數(shù)字信號處理第7章有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計資料

1、第7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 7.2 利用窗函數(shù)法設計FIR濾波器 7.3 利用頻率采樣法設計FIR濾波器 7.4 利用等波紋最佳逼近法設計FIR數(shù)字濾波器 7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 用N表示FIR濾波器單位脈沖響應h(n)的長度，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 H(z)是z1的N1次多項式，它在z平面上有N1個零點，在原點z=0處有一個N1重極點。因此，H(z)永遠穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點。FIR濾波器的設計方法和IIR濾波器的設計方法有很大差別。FIR濾波器設計任務是選擇有限長度的h(n)，使頻率響應函數(shù)H

2、(ej)滿足技術指標要求。7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點1 線性相位FIR數(shù)字濾波器對于長度為N的h(n)，頻率響應函數(shù)為（7.1.1）（7.1.2）式中，Hg()稱為幅度特性; ()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|，Hg()為的實函數(shù)，可能取負值，而|H(ej)|總是正值。線性相位FIR濾波器是指()是的線性函數(shù)，即為常數(shù)-第一類線性相位如果()滿足下式：是起始相位- 第二類線性相位。 嚴格地說，此時()不具有線性相位特性，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即也稱這種情況為線性相位。2. 線性相位FIR的時域約束條件線性相位FIR濾波器的時域約束條件是指

3、滿足線性相位時，對h(n)的約束條件。1) 第一類線性相位對h(n)的約束條件 第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)()=，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:（7.1.5） 由式（7.1.5）得到:(7.1.6)將（7.1.6）式中兩式相除得到：即 移項并用三角公式化簡得到:函數(shù)h(n)sin(n)關于求和區(qū)間的中心(N1)/2奇對稱，是一組解。因為sin(n)關于n=奇對稱，如果取=(N1)/2，則要求h(n)關于(N1)/2偶對稱，所以要求和h(n)滿足如下條件: Attention: n為自變量（7.1.8） 如果要求單位脈沖響應為h(n)、長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類

4、線性相位特性（嚴格線性相位特性），則h(n)應當關于n=(N1)/2點偶對稱。 當N確定時，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的相位特性是一個確知的線性函數(shù)，即()=(N1)/2。N為奇數(shù)和偶數(shù)時, h(n)的對稱情況分別如表7.1.1中的情況1和情況2所示。表7.1.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 2) 第二類線性相位對h(n)的約束條件第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)()=/2， 經過同樣的推導過程可得到: 函數(shù)h(n)cos(n)關于求和區(qū)間的中心(N1)/2奇對稱，是一組解，因為cos(n)關于n=偶對稱，所以要求和h(n)滿足如下條件：（7.1.10） 由以上推導結論可知，如

5、果要求單位脈沖響應為h(n)、長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性，則h(n)應當關于n=(N1)/2點奇對稱。N為奇數(shù)和偶數(shù)時h(n)的對稱情況分別如表7.1.1中情況3和情況4所示。2 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點 幅度特性的特點就是線性相位FIR濾波器的頻域約束條件。為了推導方便，引入兩個參數(shù)符號： 表示取不大于(N1)/2的最大整數(shù)。顯然，僅當N為奇數(shù)時，M=(N1)/2 。 情況1： h(n)=h(Nn1), N為奇數(shù)。將時域約束條件h(n)=h(Nn1)和()=得到:所以因為cos(n-)關于=0, , 2三點偶對稱，可以看出，Hg()關于=0, , 2三

6、點偶對稱。因此情況1可以實現(xiàn)各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器。對于N=13的低通情況，Hg()的一種例圖如表7.1.1中情況1所示。Attention: 為自變量情況2： h(n)=h(Nn1), N為偶數(shù)。仿照情況1的推導方法得到:（7.1.12）式中，。因為是偶數(shù)，所以當時而且cos(n)關于過零點奇對稱，關于=0和2偶對稱。所以Hg()=0，Hg()關于=奇對稱，關于=0和2偶對稱。因此，情況2不能實現(xiàn)高通和帶阻濾波器。對N=12 的低通情況，Hg()如表7.1.1中情況2所示。情況3： h(n)=h(Nn1)，N為奇數(shù)。將時域約束條件h(n)=h(Nn1)和()=/2）， 并考慮，

