數(shù)字信號(hào)處理第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)資料

1、第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.4 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器 7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 用N表示FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 H(z)是z1的N1次多項(xiàng)式，它在z平面上有N1個(gè)零點(diǎn)，在原點(diǎn)z=0處有一個(gè)N1重極點(diǎn)。因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點(diǎn)。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法和IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法有很大差別。FIR濾波器設(shè)計(jì)任務(wù)是選擇有限長(zhǎng)度的h(n)，使頻率響應(yīng)函數(shù)H

2、(ej)滿足技術(shù)指標(biāo)要求。7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)1 線性相位FIR數(shù)字濾波器對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，頻率響應(yīng)函數(shù)為（7.1.1）（7.1.2）式中，Hg()稱為幅度特性; ()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|，Hg()為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|總是正值。線性相位FIR濾波器是指()是的線性函數(shù)，即為常數(shù)-第一類線性相位如果()滿足下式：是起始相位- 第二類線性相位。 嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)()不具有線性相位特性，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即也稱這種情況為線性相位。2. 線性相位FIR的時(shí)域約束條件線性相位FIR濾波器的時(shí)域約束條件是指

3、滿足線性相位時(shí)，對(duì)h(n)的約束條件。1) 第一類線性相位對(duì)h(n)的約束條件 第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)()=，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:（7.1.5） 由式（7.1.5）得到:(7.1.6)將（7.1.6）式中兩式相除得到：即 移項(xiàng)并用三角公式化簡(jiǎn)得到:函數(shù)h(n)sin(n)關(guān)于求和區(qū)間的中心(N1)/2奇對(duì)稱，是一組解。因?yàn)閟in(n)關(guān)于n=奇對(duì)稱，如果取=(N1)/2，則要求h(n)關(guān)于(N1)/2偶對(duì)稱，所以要求和h(n)滿足如下條件: Attention: n為自變量（7.1.8） 如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長(zhǎng)度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類

4、線性相位特性（嚴(yán)格線性相位特性），則h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N1)/2點(diǎn)偶對(duì)稱。 當(dāng)N確定時(shí)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的相位特性是一個(gè)確知的線性函數(shù)，即()=(N1)/2。N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí), h(n)的對(duì)稱情況分別如表7.1.1中的情況1和情況2所示。表7.1.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 2) 第二類線性相位對(duì)h(n)的約束條件第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)()=/2， 經(jīng)過(guò)同樣的推導(dǎo)過(guò)程可得到: 函數(shù)h(n)cos(n)關(guān)于求和區(qū)間的中心(N1)/2奇對(duì)稱，是一組解，因?yàn)閏os(n)關(guān)于n=偶對(duì)稱，所以要求和h(n)滿足如下條件：（7.1.10） 由以上推導(dǎo)結(jié)論可知，如

5、果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長(zhǎng)度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性，則h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N1)/2點(diǎn)奇對(duì)稱。N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)h(n)的對(duì)稱情況分別如表7.1.1中情況3和情況4所示。2 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn) 幅度特性的特點(diǎn)就是線性相位FIR濾波器的頻域約束條件。為了推導(dǎo)方便，引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)： 表示取不大于(N1)/2的最大整數(shù)。顯然，僅當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，M=(N1)/2 。 情況1： h(n)=h(Nn1), N為奇數(shù)。將時(shí)域約束條件h(n)=h(Nn1)和()=得到:所以因?yàn)閏os(n-)關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)偶對(duì)稱，可以看出，Hg()關(guān)于=0, , 2三

6、點(diǎn)偶對(duì)稱。因此情況1可以實(shí)現(xiàn)各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器。對(duì)于N=13的低通情況，Hg()的一種例圖如表7.1.1中情況1所示。Attention: 為自變量情況2： h(n)=h(Nn1), N為偶數(shù)。仿照情況1的推導(dǎo)方法得到:（7.1.12）式中，。因?yàn)槭桥紨?shù)，所以當(dāng)時(shí)而且cos(n)關(guān)于過(guò)零點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于=0和2偶對(duì)稱。所以Hg()=0，Hg()關(guān)于=奇對(duì)稱，關(guān)于=0和2偶對(duì)稱。因此，情況2不能實(shí)現(xiàn)高通和帶阻濾波器。對(duì)N=12 的低通情況，Hg()如表7.1.1中情況2所示。情況3： h(n)=h(Nn1)，N為奇數(shù)。將時(shí)域約束條件h(n)=h(Nn1)和()=/2）， 并考慮，

7、得到:式中，N是奇數(shù)，=(N1)/2是整數(shù)。所以，當(dāng)=0，, 2時(shí)，sin(n)=0, 而且sin(n)關(guān)于過(guò)零點(diǎn)奇對(duì)稱。因此Hg()關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)奇對(duì)稱。由此可見(jiàn)，情況3只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。對(duì)N=13的帶通濾波器舉例，Hg()如表7.1.1中情況3所示。 情況4： h(n)=h(Nn1), N為偶數(shù)。用情況3的推導(dǎo)過(guò)程可以得到:式中，N是偶數(shù)，=(N1)/2=N/21/2。所以，當(dāng)=0, 2時(shí)，sin(n)=0；當(dāng)=時(shí)，sin(n)=(1)(nN/2), 為峰值點(diǎn)。而且sin(n)關(guān)于過(guò)零點(diǎn)=0和2兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于峰值點(diǎn)=偶對(duì)稱。因此Hg()關(guān)于=0和2兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于=偶對(duì)稱。由此

