矩陣論線性子空間

1、矩陣論線性子空間第1頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五一、線性子空間 1、線性子空間的定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對于V中的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V的一個線性子空間，簡稱為子空間注： 線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也 任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的有基與維數(shù)的概念. 維數(shù).第2頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五2、線性子空間的判定 ，若W對于V中兩種運算封閉，即 則W是V的一個子空間 定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合 推論：V為數(shù)域P上的線性空間, 則W是V的子空間第3頁，共29頁，2022年，5月20

2、日，9點22分，星期五 ， . 且對 ， 由數(shù)乘運算封閉，有 ，即W中元素的負元素就是它在V中的負元素，4）成立就是V中的零元， 3）成立由于 ，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的下證3）、4）成立 由加法封閉，有 ,即W中的零元證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則 第4頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 例2設(shè)V為所有實函數(shù)所成集合構(gòu)成的線性空間,則Rx為V的一個子空間 例3Pxn是Px的的線性子空間 例1設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，只含零向量的子集合是V的一個線性子空間，稱之為V的零子空間線性空間V本身也是V的

3、一個子空間. 這兩個子空間有時稱為平凡子空間，而其它的子空間稱為非平凡子空間 第5頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五的全部解向量所成集合W對于通常的向量加法和數(shù) ()的解空間W的維數(shù)n秩(A)， ；例4n元齊次線性方程組 () 注 ()的一個基礎(chǔ)解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組()的解空間量乘法構(gòu)成的線性空間是 n 維向量空間 Pn 的一個子第6頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間： 解：W1 、W3是Pn的子空間， W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.事實上，W1 是n元齊次線性

4、方程組的解空間. 所以，維W1 n1，的一個基礎(chǔ)解系第7頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五就是W1 的一組基.而在 W2中任取兩個向量，設(shè)則故W2不是Pn的子空間.第8頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五故，W3為V的一個子空間，且維W3 n1 ，則有 其次， 設(shè)下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.第9頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例6設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間， 則W關(guān)于V的運算作成V的一個子空間 即的一切線性組合所成集合.第10頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五稱為V的由 生成的子空間，二、一類重

5、要的子空間 生成子空間 定義：V為數(shù)域P上的線性空間， 則子空間 ，記作 稱 為 的一組 生成元.第11頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例7在Pn 中， 為Pn的一組基，即 Pn 由它的一組基生成.類似地，還有事實上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.第12頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五有關(guān)結(jié)論1、設(shè)W為n維線性空間V的任一子空間， 是W的一組基，則有2、（定理3） 1） ； 為線性空間V中的兩組向量，則與 等價 2）生成子空間 的維數(shù)向量組 的秩第13頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五證：1）若 則對 有 ， 從而

6、 可被線性表出；同理每一個也可被 線性表出. 所以， 與 等價 ， 可被 線性表出， 從而可被 線性表出，即 反之， 與 等價 第14頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五所以, 同理可得， 故， 由3定理1， 2）設(shè)向量組 的秩t，不妨設(shè) 為它的一個極大無關(guān)組 因為 與 等價， 就是 的一組基， 所以， 的維數(shù)t第15頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五無關(guān)組，則推論：設(shè)是線性空間V中不全為零的一組向量，是它的一個極大3、設(shè) 為P上n維線性空間V的一組基，則 的維數(shù)秩(A). A為P上一個 矩陣，若第16頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，

7、星期五證：設(shè)秩(A)r，不失一般性，設(shè)A的前r列線性無關(guān)，并將這r 列構(gòu)成的矩陣記為A1，其余s-r列構(gòu)成的矩陣記為A2， 則A(A1, A2)，且秩(A1)秩(A)r，設(shè)即下證線性無關(guān).第17頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五是V的一組基，又秩(A1)r，方程組只有零解，即線性無關(guān).從而第18頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五任取 將A的第 j 列添在A1的右邊構(gòu)成的矩陣記為Bj ，則則有即設(shè)第19頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五從而有而秩(Bj)r， 有非零解，故有不全為零的數(shù)故為的極大無關(guān)組，所以 的維數(shù)r秩(A).線性

8、相關(guān).第20頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五則向量組 與矩陣A的列向量組具有相同線性相關(guān)性.所以可對矩陣A作初等行變換化階梯陣來求向量組 的一個極大無關(guān)組，從而求出生成子空間的維數(shù)與一組基.注：由證明過程可知，若 為V的一組基，第21頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五為 V 的一組基即在 V 中必定可找到 nm 個向量設(shè)W為 n 維線性空間 V 的一個 m 維子空間，4、（定理4）為W的一組基，則這組向量必定可擴充，使 為 V 的一組基擴基定理 證明：對nm作數(shù)學歸納法當 nm0時，即nm，定理成立就是V的一組基.假設(shè)當nmk時結(jié)論成立.第22頁，

9、共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五因 n(m1)(nm)1(k1)1k，下面我們考慮 nmk1 的情形必定是線性無關(guān)的既然 還不是V的一組基，它又是線性無關(guān)的，那么在V中必定有一個向量不能被 線性表出，把它添加進去，則由定理3，子空間 是m1維的可以擴充為整個空間V的一組基由歸納原理得證. 由歸納假設(shè)， 的基第23頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五它擴充為P4的一組基，其中例8 求 的維數(shù)與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換第24頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五由B知，為 的一個極大故，維 3，就是 的一組基.無關(guān)組.第25頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五則 線性無關(guān)，從而為P4的一組基.第26頁，共29頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五練習 設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，為V的一組基，且求 的一組基，并把它擴充為V的一組基.第2