7、得到:式中，N是奇數(shù)，=(N1)/2是整數(shù)。所以，當=0，, 2時，sin(n)=0, 而且sin(n)關于過零點奇對稱。因此Hg()關于=0, , 2三點奇對稱。由此可見，情況3只能實現(xiàn)帶通濾波器。對N=13的帶通濾波器舉例，Hg()如表7.1.1中情況3所示。 情況4： h(n)=h(Nn1), N為偶數(shù)。用情況3的推導過程可以得到:式中，N是偶數(shù)，=(N1)/2=N/21/2。所以，當=0, 2時，sin(n)=0；當=時，sin(n)=(1)(nN/2), 為峰值點。而且sin(n)關于過零點=0和2兩點奇對稱，關于峰值點=偶對稱。因此Hg()關于=0和2兩點奇對稱，關于=偶對稱。由此

8、可見，情況4不能實現(xiàn)低通和帶阻濾波器。對N=12的高通濾波器舉例，Hg()如表7.1.1中情況4所示。3. 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布特點將h(n)=h(N1n)代入上式, 得到:由（7.1.14）式可以看出，如z=zi是H(z)的零點，其倒數(shù)也必然是其零點；又因為h(n)是實序列，H(z)的零點必定共軛成對，因此也是其零點。這樣，線性相位FIR濾波器零點必定是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了, 如圖7.1.1中。當然，也有一些特殊情況，如圖7.1.1中z1、z2和z4情況。圖7.1.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布7.2 利用窗函數(shù)法設計FIR濾波器7.2

9、.1 窗函數(shù)法設計原理設希望逼近的濾波器頻率響應函數(shù)為Hd(ej)，其單位脈沖響應是hd(n)。如果能夠由已知的Hd(ej)求出hd(n)，經過Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。但通常以理想濾波器作為Hd(ej)，其幅度特性逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點，因而hd(n)是無限時寬的，且是非因果序列。例如，線性相位理想低通濾波器的頻率響應函數(shù)Hd(ej)為 其單位脈沖響應hd(n)為 理想低通濾波器的單位脈沖響應hd(n)是無限長，且是非因果序列。hd(n)的波形如圖7.2.1（a）所示。為了構造一個長度為N的第一類線性相位FIR濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段關于n=（N1）/

10、2偶對稱。設截取的一段用h(n)表示，即式中, RN(n)是一個矩形序列，長度為N，波形如圖7.2.1（b）所示。由該圖可知，當取值為（N1）/2時，截取的一段h(n) 關于n=（N1）/2偶對稱，保證所設計的濾波器具有線性相位。我們實際設計的濾波器的單位脈沖響應為h(n)，長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，這樣用一個有限長的序列h(n)去代替hd(n)，肯定會引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說的吉布斯（Gibbs）效應。該效應引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內的波動，尤其使阻帶的衰減小，從而滿足不了技術上的要求。這種吉布斯效應是由于將hd(n)直接截斷引起的，因此，也稱為截斷效應。圖7.2.1 窗函

11、數(shù)設計法的時域波形（矩形窗，N=30）圖7.2.2 吉普斯效應 Hd(ej)是一個以2為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級數(shù)，即傅里葉級數(shù)的系數(shù)為hd(n)，為Hd(ej)對應的單位脈沖響應。設計FIR濾波器就是根據(jù)要求找到N個傅里葉級數(shù)系數(shù)h(n)，n=1, 2, , N1，以N項傅氏級數(shù)去近似代替無限項傅氏級數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點附近會引起較大誤差，這種誤差就是前面說的截斷效應。窗函數(shù)法又稱為傅氏級數(shù)法顯然，選取傅氏級數(shù)的項數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但項數(shù)增多即h(n)長度增加，也使成本和濾波計算量加大，應在滿足技術要求的條件下，盡量減小h(n)的長度。RN(n)（矩形序列）就是起對無限長序