8、可見(jiàn)，情況4不能實(shí)現(xiàn)低通和帶阻濾波器。對(duì)N=12的高通濾波器舉例，Hg()如表7.1.1中情況4所示。3. 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布特點(diǎn)將h(n)=h(N1n)代入上式, 得到:由（7.1.14）式可以看出，如z=zi是H(z)的零點(diǎn)，其倒數(shù)也必然是其零點(diǎn)；又因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，H(z)的零點(diǎn)必定共軛成對(duì)，因此也是其零點(diǎn)。這樣，線性相位FIR濾波器零點(diǎn)必定是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，確定其中一個(gè)，另外三個(gè)零點(diǎn)也就確定了, 如圖7.1.1中。當(dāng)然，也有一些特殊情況，如圖7.1.1中z1、z2和z4情況。圖7.1.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.2

9、.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理設(shè)希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)為Hd(ej)，其單位脈沖響應(yīng)是hd(n)。如果能夠由已知的Hd(ej)求出hd(n)，經(jīng)過(guò)Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。但通常以理想濾波器作為Hd(ej)，其幅度特性逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因而hd(n)是無(wú)限時(shí)寬的，且是非因果序列。例如，線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為 其單位脈沖響應(yīng)hd(n)為 理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)，且是非因果序列。hd(n)的波形如圖7.2.1（a）所示。為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的第一類線性相位FIR濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段關(guān)于n=（N1）/

10、2偶對(duì)稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即式中, RN(n)是一個(gè)矩形序列，長(zhǎng)度為N，波形如圖7.2.1（b）所示。由該圖可知，當(dāng)取值為（N1）/2時(shí)，截取的一段h(n) 關(guān)于n=（N1）/2偶對(duì)稱，保證所設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位。我們實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，這樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列h(n)去代替hd(n)，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說(shuō)的吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。該效應(yīng)引起過(guò)渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)，尤其使阻帶的衰減小，從而滿足不了技術(shù)上的要求。這種吉布斯效應(yīng)是由于將hd(n)直接截?cái)嘁鸬?，因此，也稱為截?cái)嘈?yīng)。圖7.2.1 窗函

11、數(shù)設(shè)計(jì)法的時(shí)域波形（矩形窗，N=30）圖7.2.2 吉普斯效應(yīng) Hd(ej)是一個(gè)以2為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，即傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為hd(n)，為Hd(ej)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)計(jì)FIR濾波器就是根據(jù)要求找到N個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)h(n)，n=1, 2, , N1，以N項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去近似代替無(wú)限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差，這種誤差就是前面說(shuō)的截?cái)嘈?yīng)。窗函數(shù)法又稱為傅氏級(jí)數(shù)法顯然，選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但項(xiàng)數(shù)增多即h(n)長(zhǎng)度增加，也使成本和濾波計(jì)算量加大，應(yīng)在滿足技術(shù)要求的條件下，盡量減小h(n)的長(zhǎng)度。RN(n)（矩形序列）就是起對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序

12、列的截?cái)嘧饔?，RN(n)可看做一個(gè)窗口，h(n)則是從窗口看到的一段hd(n)序列，所以稱h(n)=hd(n)RN(n)為用矩形窗對(duì)hd(n)進(jìn)行加窗處理。 用w(n)表示窗函數(shù)，用下標(biāo)表示窗函數(shù)類型，矩形窗記為wR(n)。用N表示窗函數(shù)長(zhǎng)度。（7.2.4）根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積定理，h(n)=hd(n)WR(n)的傅里葉變換：式中，Hd(ej)和WR(ej)分別是hd(n)和WN(n)的傅里葉變換，即（7.2.5）WRg()稱為矩形窗的幅度函數(shù)，將圖中2/N, 2/N區(qū)間上的一段波形稱為WRg()的主瓣，其余較小的波動(dòng)稱為旁瓣。將Hd(ej)寫(xiě)成Hd(ej)=Hdg()ej， 則按照（7.

13、2.1）式，理想低通濾波器的幅度特性函數(shù)（如圖7.2.3（a）所示）為式中圖7.2.3 矩形窗加窗效應(yīng)將Hd(ej)和WR(ej)代入（7.2.4）式，得到：將H(ej)寫(xiě)成H(ej)=Hg()ej ，則加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg()與矩形窗幅度特性WRg()的卷積。Summary： 1， 在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度近似等于WRg()主瓣寬度4/N。2， 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在c2/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)， WRg()旁瓣幅度的大小直接影響Hg()波紋幅度的大小

14、。 吉布斯效應(yīng)直接影響濾波器的性能。通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿足技術(shù)指標(biāo)要求。 一般濾波器都要求過(guò)渡帶愈窄愈好。直觀上，好像增加矩形窗的長(zhǎng)度，即加大N，就可以減少吉布斯效應(yīng)的影響。只要分析一下N加大時(shí)WRg()的變化，就可以看到這一結(jié)論不是完全正確。我們討論在主瓣附近的情況。在主瓣附近，按照式（7.2.5），WRg()可近似為該函數(shù)的性質(zhì)是隨x加大（N加大），主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變；另一方面，N加大時(shí)，WRg()的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動(dòng)的頻率加快。三種不同長(zhǎng)度的矩形窗函數(shù)的幅度特性WRg()曲線如圖

15、7.2.4(a)、(b)、(c)所示。用這三種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度特性Hg()曲線如圖7.2.4(d)、(e)、(f)所示。因此，當(dāng)N加大時(shí)，Hg()的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，帶內(nèi)最大肩峰比H(0)高8.95%，阻帶最大負(fù)峰值為H(0)的8.95%，使阻帶最小衰減只有21 dB。加大N只能使Hg()過(guò)渡帶變窄（過(guò)渡帶近似為主瓣寬度4/N）。因此加大N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法。圖7.2.4 矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度的影響調(diào)整窗口長(zhǎng)度N只能有效地控制過(guò)渡帶的寬度，而要減少帶內(nèi)波動(dòng)以及增大阻帶衰減，只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問(wèn)題的方法。構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)

