點，但允許獨立的結(jié)點存在。支路或結(jié)點數(shù)少于圖G的圖。3、連通圖：圖G的任意兩個結(jié)點之間至少有一條路徑相通。4、有向圖：所有的支路都有方向的圖。 每條支路都可指定一個方向，即為支路電流和支路電壓的參考方向。6第6頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五8765432187657542876528526531二、樹：1、樹的定義：一個連通圖的樹，具備三要素：樹為連通圖；包含原圖的所有結(jié)點；樹本身不構(gòu)成回路。7第7頁，共40頁，202

5、2年，5月20日，8點12分，星期五2、樹支和連支：樹支：樹中包含的支路；連支：除樹支以外的其它支路稱為對應(yīng)于該樹的連支。3、樹支數(shù)和連支數(shù)：結(jié)點數(shù)：n 個；支路數(shù)：b 條。樹支數(shù)： n-1; 連支數(shù)：b-(n-1)。n=2n=3n=4樹支數(shù)：1樹支數(shù)：2樹支數(shù)：38第8頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五3-2 KL的獨立方程數(shù)3-2 KL的獨立方程數(shù)654321一、KCL的獨立方程數(shù)：對結(jié)點1，列KCL方程（令流出為正）結(jié)點2，結(jié)點3，結(jié)點4，此電路可列且只可列 (4-1)個彼此獨立的KCL方程。而電路有(4-1)個獨立結(jié)點。結(jié)論：四個方程有且僅有任意三個獨立。 推廣，

6、有 n 個結(jié)點的電路可列且僅可列出 n-1 個獨立結(jié)點方程。i1-i4-i6=0-i1-i2+i3=0i2+i5+i6=0-i3+i4-i5=0i3-i4+i5=09第9頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五 把兩個小回路組合起來構(gòu)成了另一個回路時，這兩個小回路的公有支路不論方向如何，均在對應(yīng)的KVL方程中會抵消，而不出現(xiàn)在較大回路所對應(yīng)的KVL方程中，所以三個回路彼此并不是獨立的。 要找出獨立回路，對于復(fù)雜電路是件困難的事，必須引出圖論中樹的概念。二、KVL的獨立方程數(shù)：1、回路：2、獨立回路：10第10頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五6543216

7、5432165453154213、基本回路（單連支回路）：a、單連支 + 一些樹支可構(gòu)成回路；b、單連支回路必然獨立，稱為基本回路。4、 KVL的獨立方程數(shù)：b-(n-1)5、平面圖、非平面圖、網(wǎng)孔： 網(wǎng)孔就是圖的自然孔即它限定的區(qū)域內(nèi)沒有支路。平面圖的所有網(wǎng)孔構(gòu)成一組獨立回路。網(wǎng)孔數(shù) = 獨立回路數(shù)。11第11頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五習(xí)題： 3-1、 3-3、 3-6。12第12頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五3-3 支路電流法3-3 支路電流法_+R6R5R4R3R2R1us1is5i1i2i3i4i6i5is5R5+_iR5u5i5

8、+_us1R1+_u1i1654312 所謂支路法是以支路電流和/或支路電壓為電路變量列寫KL方程的解題方法。一、支路電流法：1、電路變量：支路電流： b個2、方程個數(shù)：KCL n-1個KVLVCRb-(n-1)個13第13頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五3、步驟：is5作拓撲圖：結(jié)點、支路、參考方向_+R6R5R4R3R2R1us1i1i2i3i4i6i5按KCL，列 n-1 個結(jié)點方程654312123結(jié)點：結(jié)點：結(jié)點：（3-2）按KVL，以支路電流為變量依照VCR列b-(n-1)個回路方程：回路1：回路2：回路3：（3-4）聯(lián)立求解：R5+_i5R5is514第1

9、4頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五二、支路電壓法：1、電路變量：支路電壓 b 個2、方程個數(shù)：KVL b-(n-1)個KCLVCR (n-1)個三、2b法：1、電路變量：2、方程個數(shù)：KCL n-1個KVL b-(n-1)個VCR b個支路電流和電壓：2b個15第15頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五34網(wǎng)孔電流法+_R3R2R1us3us2us1i1i2i3im1im2im1im2im1im213234 網(wǎng)孔電流法一、網(wǎng)孔電流：1、網(wǎng)孔電流：沿平面電路的網(wǎng)孔流動的 假想的電流。2、作為電路變量的完備性：每一條支路的電流均是有關(guān)網(wǎng)孔電流的代數(shù)和；3

10、 、網(wǎng)孔電流自動滿足KCL:16第16頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五+_R3R2R1us3us2us1im1im2i1i2i3二、網(wǎng)孔電流方程： 網(wǎng)孔電流方程是以網(wǎng)孔電流為變量，按KVL和VCR列寫的一組獨立的方程組。個數(shù)：b-(n-1)。網(wǎng)孔1：網(wǎng)孔2：將i1=im1，i2=im1-im2，i3=im2代入上式整理得三、觀察法： 規(guī)律性1、自電阻：總是正的；2 、互電阻：兩個網(wǎng)孔電流流過互電阻的方向一致的取正號；3 、電壓源項：與繞向一致的電壓源取”-”號。若全部網(wǎng)孔電流均選為順時針(或逆時針)方向，則網(wǎng)孔方程的全部互電阻項均取負號。17第17頁，共40頁，2022