12、列的截斷作用，RN(n)可看做一個窗口，h(n)則是從窗口看到的一段hd(n)序列，所以稱h(n)=hd(n)RN(n)為用矩形窗對hd(n)進行加窗處理。 用w(n)表示窗函數(shù)，用下標表示窗函數(shù)類型，矩形窗記為wR(n)。用N表示窗函數(shù)長度。（7.2.4）根據(jù)傅里葉變換的時域卷積定理，h(n)=hd(n)WR(n)的傅里葉變換：式中，Hd(ej)和WR(ej)分別是hd(n)和WN(n)的傅里葉變換，即（7.2.5）WRg()稱為矩形窗的幅度函數(shù)，將圖中2/N, 2/N區(qū)間上的一段波形稱為WRg()的主瓣，其余較小的波動稱為旁瓣。將Hd(ej)寫成Hd(ej)=Hdg()ej， 則按照（7.

13、2.1）式，理想低通濾波器的幅度特性函數(shù)（如圖7.2.3（a）所示）為式中圖7.2.3 矩形窗加窗效應將Hd(ej)和WR(ej)代入（7.2.4）式，得到：將H(ej)寫成H(ej)=Hg()ej ，則加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg()與矩形窗幅度特性WRg()的卷積。Summary： 1， 在理想特性不連續(xù)點=c附近形成過渡帶。過渡帶的寬度近似等于WRg()主瓣寬度4/N。2， 通帶內產生了波紋，最大的峰值在c2/N處。阻帶內產生了余振，最大的負峰在c+2/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關， WRg()旁瓣幅度的大小直接影響Hg()波紋幅度的大小

14、。 吉布斯效應直接影響濾波器的性能。通帶內的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內的波紋影響阻帶內的衰減，可能使最小衰減不滿足技術指標要求。 一般濾波器都要求過渡帶愈窄愈好。直觀上，好像增加矩形窗的長度，即加大N，就可以減少吉布斯效應的影響。只要分析一下N加大時WRg()的變化，就可以看到這一結論不是完全正確。我們討論在主瓣附近的情況。在主瓣附近，按照式（7.2.5），WRg()可近似為該函數(shù)的性質是隨x加大（N加大），主瓣幅度加高，同時旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對值不變；另一方面，N加大時，WRg()的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動的頻率加快。三種不同長度的矩形窗函數(shù)的幅度特性WRg()曲線如圖

15、7.2.4(a)、(b)、(c)所示。用這三種窗函數(shù)設計的FIR濾波器的幅度特性Hg()曲線如圖7.2.4(d)、(e)、(f)所示。因此，當N加大時，Hg()的波動幅度沒有多大改善，帶內最大肩峰比H(0)高8.95%，阻帶最大負峰值為H(0)的8.95%，使阻帶最小衰減只有21 dB。加大N只能使Hg()過渡帶變窄（過渡帶近似為主瓣寬度4/N）。因此加大N, 并不是減小吉布斯效應的有效方法。圖7.2.4 矩形窗函數(shù)長度的影響調整窗口長度N只能有效地控制過渡帶的寬度，而要減少帶內波動以及增大阻帶衰減，只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法。構造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應

16、旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動減小，從而加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。7.2.2 典型窗函數(shù)介紹幾種常用窗函數(shù)的時域表達式、時域波形、幅度特性函數(shù)（衰減用dB計量）曲線，以及用各種窗函數(shù)設計的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應和損耗函數(shù)曲線。為了敘述簡單，把這組波形圖簡稱為“四種波形”。下面均以低通為例，Hd(ej)取理想低通，c=/2，窗函數(shù)長度N=31。1 矩形窗（Rectangle Window）wR(n)=RN(n)前面已分析過，按照（7.2.5）式，其幅度函數(shù)為（7.2.7） 為了描述方便，定義窗函數(shù)的幾個參數(shù): 旁瓣峰值n窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg()|的最大旁