16、旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動(dòng)減小，從而加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過(guò)渡帶為代價(jià)的。7.2.2 典型窗函數(shù)介紹幾種常用窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式、時(shí)域波形、幅度特性函數(shù)（衰減用dB計(jì)量）曲線，以及用各種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)曲線。為了敘述簡(jiǎn)單，把這組波形圖簡(jiǎn)稱為“四種波形”。下面均以低通為例，Hd(ej)取理想低通，c=/2，窗函數(shù)長(zhǎng)度N=31。1 矩形窗（Rectangle Window）wR(n)=RN(n)前面已分析過(guò)，按照（7.2.5）式，其幅度函數(shù)為（7.2.7） 為了描述方便，定義窗函數(shù)的幾個(gè)參數(shù): 旁瓣峰值n窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg()|的最大旁

17、瓣的最大值相對(duì)主瓣最大值的衰減值（dB）；過(guò)渡帶寬度Bg用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器（FIRDF）的過(guò)渡帶寬度；阻帶最小衰減s用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIRDF的阻帶最小衰減。圖7.2.4所示的矩形窗的參數(shù)為: n=13 dB；Bg=4/N; s=21 dB。2 三角形窗（Bartlett Window）（7.2.8） 其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為 （7.2.10）三角窗的四種波形如圖7.2.5所示，參數(shù)為: n=25 dB; Bg=8/N; s=25 dB。圖7.2.5 三角窗的四種波形3 漢寧（Hanning）窗升余弦窗（7.2.11） 當(dāng)N1時(shí)， N1N漢寧窗的幅度函數(shù)WHng()由三部分相加，

18、旁瓣互相對(duì)消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖7.2.6所示，參數(shù)為: n=31 dB; Bg=8/N; s=44 dB。圖7.2.6 漢寧窗的四種波形4 哈明（Hamming）窗改進(jìn)的升余弦窗 （7.2.12）其頻譜函數(shù)WHm(ej)為其幅度函數(shù)WHmg()為當(dāng)N時(shí)，其可近似表示為這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.96%，瓣峰值幅度為40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為8/N。可見(jiàn)哈明窗是一種高效窗函數(shù)，所以MATLAB窗函數(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)的默認(rèn)窗函數(shù)就是哈明窗。哈明窗的四種波形如圖7.2.7所示，參數(shù)為: n=41 dB; Bg=8/N; s=53

19、dB。圖7.2.7 哈明窗的四種波形（7.2.13）5 布萊克曼（Blackman）窗其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WRg()函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。旁瓣峰值幅度進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍。布萊克曼窗的四種波形如圖7.2.8所示，參數(shù)為: n=57 dB; B=12/N; s=74 dB。（7.2.14）圖7.2.8 布萊克曼窗的四種波形 6 凱塞貝塞爾窗（Kaiser-Basel Window）以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。 （7

20、.2.15）式中I0()是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：一般I0()取1525項(xiàng)，便可以滿足精度要求。 參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4 9。當(dāng) =5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。 =7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計(jì)指標(biāo)給定時(shí)，可以調(diào)整值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱塞（Kaiser）給出的估算和濾波器階數(shù)N的公式如下:（7.2.17） 式中，Bt=|sp|, 是數(shù)字濾波器過(guò)渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注意，因?yàn)槭剑?.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。另外，凱塞窗函數(shù)沒(méi)有獨(dú)立控制通帶波紋幅度，實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波

21、紋幅度。凱塞窗的幅度函數(shù)為（7.2.16） （7.2.18）對(duì)的8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7.2.1中，供設(shè)計(jì)者參考。由表可見(jiàn), 當(dāng) =5.568時(shí), 各項(xiàng)指標(biāo)都好于哈明窗。6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7.2.2中，可供設(shè)計(jì)時(shí)參考。表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影 表7.2.2 6種窗函數(shù)的基本參數(shù) 表中過(guò)渡帶寬和阻帶最小衰減是用對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo)。隨著數(shù)字信號(hào)處理的不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達(dá)幾十種，除了上述6種窗函數(shù)外，比較有名的還有Chebyshev窗、Gaussian窗。wn=boxcar(N)列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)

22、w(n)wn=bartlett(N) 列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N) 列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) 列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N) 列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N, beta) 列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w(n)7.2.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟如下：(1) 根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。原則是在保證阻帶衰

23、減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。然后根據(jù)過(guò)渡帶寬度估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。待求濾波器的過(guò)渡帶寬度Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長(zhǎng)度N成反比，NA/Bt，A取決于窗口類型，例如，矩形窗的A=4，哈明窗的A=8等，參數(shù)A的近似和精確取值參考表7.2.2。 (2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)，即 對(duì)所謂的“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ej)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。以低通濾波器為例，Hdg()應(yīng)滿足： （7.2.19） 由圖7.2.2知道，理想濾波器的截止頻率c近似位于最終設(shè)計(jì)的FIRDF的過(guò)渡帶的中心頻率點(diǎn)，幅度函數(shù)衰減一半（約6

24、dB）。所以如果設(shè)計(jì)指標(biāo)給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率p和s， 一般取（7.2.20）(3) 計(jì)算hd(n)。 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ej)，那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出：（7.2.21）如果Hd(ej)較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出hd(n)。我們可以對(duì)Hd(ej)從=0到=2采樣M點(diǎn)，采樣值為 ，k=0 ,1, 2, , M1，進(jìn)行M點(diǎn)IDFT(IFFT)，得到： （7.2.22）根據(jù)頻域采樣理論，hdM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：因此，如果M選得較大，可以保證在窗口內(nèi)hdM(n)有效逼近hd(n)。對(duì)線性相位理想低通濾波器作為Hd(ej)，其單位脈沖響

