多元微積分基礎

1、多元微積分基礎1第1頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二碩士研究生入學統(tǒng)考數(shù)學試卷分為四種：工學： 數(shù)學一、數(shù)學二經(jīng)濟學和管理學： 數(shù)學三、數(shù)學四數(shù)學一： 高等數(shù)學，線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學二： 高等數(shù)學，線性代數(shù)數(shù)學三： 微積分，線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學四： 微積分，線性代數(shù)，概率論數(shù)學一內容比例：高等數(shù)學 約56% 線性代數(shù) 約22% 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 約22%2第2頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二第八章 多元函數(shù)微分法及其應用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念第二節(jié) 偏導數(shù)第三節(jié) 全微分及其應用第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法第五節(jié) 隱函數(shù)

2、的求導公式第六節(jié) 微分法在幾何上的應用第七節(jié) 方向導數(shù)與梯度第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法3第3頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一區(qū)域稱為點 的 去心鄰域. 若不需要強調鄰域半徑用表示點的鄰域。1. 鄰域:即稱為點的 鄰域。 設為面上一定點,4第4頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二2區(qū)域開集：若點集的點都是內點,則稱點集為開集.邊界：邊界點的全體稱為的邊界.是平面上一點，若存在設是平面上一個點集,稱點為點集的內點。內點：顯然內點 例如是開集。的邊界是圓周：和邊界點：稱為的邊界點.若點的任一鄰域內既有屬于的點,也有不屬于

3、的點,5第5頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二連通：設是開集，若對內任意兩點，都可用包含于 內的折線連結起來,則稱是連通的。區(qū)域或開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.為區(qū)域或開區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起，閉區(qū)域：稱為閉區(qū)域。為閉區(qū)域。及D不連通開區(qū)域閉區(qū)域6第6頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二3. 維空間有界的閉區(qū)域。例如,無界的開區(qū)域。有界點集與無界點集：對于點集若使得與某一定點間的距離則稱為有界點集，否則稱為無界點集。有界的開區(qū)域。無界的閉區(qū)域。數(shù)軸上：點實數(shù)平面上：點空間中：點7第7頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期

4、二設為取定的一個自然數(shù)，的全體為維空間。稱元有序數(shù)組維空間：數(shù)稱為該點的第個坐標維空間記為稱為維空間中的一個點。維空間中的兩點及間的距離為設維空間中點集則為點的鄰域。相應的可以定義點集的內點、邊界點、區(qū)域等概念。8第8頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二二多元函數(shù)的概念 例如：圓柱體的體積 長方體的體積類似可定義三元、四元函數(shù)， 二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù) 記為定義設是平面上一點集，若對內每一點變量按照一定法則總有確定的值與之對應，則稱是變量的二元函數(shù)（或點的函數(shù)），點集為其定義域為其自變量，也稱為因變量數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。（或）9第9頁，共21頁，2022年，5月20

5、日，13點34分，星期二例求下列函數(shù)的定義域：解(1)()()10第10頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二二元函數(shù)的幾何意義： 在幾何上表示空間曲面.如,平面;上半球面;旋轉拋物面;上半錐面;11第11頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二三多元函數(shù)的極限 定義2若對 當時, 恒有 成立. 記作 或 設函數(shù) 在區(qū)域內有定義, 是 的內點或邊界點。 則稱常數(shù) 當時的極限, 為 二元函數(shù)的極限稱為二重極限。 注：1、2二元函數(shù)的極限概念可以推廣到 元函數(shù)（自己推）。 12第12頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二例2設 求證 證對當

6、時,恒有 成立,所以 取要使 分析: 只要證 對 使得 當時,成立,13第13頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二例3證明 證對成立.取所以 當時,14第14頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二例4.討論 是否存在?解極限值與 有關， 當點 沿直線 時， 趨于點 所以 不存在 二重極限的存在， 時， 函數(shù)值都接近于 注：反之， 當 以不同方式趨于 時， 函數(shù)值 趨于不同的值， 則函數(shù)的極限不存在。 以任何方式趨于 是指 15第15頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二例求極限 解例6求極限 解注：多元函數(shù)的極限運算，有與一元函數(shù)類

7、似的運算法則。夾逼準則，重要極限都可以應用于多元函數(shù)的極限運算。16第16頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二四多元函數(shù)的連續(xù)性 若函數(shù) 在點 處不連續(xù)， 則稱點 為 的間斷點 則稱函數(shù) 若函數(shù) 內每一點連續(xù)， 在區(qū)域 在 內連續(xù)， 或稱 內的連續(xù)函數(shù)。 是 定義 若 則稱函數(shù) 在點 處連續(xù) 設函數(shù) 在區(qū)域 內有定義, 是 的內點或邊界點, 且 間斷點 (1)無定義的點 17第17頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二例如，函數(shù) 間斷點為： 所以，點 是函數(shù)的間斷點。 再如，函數(shù) （孤立點） （函數(shù)無定義的點） (極限不存在) （曲線） 18第18頁，

8、共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)具有性質：性質（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù)， 一定能夠取得最大值和最小值。 性質（介值定理） 在有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù) ，一定能夠 取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值。 多元初等函數(shù)（能用一個式子表示的函數(shù)）在其定義區(qū)域 內連續(xù)。 設函數(shù) 為多元初等函數(shù)，其定義域為 且 E為一區(qū)域或閉區(qū)域，則 說明：定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域。 19第19頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二例7求下列極限：解20第20頁，共21頁，2022年，5月20日，13點34分，星期二小結：1.平面點集：鄰域、內點、開集、邊界點、連通