17、瓣的最大值相對主瓣最大值的衰減值（dB）；過渡帶寬度Bg用該窗函數(shù)設計的FIR數(shù)字濾波器（FIRDF）的過渡帶寬度；阻帶最小衰減s用該窗函數(shù)設計的FIRDF的阻帶最小衰減。圖7.2.4所示的矩形窗的參數(shù)為: n=13 dB；Bg=4/N; s=21 dB。2 三角形窗（Bartlett Window）（7.2.8） 其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為 （7.2.10）三角窗的四種波形如圖7.2.5所示，參數(shù)為: n=25 dB; Bg=8/N; s=25 dB。圖7.2.5 三角窗的四種波形3 漢寧（Hanning）窗升余弦窗（7.2.11） 當N1時， N1N漢寧窗的幅度函數(shù)WHng()由三部分相加，

18、旁瓣互相對消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖7.2.6所示，參數(shù)為: n=31 dB; Bg=8/N; s=44 dB。圖7.2.6 漢寧窗的四種波形4 哈明（Hamming）窗改進的升余弦窗 （7.2.12）其頻譜函數(shù)WHm(ej)為其幅度函數(shù)WHmg()為當N時，其可近似表示為這種改進的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.96%，瓣峰值幅度為40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為8/N?？梢姽鞔笆且环N高效窗函數(shù)，所以MATLAB窗函數(shù)設計函數(shù)的默認窗函數(shù)就是哈明窗。哈明窗的四種波形如圖7.2.7所示，參數(shù)為: n=41 dB; Bg=8/N; s=53

19、dB。圖7.2.7 哈明窗的四種波形（7.2.13）5 布萊克曼（Blackman）窗其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WRg()函數(shù)，使旁瓣再進一步抵消。旁瓣峰值幅度進一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍。布萊克曼窗的四種波形如圖7.2.8所示，參數(shù)為: n=57 dB; B=12/N; s=74 dB。（7.2.14）圖7.2.8 布萊克曼窗的四種波形 6 凱塞貝塞爾窗（Kaiser-Basel Window）以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞貝塞爾窗是一種參數(shù)可調的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。 （7

20、.2.15）式中I0()是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：一般I0()取1525項，便可以滿足精度要求。 參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4 9。當 =5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。 =7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設計指標給定時，可以調整值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱塞（Kaiser）給出的估算和濾波器階數(shù)N的公式如下:（7.2.17） 式中，Bt=|sp|, 是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。應當注意，因為式（7.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對設計結果進行檢驗。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨立控制通帶波紋幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波

21、紋幅度。凱塞窗的幅度函數(shù)為（7.2.16） （7.2.18）對的8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7.2.1中，供設計者參考。由表可見, 當 =5.568時, 各項指標都好于哈明窗。6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7.2.2中，可供設計時參考。表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影 表7.2.2 6種窗函數(shù)的基本參數(shù) 表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對應的窗函數(shù)設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應指標。隨著數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展，學者們提出的窗函數(shù)已多達幾十種，除了上述6種窗函數(shù)外，比較有名的還有Chebyshev窗、Gaussian窗。wn=boxcar(N)列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)

22、w(n)wn=bartlett(N) 列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N) 列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) 列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N) 列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N, beta) 列向量wn中返回長度為N的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w(n)7.2.3 用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟如下：(1) 根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計窗口長度N。先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。原則是在保證阻帶衰

23、減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。然后根據(jù)過渡帶寬度估計窗口長度N。待求濾波器的過渡帶寬度Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長度N成反比，NA/Bt，A取決于窗口類型，例如，矩形窗的A=4，哈明窗的A=8等，參數(shù)A的近似和精確取值參考表7.2.2。 (2) 構造希望逼近的頻率響應函數(shù)Hd(ej)，即 對所謂的“標準窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ej)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。以低通濾波器為例，Hdg()應滿足： （7.2.19） 由圖7.2.2知道，理想濾波器的截止頻率c近似位于最終設計的FIRDF的過渡帶的中心頻率點，幅度函數(shù)衰減一半（約6