25、應(yīng)hd(n)：為保證線性相位特性， =(N1)/2。(4) 加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)?！纠?.2.1】 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率p=/2 rad，阻帶截止頻率s=/4 rad，通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=40 dB。解 (1） 選擇窗函數(shù)w(n)，計(jì)算窗函數(shù)長(zhǎng)度N。已知阻帶最小衰減 s=40 dB，由表（7.2.2）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。本例中過(guò)渡帶寬度Btps=/4， 漢寧窗的精確過(guò)渡帶寬度Bt=6.2/N，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得N24.8。對(duì)高通濾波器N必須取奇數(shù)，取N=25。由式（

26、7.2.11）, 有（2） 構(gòu)造Hd(ej):式中（3） 求出hd(n):將=12代入得 (n12)對(duì)應(yīng)全通濾波器，是截止頻率為3/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的另一個(gè)公式。 （4） 加窗:7.2.4 窗函數(shù)法的MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)一般用MATLAB工具箱函數(shù)?？烧{(diào)用工具箱函數(shù)fir1實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟（2）（4）的解題過(guò)程。(1) fir1是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)。這里的所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，是指在設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻

27、FIR濾波器時(shí)，Hd(ej)分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。因而將所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)稱為標(biāo)準(zhǔn)頻率響應(yīng)。Fir1的調(diào)用格式及功能： hn=fir1(M, wc)，返回6 dB截止頻率為wc的M階（單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度N=M+1）FIR低通（wc為標(biāo)量）濾波器系數(shù)向量hn，默認(rèn)選用哈明窗。濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)與向量hn的關(guān)系為h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, , M而且滿足線性相位條件: h(n)=h(N1n)。其中wc為對(duì)歸一化的數(shù)字頻率，0wc1。 當(dāng)wc=wcl, wcu時(shí)，得到的是帶通濾波器，其6 dB通帶為wclwcu。

28、 hn=fir1(M, wc, ftype)，可設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器。當(dāng)ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì)高通FIR濾波器；當(dāng)ftype=stop，且wc=wcl, wcu時(shí)，設(shè)計(jì)帶阻FIR濾波器。 應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器時(shí)，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h(n)長(zhǎng)度N=M+1為奇數(shù)）。不過(guò)，當(dāng)用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時(shí)，fir1會(huì)自動(dòng)對(duì)M加1。 hn=fir1(M, wc, window)，可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認(rèn)為哈明窗。例如:hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1)，使用Bartlett窗設(shè)計(jì)；hn =fir1(M, wc,

29、blackman(M+1)，使用blackman窗設(shè)計(jì)；hn=fir1(M, wc, ftype, window)，通過(guò)選擇wc、ftype和window參數(shù)（含義同上），可以設(shè)計(jì)各種加窗濾波器。(2) fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)函數(shù)，用fir2設(shè)計(jì)時(shí)，可以指定任意形狀的Hd(ej)，它實(shí)質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計(jì)函數(shù)。主要用于設(shè)計(jì)幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。用help命令查閱其調(diào)用格式及調(diào)用參數(shù)的含義。例7.2.1 的設(shè)計(jì)程序ep721.m如下: ep721.m: 例7.2.1 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIR數(shù)字濾波器wp=pi/2;

30、ws=pi/4;Bt=wp-ws; 計(jì)算過(guò)渡帶寬度N0=ceil(6.2*pi/Bt); 根據(jù)表7.2.2漢寧窗計(jì)算所需h(n)長(zhǎng)度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整數(shù)N=N0+mod(N0+1, 2); 確保h(n)長(zhǎng)度N是奇數(shù)wc=(wp+ws)/2/pi; 計(jì)算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于歸一化)hn=fir1(N-1, wc, high, hanning(N); 調(diào)用fir1計(jì)算高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)略去繪圖部分運(yùn)行程序得到h(n)的25個(gè)值:h(n)= 0.0004 0.0006 0.0028 0.0071 0.0000 0.0185 0.0210 0.0165 0

31、.0624 0.0355 0.10610.2898 0.6249 0.2898 0.1061 0.0355 0.0624 0.0165 0.0210 0.0185 0.0000 0.0071 0.00280.00060.0004高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)及損耗函數(shù)如圖7.2.9所示。圖7.2.9 高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線【例7.2.2】 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶0f 1.5kHz內(nèi)衰減小于1 dB， 阻帶2.5kHzf 上衰減大于40 dB。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10 kHz。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿足要求的F

32、IR數(shù)字低通濾波器，求出h(n)，并畫(huà)出損耗函數(shù)曲線。為了降低運(yùn)算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。解 （1） 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo): 通帶截止頻率為 阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為 s =40dB（2） 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（7.2.16）計(jì)算凱塞窗的控制參數(shù)為指標(biāo)要求過(guò)渡帶寬度Bt=sp=0.2，根據(jù)式（7.2.17）計(jì)算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以h(n)長(zhǎng)度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，h(n)長(zhǎng)度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率c=(s+p)/2=0.4，所以, 得到:式中，w(n)是長(zhǎng)度為24（ =3.3

33、95）的凱塞窗函數(shù)。實(shí)現(xiàn)本例設(shè)計(jì)的MATLAB程序?yàn)閑p722.m。ep722.m: 例7.2.2 用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位低通FIR數(shù)字濾波器 fp=1500;fs=2500;rs=40; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs; Bt=ws-wp; %計(jì)算過(guò)渡帶寬度 alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21); %根據(jù)(7.2.16)式計(jì)算kaiser窗的控制參數(shù) N=ceil(rs-8)/2.285/Bt); %根據(jù)(7.2.17)式計(jì)算kaiser窗所需階數(shù)N wc=(wp+ws)/2/pi; %計(jì)算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于歸一