11、年，5月20日，8點12分，星期五行列式解法化簡：求I1例3-1 列網(wǎng)孔電流方程，求I1 。_+6040402050V10V40VI3I2I1IcIdIbIa列方程：18第18頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五 例 用網(wǎng)孔分析法求圖示電路各支路電流。 解：選定各網(wǎng)孔電流的參考方向，如圖所示。用觀察法列出網(wǎng)孔方程：整理為 解得： 12V19第19頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五3-5 回路電流法3-5 回路電流法 （*） 該方法以所謂回路電流作為電路的獨立變量，它不僅適用于平面電路，而且適用于非平面電路。一、回路電流：1、定義：沿電路回路流動的假想電

12、流。2、完備性：各連支電流：各樹支電流： 通常選擇基本（單連支）回路作為獨立回路，這樣，回路電流就是相應(yīng)的連支電流。12345620第20頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五二、回路電流方程：1、自電阻：2、互電阻：3、電壓源項： 因為回路電流自動滿足KCL，故只需列出 b-(n-1) 個KVL方程，其一般形式為：正號；繞向一致取正號；與繞向一致的取”-”號；21第21頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五例用回路法求各支路電流。解:(1) 設(shè)獨立回路電流:(2) 列 KVL 方程:(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2-R2Ia + (R2

13、+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4系數(shù)對稱，且互電阻為負(3) 求解回路電流方程，得 Ia , Ib , Ic(4) 求各支路電流：IaIcIb+_US2+_US1R1R2R3+_ US4R4I1I2I3I4(5) 校核:選一新回路 U =Us? I2=Ib-Ia，I3=Ic-Ib，I4= -IcI1=Ia,第22頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五例3-3 列回路電流方程。方法一：設(shè)定無伴電流源的電壓為 U 的方法。方法二：將無伴電流源支路選為連支的方法。增加回路電流和電流源電流的關(guān)系方程:_U+1231234、無伴電

14、流源的處理方法。_+Us3Us21A50V20V23第23頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五例 列回路電流方程。 用回路電流表示控制量：1235、受控源：將控制量用回路電流來表示；* 由于含受控源，方程的系數(shù)矩陣一般不對稱。小結(jié)步驟：注意：回路電流法中的兩回路的共有支路有時會有多條，因而互阻的確定要特別細心，否則容易發(fā)生遺漏互阻的錯誤！_+_+110V2315A24第24頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五習(xí)題： 3-11、 3-12、 3-13。 25第25頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五3-5 結(jié)點

15、電壓法結(jié)點電壓法：以結(jié)點電壓為未知變量列寫電路方程分析電路的方法。3-5 結(jié)點電壓法 （*）o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i226第26頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五一、結(jié)點電壓：1、定義： 設(shè)定某一個結(jié)點為參考結(jié)點后，其它結(jié)點與參考結(jié)點之間的電壓稱之結(jié)點電壓。 2、完備性： 如果結(jié)點電壓已經(jīng)求出，則電路中各支路電壓可以為某一個結(jié)點電壓，或者為兩個結(jié)點電壓之差。所以，結(jié)點電壓是分析電路的一組完備解。3、列寫方程的個數(shù)： 全部支路電壓均可以通過結(jié)點電壓求得這是KVL的體現(xiàn)，所以結(jié)點電壓自動滿足KVL，只須列出n-1個KCL方程聯(lián)立求

16、解。o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i227第27頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五二、結(jié)點電壓方程：按KCL，對上圖列三個獨立方程：結(jié)點1:結(jié)點2：結(jié)點3：行了嗎？不行！要以結(jié)點電壓為未知量。代入KCL方程，并整理得：o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i228第28頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五三、用觀察法直接列寫結(jié)點電壓方程：尋找規(guī)律性：1、自電導(dǎo)：總為正；2、互電導(dǎo)：獨立結(jié)點之間的電導(dǎo)，均為負；3、電流源項：注入為正（移項的結(jié)果），有電源之間的變換也是注入為正。o-+R1

17、R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i229第29頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五o列結(jié)點電壓方程。解：1、選參考結(jié)點，對獨立結(jié)點進行編號；2、觀察法列方程：例3-5 R1= R2 =R5 = R6=1，R3= R4 = R7 = R8 =0.5 R4R1R2R5R8R6uS7R3R7+uS3iS9iS4+30第30頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五列結(jié)點電壓方程。解：1、選參考結(jié)點，對獨立結(jié)點進行編號；2、觀察法列方程：例3-5 R1a= R1b= R2 =R5 = R6=1，R3= R4 = R7 = R8 = R9 =

18、0.5 oR4R2R5R8R6uS7R3R7+uS3iS9iS4+R9R1aR1b4.50.531第31頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五解：1、選參考結(jié)點：2、列方程：整理：系數(shù)不對稱了！例3-8，試列結(jié)點電壓方程。 用結(jié)點電壓表示控制量：u2= un1R2iS1R1R3+u2 -ic32第32頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五例3-7 試列出此電路的結(jié)點電壓方程。解：分析：無伴電壓源處理； 方法一、將無伴電壓源的電流作為 一 個附加變量的混合法。補充一個約束關(guān)系： 方法二、設(shè)法將一個無伴電壓源的電壓作為一個結(jié)點電壓的方法。結(jié)點1：兩種方法均要掌握！iu結(jié)點2：G2iS2G1G3uS1 0+-G2iS2G1G3uS1 0+-33第33頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五例1 列結(jié)點方程。+_+_isuSR4R3R2R1iR32iR3u12u1un1un2補充方程034第34頁，共40頁，2022年，5月20日，8點12分，星期五例2 列結(jié)點方程。un1un2_+_isuSR4R3R1iR32iR3u12u1isiuiRu+=111n24312n4322)11(RiiuuRRR+-=+ 方法一：將無伴電壓源