24、dB）。所以如果設計指標給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率p和s， 一般?。?.2.20）(3) 計算hd(n)。 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ej)，那么單位脈沖響應用下式求出：（7.2.21）如果Hd(ej)較復雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出hd(n)。我們可以對Hd(ej)從=0到=2采樣M點，采樣值為 ，k=0 ,1, 2, , M1，進行M點IDFT(IFFT)，得到： （7.2.22）根據(jù)頻域采樣理論，hdM(n)與hd(n)應滿足如下關系：因此，如果M選得較大，可以保證在窗口內hdM(n)有效逼近hd(n)。對線性相位理想低通濾波器作為Hd(ej)，其單位脈沖響

25、應hd(n)：為保證線性相位特性， =(N1)/2。(4) 加窗得到設計結果：h(n)=hd(n)w(n)?！纠?.2.1】 用窗函數(shù)法設計線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率p=/2 rad，阻帶截止頻率s=/4 rad，通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=40 dB。解 (1） 選擇窗函數(shù)w(n)，計算窗函數(shù)長度N。已知阻帶最小衰減 s=40 dB，由表（7.2.2）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。本例中過渡帶寬度Btps=/4， 漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt=6.2/N，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得N24.8。對高通濾波器N必須取奇數(shù)，取N=25。由式（

26、7.2.11）, 有（2） 構造Hd(ej):式中（3） 求出hd(n):將=12代入得 (n12)對應全通濾波器，是截止頻率為3/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應的另一個公式。 （4） 加窗:7.2.4 窗函數(shù)法的MATLAB設計函數(shù)簡介實際設計時一般用MATLAB工具箱函數(shù)?？烧{用工具箱函數(shù)fir1實現(xiàn)窗函數(shù)法設計步驟（2）（4）的解題過程。(1) fir1是用窗函數(shù)法設計線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標準窗函數(shù)法設計。這里的所謂“標準”，是指在設計低通、高通、帶通和帶阻

27、FIR濾波器時，Hd(ej)分別表示相應的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應函數(shù)。因而將所設計的濾波器的頻率響應稱為標準頻率響應。Fir1的調用格式及功能： hn=fir1(M, wc)，返回6 dB截止頻率為wc的M階（單位脈沖響應h(n)長度N=M+1）FIR低通（wc為標量）濾波器系數(shù)向量hn，默認選用哈明窗。濾波器單位脈沖響應h(n)與向量hn的關系為h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, , M而且滿足線性相位條件: h(n)=h(N1n)。其中wc為對歸一化的數(shù)字頻率，0wc1。 當wc=wcl, wcu時，得到的是帶通濾波器，其6 dB通帶為wclwcu。

28、 hn=fir1(M, wc, ftype)，可設計高通和帶阻FIR濾波器。當ftype=high時，設計高通FIR濾波器；當ftype=stop，且wc=wcl, wcu時，設計帶阻FIR濾波器。 應當注意，在設計高通和帶阻FIR濾波器時，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h(n)長度N=M+1為奇數(shù)）。不過，當用戶將M設置為奇數(shù)時，fir1會自動對M加1。 hn=fir1(M, wc, window)，可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認為哈明窗。例如:hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1)，使用Bartlett窗設計；hn =fir1(M, wc,

29、blackman(M+1)，使用blackman窗設計；hn=fir1(M, wc, ftype, window)，通過選擇wc、ftype和window參數(shù)（含義同上），可以設計各種加窗濾波器。(2) fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設計函數(shù)，用fir2設計時，可以指定任意形狀的Hd(ej)，它實質是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設計函數(shù)。主要用于設計幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。用help命令查閱其調用格式及調用參數(shù)的含義。例7.2.1 的設計程序ep721.m如下: ep721.m: 例7.2.1 用窗函數(shù)法設計線性相位高通FIR數(shù)字濾波器wp=pi/2;