34、化） hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph); %調(diào)用kaiser計(jì)算低通FIRDF的h(n) 以下繪圖部分省去運(yùn)行程序得到h(n)的24個(gè)值:h(n)=0.00390.00410.00620.01470.00000.02860.0242 0.03320.07550.00000.1966 0.37240.37240.1966 0.00000.07550.0332 0.0242 0.02860.00000.0147 0.00620.00410.0039低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形和損耗函數(shù)曲線如圖7.2.10所示。圖7.2.10 低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗

35、函數(shù)曲線【例7.2.3】 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR帶阻濾波器。要求通帶下截止頻率lp =0.2，阻帶下截止頻率ls=0.35，阻通帶上截止頻率us=0.65，通帶上截止頻率up=0.8， 通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=60 dB。解 本例直接調(diào)用fir1函數(shù)設(shè)計(jì)。因?yàn)樽鑾ё钚∷p s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過(guò)渡帶寬度選擇濾波器長(zhǎng)度N，布萊克曼窗的過(guò)渡帶寬度Bt=12/N，所以解之得N=80。調(diào)用參數(shù)設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p723.m，參數(shù)計(jì)算也由程序完成。ep723.m: 例7.2.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器wlp=0.2*pi;wls=0.35

36、*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi; %設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)賦值B=wls-wlp; %過(guò)渡帶寬度N=ceil(12*pi/B); %計(jì)算階數(shù)N,ceil(x)為大于等于x的最小整數(shù)wp=(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi; %設(shè)置理想帶通截止頻率hn=fir1(N,wp,stop,blackman(N+1); %帶阻濾波器要求h(n)長(zhǎng)度為奇數(shù)，所以取N+1省略繪圖部分程序運(yùn)行結(jié)果: N=81由于h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖7.2.11所示。圖7.2.11 帶阻FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線7.3 利用頻率采

37、樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器1 用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本思想設(shè)希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)用Hd(ej)表示，對(duì)它在=0到2之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到Hd(k)：（7.3.1）再對(duì)Hd(k)進(jìn)行N點(diǎn)IDFT，得到h(n)： （7.3.2）式中，h(n)作為所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為（7.3.3）另外根據(jù)頻率域采樣理論，得到H(z)的內(nèi)插表示形式：（7.3.4）此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，（7.3.3）式適合FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，（7.3.4）式適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。 一個(gè)是為了設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器，頻域采樣序列Hd(k)應(yīng)滿足的條件；另一個(gè)是

38、逼近誤差問(wèn)題及其改進(jìn)措施。2 設(shè)計(jì)線性相位濾波器時(shí)對(duì)Hd(k)的約束條件FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)為實(shí)序列，且滿足h(n)=h(Nn1)，在此基礎(chǔ)上我們已推導(dǎo)出其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：（7.3.5）（7.3.6）(7.3.7)(7.3.8)N = 奇數(shù) N = 偶數(shù) 在=02區(qū)間上N個(gè)等間隔的采樣頻點(diǎn)為將=k代入（7.3.5）（7.3.8）式中，并寫(xiě)成k的函數(shù)：（7.3.12） k = 0，1，2，N 1 （7.3.9）（7.3.10）（7.3.11）N = 奇數(shù) N = 偶數(shù) N等于奇數(shù)時(shí)Hg(k)關(guān)于N/2點(diǎn)偶對(duì)稱。N等于偶數(shù)時(shí)，Hg(k)關(guān)于N/2點(diǎn)奇對(duì)稱，且Hg(N/2

39、)=0。 設(shè)用理想低通作為希望逼近的濾波器Hd(ej)，截止頻率為c，采樣點(diǎn)數(shù)為N，Hg(k)和(k)用下列公式計(jì)算：N=奇數(shù)時(shí)，（7.3.13） N=偶數(shù)時(shí)，上面公式中的kc是通帶內(nèi)最后一個(gè)采樣點(diǎn)的序號(hào)，所以kc的值取不大于cN/(2)的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。（7.3.14）3 逼近誤差及其改進(jìn)措施如果待逼近的濾波器為Hd(ej)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，則由頻率域采樣定理知道，在頻域02范圍等間隔采樣N點(diǎn)，利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即如果Hd(ej)有間斷點(diǎn)，那么相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)

40、的。這樣，由于時(shí)域混疊及截?cái)啵筯(n)與hd(n)有偏差。所以，頻域的采樣點(diǎn)數(shù)N愈大，時(shí)域混疊愈小，設(shè)計(jì)出的濾波器頻響特性愈逼近Hd(ej)。上面是從時(shí)域分析其設(shè)計(jì)誤差的來(lái)源，下面從頻域分析。頻域采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過(guò)IDFT得到h(n)，由（3.3.7）和（3.3.8）式，得到H(ej)=FTh(n)的內(nèi)插表示形式： 式中上式表明，在采樣頻點(diǎn)，k=2k/N, k=0，1，2，N1, (2k/N)=1，因此采樣點(diǎn)處與H(k)相等，逼近誤差為0。在采樣點(diǎn)之間，由N項(xiàng)H(k)(2k/N)之和形成。頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內(nèi)插波形Hg()如圖7.3.1所示。圖7.3.1

41、的上圖 7.3.1(a) 中, 實(shí)線表示希望逼近的理想幅度函數(shù)Hdg(), 黑點(diǎn)表示幅度采樣序列Hg(k); 下圖7.3.1(b)中, 實(shí)線Hg(）與虛線dg()的誤差與Hdg()特性的平滑程度有關(guān)，Hdg()特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈??；特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差最大。表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過(guò)渡帶曲線，過(guò)渡帶寬度近似為2/N。通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且間斷點(diǎn)附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。 當(dāng)然，增加N可以使過(guò)渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨N的增大并無(wú)明顯改善。且N太大，會(huì)增加濾波器的階數(shù)，即增加了運(yùn)算量和成本。N=15和N=75兩種情況下的幅度內(nèi)插波

42、形Hg()如圖7.3.2所示，圖中的空心圓和實(shí)心圓點(diǎn)分別表示N=15和N=75時(shí)的頻域幅度采樣。運(yùn)行本書(shū)程序庫(kù)程序fig731-2.m，即可繪制出圖7.3.1和圖7.3.2，并分別輸出兩種采樣點(diǎn)數(shù)（N=15和N=75）的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s。N=15時(shí)，通帶最大衰減 p=0.8340 dB，阻帶最小衰減 s=15.0788 dB； N=75時(shí)，通帶最大衰減 p=1.0880 dB，阻帶最小衰減 s=16.5815 dB。 所以，直接對(duì)理想濾波器的頻率響應(yīng)采樣的“基本頻率采樣設(shè)計(jì)法”不能滿足一般工程對(duì)阻帶衰減的要求。 圖7.3.1 頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內(nèi)插波形Hg()圖7

43、.3.2 N=15和N=75的幅度內(nèi)插波形Hg() 在窗函數(shù)設(shè)計(jì)法中，通過(guò)加大過(guò)渡帶寬度換取阻帶衰減的增加。頻率采樣法同樣滿足這一規(guī)律。提高阻帶衰減的具體方法是在頻響間斷點(diǎn)附近區(qū)間內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過(guò)渡帶，這樣，雖然加大了過(guò)渡帶，但阻帶中相鄰內(nèi)插函數(shù)的旁瓣正負(fù)對(duì)消，明顯增大了阻帶衰減。過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)與阻帶最小衰減 s的關(guān)系以及使阻帶最小衰減 s最大化的每個(gè)過(guò)渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。其基本思想是將過(guò)渡帶采樣值設(shè)為自由量，用一種優(yōu)化算法（如線性規(guī)劃算法）改變它們，最終使阻帶最小衰減 s最大。表7.3.1 過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減 s的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)

44、 4 頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟綜上所述，可歸納出頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟: （1） 根據(jù)阻帶最小衰減 s選擇過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m。 （2） 確定過(guò)渡帶寬度Bt，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度）N。如果增加m個(gè)過(guò)渡帶采樣點(diǎn)，則過(guò)渡帶寬度近似變成(m+1)2/N。當(dāng)N確定時(shí)，m越大，過(guò)渡帶越寬。如果給定過(guò)渡帶寬度Bt，則要求(m+1)2/NBt ，濾波器長(zhǎng)度N必須滿足如下估算公式:（7.3.15） （3） 構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù): 設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)型片斷常數(shù)特性的FIR數(shù)字濾波器時(shí)，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù)Hdg()為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足表7.1.1要求的對(duì)稱性。 （4） 按照（7.3.1）式進(jìn)行頻域采樣

45、: （7.3.16） （7.3.17） 并加入過(guò)渡帶采樣。過(guò)渡帶采樣值可以設(shè)置為經(jīng)驗(yàn)值，或用累試法確定，也可以采用優(yōu)化算法估算。 （5） 對(duì)H(k)進(jìn)行N點(diǎn)IDFT，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)：（7.3.18） （6） 檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要改變過(guò)渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。如果濾波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào)Hdg()的邊界頻率。 上述設(shè)計(jì)過(guò)程中的計(jì)算相當(dāng)繁瑣，所以通常借助計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)。MATLAB就是一種很有效的語(yǔ)言。【例7.3.1】 用頻率采樣法設(shè)計(jì)第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率p=/3，阻帶最小衰減大于4

46、0 dB，過(guò)渡帶寬度Bt/16。解 查表7.3.1， s=40 dB時(shí)，過(guò)渡帶采樣點(diǎn)數(shù)m=1。將m=1和Bt/16代入（7.3.15）式估算濾波器長(zhǎng)度: N(m+1)2/Bt=64，留一點(diǎn)富余量，取N=65。構(gòu)造Hd(ej)=Hdg()ej(N1)/2為理想低通特性，其幅度響應(yīng)函數(shù)Hdg()如圖7.3.3(a)中實(shí)線所示。圖7.3.3 一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)的設(shè)計(jì)結(jié)果(T=0.38)設(shè)計(jì)由以下程序ep731.m完成：ep732.m: 用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器 T=input(T= ) 輸入過(guò)渡帶采樣值T Bt=pi/16;wp=pi/3; 過(guò)渡帶寬度為pi/16，通帶截止頻率為pi/3 m=1;N

47、=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1; 按式（7.3.15）估算采樣點(diǎn)數(shù)N Np=fix(wp/(2*pi/N); Np+1為通帶0, wp上采樣點(diǎn)數(shù) Ns=N2*Np1; Ns為阻帶wp, 2*piwp上采樣點(diǎn)數(shù) Hk=ones(1, Np+1), zeros(1, Ns), ones(1, Np);N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對(duì)稱H(k)=H(Nk) Hk(Np+2)=T;Hk(NNp)=T; 加一個(gè)過(guò)渡采樣 thetak=pi*(N1)*(0:N1)/N; 相位采樣向量(k)=(N1)k/N, 0kN1 Hdk=Hk.*exp(j*thetak); 構(gòu)造頻域采樣向量Hd(k) hn=r