30、ws=pi/4;Bt=wp-ws; 計算過渡帶寬度N0=ceil(6.2*pi/Bt); 根據(jù)表7.2.2漢寧窗計算所需h(n)長度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整數(shù)N=N0+mod(N0+1, 2); 確保h(n)長度N是奇數(shù)wc=(wp+ws)/2/pi; 計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關于歸一化)hn=fir1(N-1, wc, high, hanning(N); 調用fir1計算高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)略去繪圖部分運行程序得到h(n)的25個值:h(n)= 0.0004 0.0006 0.0028 0.0071 0.0000 0.0185 0.0210 0.0165 0

31、.0624 0.0355 0.10610.2898 0.6249 0.2898 0.1061 0.0355 0.0624 0.0165 0.0210 0.0185 0.0000 0.0071 0.00280.00060.0004高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)及損耗函數(shù)如圖7.2.9所示。圖7.2.9 高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線【例7.2.2】 對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶0f 1.5kHz內衰減小于1 dB， 阻帶2.5kHzf 上衰減大于40 dB。希望對模擬信號采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10 kHz。用窗函數(shù)法設計滿足要求的F

32、IR數(shù)字低通濾波器，求出h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。為了降低運算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。解 （1） 確定相應的數(shù)字濾波器指標: 通帶截止頻率為 阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為 s =40dB（2） 用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（7.2.16）計算凱塞窗的控制參數(shù)為指標要求過渡帶寬度Bt=sp=0.2，根據(jù)式（7.2.17）計算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以h(n)長度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，h(n)長度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率c=(s+p)/2=0.4，所以, 得到:式中，w(n)是長度為24（ =3.3

33、95）的凱塞窗函數(shù)。實現(xiàn)本例設計的MATLAB程序為ep722.m。ep722.m: 例7.2.2 用凱塞窗函數(shù)設計線性相位低通FIR數(shù)字濾波器 fp=1500;fs=2500;rs=40; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs; Bt=ws-wp; %計算過渡帶寬度 alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21); %根據(jù)(7.2.16)式計算kaiser窗的控制參數(shù) N=ceil(rs-8)/2.285/Bt); %根據(jù)(7.2.17)式計算kaiser窗所需階數(shù)N wc=(wp+ws)/2/pi; %計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關于歸一

34、化） hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph); %調用kaiser計算低通FIRDF的h(n) 以下繪圖部分省去運行程序得到h(n)的24個值:h(n)=0.00390.00410.00620.01470.00000.02860.0242 0.03320.07550.00000.1966 0.37240.37240.1966 0.00000.07550.0332 0.0242 0.02860.00000.0147 0.00620.00410.0039低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形和損耗函數(shù)曲線如圖7.2.10所示。圖7.2.10 低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗

35、函數(shù)曲線【例7.2.3】 窗函數(shù)法設計一個線性相位FIR帶阻濾波器。要求通帶下截止頻率lp =0.2，阻帶下截止頻率ls=0.35，阻通帶上截止頻率us=0.65，通帶上截止頻率up=0.8， 通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=60 dB。解 本例直接調用fir1函數(shù)設計。因為阻帶最小衰減 s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長度N，布萊克曼窗的過渡帶寬度Bt=12/N，所以解之得N=80。調用參數(shù)設計程序為ep723.m，參數(shù)計算也由程序完成。ep723.m: 例7.2.3 用窗函數(shù)法設計線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器wlp=0.2*pi;wls=0.35

36、*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi; %設計指標參數(shù)賦值B=wls-wlp; %過渡帶寬度N=ceil(12*pi/B); %計算階數(shù)N,ceil(x)為大于等于x的最小整數(shù)wp=(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi; %設置理想帶通截止頻率hn=fir1(N,wp,stop,blackman(N+1); %帶阻濾波器要求h(n)長度為奇數(shù)，所以取N+1省略繪圖部分程序運行結果: N=81由于h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖7.2.11所示。圖7.2.11 帶阻FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線7.3 利用頻率采