48、eal(ifft(Hdk); h(n)=IDFTH(k) Hw=fft(hn, 1024); 計(jì)算頻率響應(yīng)函數(shù):DFTh(n)wk=2*pi* 0:1023/1024; Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N1)/2); 計(jì)算幅度響應(yīng)函數(shù)Hg() 計(jì)算通帶最大衰減Rp和阻帶最小衰減Rs Rp=max(20*log10(abs(Hgw) hgmin=min(real(Hgw);Rs=20*log10(abs(hgmin) 以下繪圖部分略去運(yùn)行程序，輸入T=0.38，得到設(shè)計(jì)結(jié)果如圖7.3.3所示，并輸出通帶最大衰減 p=0.4767 dB， 阻帶最小衰減 s=43.4411 dB。但是，如果過(guò)渡

49、帶采樣值T=0.5和0.6，則得到阻帶最小衰減 s=29.6896 dB和25.0690 dB。由此可見(jiàn)，當(dāng)過(guò)渡帶采樣點(diǎn)數(shù)給定時(shí)，過(guò)渡帶采樣值不同，則逼近誤差不同。所以，對(duì)過(guò)渡帶采樣值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)才是有效的方法。hn= fir2(M,F,A,window(M+1)設(shè)計(jì)一個(gè)M階線性相位FIR數(shù)字濾波器，返回長(zhǎng)度為N=M+1的單位脈沖響應(yīng)序列向量hn。window表示窗函數(shù)名，缺省該項(xiàng)時(shí)默認(rèn)選用Hamming窗。可供選擇的窗函數(shù)有Boxcar、 Bartlett、Hann、Hamm、 Blackman、Kaiser和 Chebwin。當(dāng)window=boxcar時(shí)，fir2就是純粹的頻率采樣設(shè)計(jì)法

50、。希望逼近的幅度特性由邊界頻率向量F和相應(yīng)的幅度向量A確定，plot(F, A)畫(huà)出的就是希望逼近的幅度特性曲線。圖7.3.4 例7.3.1希望逼近的幅度特性（T=0.38）F為對(duì)歸一化的數(shù)字頻率向量，0F1。而且F的元素必須是單調(diào)遞增的，以0開(kāi)始，以1結(jié)束，1對(duì)應(yīng)于模擬頻率Fs/2。對(duì)例7.3.1，F(xiàn)=0,wc/pi, wc/pi+2/N,wc/pi+4/N,1; A=1,1,T,0,0。其中，wc/pi+2/N為過(guò)渡帶采樣點(diǎn)頻率，T為過(guò)渡帶采樣值。plot(F,A)畫(huà)出的就是希望逼近的幅度特性曲線, 如圖7.3.4所示。%調(diào)用fir2求解例7.3.1的程序ep731b.mT=input(T

51、= ) %鍵入過(guò)渡采樣值TBt=pi/16;wp=pi/3; %過(guò)渡帶寬度pi/16,通帶截止頻率為pi/3；m=1;%過(guò)渡點(diǎn)個(gè)數(shù)m=1N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1 %按（7.3.15）式估算采樣點(diǎn)數(shù)NF=0,wp/pi,wp/pi+2/N,wp/pi+4/N,1;A=1,1,T,0,0;%設(shè)置調(diào)用參數(shù)向量F和Ahn=fir2(N-1,F,A,boxcar(N);%選用矩形窗函數(shù)以下與ep731.m相同（省略）。頻率采樣法的缺點(diǎn): 濾波器邊界頻率不易精確控制。 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法總使通帶和阻帶波紋幅度相等，頻率采樣法只能依靠?jī)?yōu)化過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的取值控制阻帶波紋幅度，所以兩種方法都不能分

52、別控制通帶和阻帶波紋幅度。但是工程上對(duì)二者的要求是不同的，希望能分別控制。 所設(shè)計(jì)的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻帶邊界頻率越遠(yuǎn)，衰減越大。所以，如果在阻帶邊界頻率附近的衰減剛好達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，則阻帶中其他頻段的衰減就有很大富余量。這就說(shuō)明這兩種設(shè)計(jì)法存在較大的資源浪費(fèi)，或者說(shuō)所設(shè)計(jì)濾波器的性能價(jià)格比低。7.4 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器7.4.1 等波紋最佳逼近法的基本思想用Hd()表示希望逼近的幅度特性函數(shù)，要求設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器時(shí)，Hd()必須滿足線性相位約束條件。用Hg()表示實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性函數(shù)。定義加權(quán)誤差函數(shù)E()為（7.4.1） W(

53、)稱為誤差加權(quán)函數(shù)，用來(lái)控制不同頻段（一般指通帶和阻帶）的逼近精度。等波紋最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通帶和阻帶以|E()|的最大值最小化為準(zhǔn)則，采用Remez多重交換迭代算法求解濾波器系數(shù)h(n)。 W()取值越大的頻段, 逼近精度越高，開(kāi)始設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)根據(jù)逼近精度要求確定W()，在Remez多重交換迭代過(guò)程中W()是確知函數(shù)。 等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)中，把數(shù)字頻段分為“逼近（或研究）區(qū)域”和“無(wú)關(guān)區(qū)域”。逼近區(qū)域一般指通帶和阻帶，而無(wú)關(guān)區(qū)域一般指過(guò)渡帶。設(shè)計(jì)過(guò)程中只考慮對(duì)逼近區(qū)域的最佳逼近。應(yīng)當(dāng)注意，無(wú)關(guān)區(qū)寬度不能為零，即Hd()不能是理想濾波特性。圖7.4.1 等波紋濾波器的幅頻特性函數(shù)曲線及指

54、標(biāo)參數(shù)（7.4.2） （7.4.3） 由式（7.4.2）和（7.4.3）得到（7.4.4） 按照式（7.4.4）和（7.4.5）計(jì)算得到圖7.4.1(b)中的參數(shù): 1= 0.1146 ，2= 0.1。實(shí)際中, 1和2一般很小，這里為了觀察等波紋特性及參數(shù)1和2的含義，特意取較大值。（7.4.5） 圖7.4.2 誤差加權(quán)函數(shù)W()和濾波器階數(shù)N對(duì)逼近精度的影響步驟： （1） 根據(jù)給定的逼近指標(biāo)估算濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W()； （2） 采用remez算法得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)。MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez就是完成以上2個(gè)設(shè)計(jì)步驟的有效函數(shù)。7.4.2 reme

55、z和remezord函數(shù)及濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)1. remez和remezord函數(shù)1) remez采用remez算法可實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)。其調(diào)用格式為 hn=remez(M, f, m, w)調(diào)用結(jié)果返回單位脈沖響應(yīng)向量hn。remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)（M, f, m, w）一般通過(guò)調(diào)用remezord函數(shù)來(lái)計(jì)算。調(diào)用參數(shù)含義如下: M為 FIR數(shù)字濾波器階數(shù)，hn長(zhǎng)度N=M+1。 f和m給出希望逼近的幅度特性。f為邊界頻率向量，0f1，要求f為單調(diào)增向量（即f(k)f(k+1), k=1, 2, ），而且從0開(kāi)始，以1結(jié)束，1對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率=（模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示

56、時(shí)域采樣頻率）。m是與f對(duì)應(yīng)的幅度向量，m與f長(zhǎng)度相等。如果用命令Plot(f, m)畫(huà)出幅頻響應(yīng)曲線，則k為奇數(shù)時(shí)，頻段f(k)，f(k+1)上的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段f(k+1)，f(k+2)為無(wú)關(guān)區(qū)。起始頻段為第一段，奇數(shù)頻段為逼近區(qū)，偶數(shù)頻段為無(wú)關(guān)區(qū)。例如，對(duì)圖7.4.2，f=0, 1/4, 5/16, 1；m=1, 1, 0, 0；plot(f, m)畫(huà)出的幅度特性曲線如圖7.4.3所示， w為誤差加權(quán)向量，其長(zhǎng)度為f的一半。w(i)表示對(duì)m中第i個(gè)逼近頻段的誤差加權(quán)值。圖7.4.2(a)中, w=1, 10。缺省w時(shí)，默認(rèn)w為全1（即每個(gè)逼近頻段的誤差加權(quán)值相同）。

57、 除了設(shè)計(jì)選頻FIR數(shù)字濾波器，remez函數(shù)還可以設(shè)計(jì)兩種特殊濾波器：希爾伯特變換器和數(shù)字微分器，調(diào)用格式分別為 hn=remez(M, f, m, w, hilbert) hn=remez(M, f, m, w, defferentiator)2) remezord采用remezord函數(shù)，可根據(jù)逼近指標(biāo)估算等波紋最佳逼近FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù)M、誤差加權(quán)向量w和歸一化邊界頻率向量f，使濾波器在滿足指標(biāo)的前提下造價(jià)最低。其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。其調(diào)用格式為 M, fo, mo, w=remezord(f, m, rip, Fs) 參數(shù)說(shuō)明：f與remez中的類似，這里f

58、可以是模擬頻率（單位為Hz）或歸一化數(shù)字頻率，但必須從0開(kāi)始，到Fs/2（用歸一化頻率時(shí)對(duì)應(yīng)1）結(jié)束，而且其中省略了0和Fs/2兩個(gè)頻點(diǎn)。Fs為采樣頻率，缺省時(shí)默認(rèn)Fs=2Hz。但是這里f的長(zhǎng)度（包括省略的0和Fs/2兩個(gè)頻點(diǎn)）是m的兩倍，即m中的每個(gè)元素表示f給定的一個(gè)逼近頻段上希望逼近的幅度值。例如，對(duì)圖7.4.3，f=1/4, 5/16 ，m=1, 0。注意: 省略Fs時(shí)，f中必須為歸一化頻率。 有時(shí)估算的階數(shù)M略小，使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)不到指標(biāo)要求，這時(shí)要取M+1或M+2（必須注意對(duì)濾波器長(zhǎng)度N=M+1的奇偶性要求）。所以必須檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。 如果無(wú)關(guān)區(qū)（過(guò)渡帶）太窄，或截止頻率太接近零頻率和F

59、s/2時(shí)，設(shè)計(jì)結(jié)果可能不正確。rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋幅度（幅頻響應(yīng)最大偏差）. 一般以N, fo, mo, w=remezord(f, m, rip, Fs)返回的參數(shù)作為remez的調(diào)用參數(shù)，計(jì)算單位脈沖響應(yīng): hn=remez(N, fo, mo, w)。綜上所述，調(diào)用remez和remezord函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器，關(guān)鍵是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求出remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f、m、rip和Fs，其中Fs一般是題目給定的，或根據(jù)實(shí)際信號(hào)處理要求（按照采樣定理）確定。2. 濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)1) 低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶: 0, p，通帶最大衰減: pdB；逼近阻帶:

60、 s, ，阻帶最小衰減: sdB。remezord調(diào)用參數(shù):（7.4.6）其中，f向量省去了起點(diǎn)頻率0和終點(diǎn)頻率1，1和2分別為通帶和阻帶波紋幅度，由式（7.4.4）和（7.4.5）計(jì)算得到，下面相同。2) 高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶: p,，通帶最大衰減: pdB；逼近阻帶: 0, s，阻帶最小衰減: sdB。remezord調(diào)用參數(shù):（7.4.7）3) 帶通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶: pl, pu，通帶最大衰減: pdB；逼近阻帶: 0, sl，su, 阻帶最小衰減: sdB。remezord調(diào)用參數(shù):（7.4.8）4) 帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近阻帶: sl, su，阻帶最大衰減: sdB；逼