37、樣法設計FIR濾波器1 用頻率采樣法設計濾波器的基本思想設希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)用Hd(ej)表示，對它在=0到2之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)：（7.3.1）再對Hd(k)進行N點IDFT，得到h(n)： （7.3.2）式中，h(n)作為所設計的FIR濾波器的單位脈沖響應，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為（7.3.3）另外根據(jù)頻率域采樣理論，得到H(z)的內插表示形式：（7.3.4）此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，（7.3.3）式適合FIR直接型網(wǎng)絡結構，（7.3.4）式適合頻率采樣結構。 一個是為了設計線性相位FIR濾波器，頻域采樣序列Hd(k)應滿足的條件；另一個是

38、逼近誤差問題及其改進措施。2 設計線性相位濾波器時對Hd(k)的約束條件FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)為實序列，且滿足h(n)=h(Nn1)，在此基礎上我們已推導出其頻響函數(shù)應滿足的條件是：（7.3.5）（7.3.6）(7.3.7)(7.3.8)N = 奇數(shù) N = 偶數(shù) 在=02區(qū)間上N個等間隔的采樣頻點為將=k代入（7.3.5）（7.3.8）式中，并寫成k的函數(shù)：（7.3.12） k = 0，1，2，N 1 （7.3.9）（7.3.10）（7.3.11）N = 奇數(shù) N = 偶數(shù) N等于奇數(shù)時Hg(k)關于N/2點偶對稱。N等于偶數(shù)時，Hg(k)關于N/2點奇對稱，且Hg(N/2

39、)=0。 設用理想低通作為希望逼近的濾波器Hd(ej)，截止頻率為c，采樣點數(shù)為N，Hg(k)和(k)用下列公式計算：N=奇數(shù)時，（7.3.13） N=偶數(shù)時，上面公式中的kc是通帶內最后一個采樣點的序號，所以kc的值取不大于cN/(2)的最大整數(shù)。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。（7.3.14）3 逼近誤差及其改進措施如果待逼近的濾波器為Hd(ej)，對應的單位脈沖響應為hd(n)，則由頻率域采樣定理知道，在頻域02范圍等間隔采樣N點，利用IDFT得到的h(n)應是hd(n)以N為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即如果Hd(ej)有間斷點，那么相應的單位脈沖響應hd(n)應是無限長

40、的。這樣，由于時域混疊及截斷，使h(n)與hd(n)有偏差。所以，頻域的采樣點數(shù)N愈大，時域混疊愈小，設計出的濾波器頻響特性愈逼近Hd(ej)。上面是從時域分析其設計誤差的來源，下面從頻域分析。頻域采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經過IDFT得到h(n)，由（3.3.7）和（3.3.8）式，得到H(ej)=FTh(n)的內插表示形式： 式中上式表明，在采樣頻點，k=2k/N, k=0，1，2，N1, (2k/N)=1，因此采樣點處與H(k)相等，逼近誤差為0。在采樣點之間，由N項H(k)(2k/N)之和形成。頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內插波形Hg()如圖7.3.1所示。圖7.3.1

41、的上圖 7.3.1(a) 中, 實線表示希望逼近的理想幅度函數(shù)Hdg(), 黑點表示幅度采樣序列Hg(k); 下圖7.3.1(b)中, 實線Hg(）與虛線dg()的誤差與Hdg()特性的平滑程度有關，Hdg()特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈小；特性曲線間斷點處，誤差最大。表現(xiàn)形式為間斷點變成傾斜下降的過渡帶曲線，過渡帶寬度近似為2/N。通帶和阻帶內產生震蕩波紋，且間斷點附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術要求。 當然，增加N可以使過渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨N的增大并無明顯改善。且N太大，會增加濾波器的階數(shù)，即增加了運算量和成本。N=15和N=75兩種情況下的幅度內插波

42、形Hg()如圖7.3.2所示，圖中的空心圓和實心圓點分別表示N=15和N=75時的頻域幅度采樣。運行本書程序庫程序fig731-2.m，即可繪制出圖7.3.1和圖7.3.2，并分別輸出兩種采樣點數(shù)（N=15和N=75）的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s。N=15時，通帶最大衰減 p=0.8340 dB，阻帶最小衰減 s=15.0788 dB； N=75時，通帶最大衰減 p=1.0880 dB，阻帶最小衰減 s=16.5815 dB。 所以，直接對理想濾波器的頻率響應采樣的“基本頻率采樣設計法”不能滿足一般工程對阻帶衰減的要求。 圖7.3.1 頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內插波形Hg()圖7

43、.3.2 N=15和N=75的幅度內插波形Hg() 在窗函數(shù)設計法中，通過加大過渡帶寬度換取阻帶衰減的增加。頻率采樣法同樣滿足這一規(guī)律。提高阻帶衰減的具體方法是在頻響間斷點附近區(qū)間內插一個或幾個過渡采樣點，使不連續(xù)點變成緩慢過渡帶，這樣，雖然加大了過渡帶，但阻帶中相鄰內插函數(shù)的旁瓣正負對消，明顯增大了阻帶衰減。過渡帶采樣點的個數(shù)與阻帶最小衰減 s的關系以及使阻帶最小衰減 s最大化的每個過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。其基本思想是將過渡帶采樣值設為自由量，用一種優(yōu)化算法（如線性規(guī)劃算法）改變它們，最終使阻帶最小衰減 s最大。表7.3.1 過渡帶采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減 s的經驗數(shù)據(jù)

44、 4 頻率采樣法設計步驟綜上所述，可歸納出頻率采樣法的設計步驟: （1） 根據(jù)阻帶最小衰減 s選擇過渡帶采樣點的個數(shù)m。 （2） 確定過渡帶寬度Bt，估算頻域采樣點數(shù)（即濾波器長度）N。如果增加m個過渡帶采樣點，則過渡帶寬度近似變成(m+1)2/N。當N確定時，m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度Bt，則要求(m+1)2/NBt ，濾波器長度N必須滿足如下估算公式:（7.3.15） （3） 構造一個希望逼近的頻率響應函數(shù): 設計標準型片斷常數(shù)特性的FIR數(shù)字濾波器時，一般構造幅度特性函數(shù)Hdg()為相應的理想頻響特性，且滿足表7.1.1要求的對稱性。 （4） 按照（7.3.1）式進行頻域采樣

45、: （7.3.16） （7.3.17） 并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值可以設置為經驗值，或用累試法確定，也可以采用優(yōu)化算法估算。 （5） 對H(k)進行N點IDFT，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應：（7.3.18） （6） 檢驗設計結果。如果阻帶最小衰減未達到指標要求，則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標要求為止。如果濾波器邊界頻率未達到指標要求，則要微調Hdg()的邊界頻率。 上述設計過程中的計算相當繁瑣，所以通常借助計算機設計。MATLAB就是一種很有效的語言?！纠?.3.1】 用頻率采樣法設計第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率p=/3，阻帶最小衰減大于4

46、0 dB，過渡帶寬度Bt/16。解 查表7.3.1， s=40 dB時，過渡帶采樣點數(shù)m=1。將m=1和Bt/16代入（7.3.15）式估算濾波器長度: N(m+1)2/Bt=64，留一點富余量，取N=65。構造Hd(ej)=Hdg()ej(N1)/2為理想低通特性，其幅度響應函數(shù)Hdg()如圖7.3.3(a)中實線所示。圖7.3.3 一個過渡點的設計結果(T=0.38)設計由以下程序ep731.m完成：ep732.m: 用頻率采樣法設計FIR低通濾波器 T=input(T= ) 輸入過渡帶采樣值T Bt=pi/16;wp=pi/3; 過渡帶寬度為pi/16，通帶截止頻率為pi/3 m=1;N

47、=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1; 按式（7.3.15）估算采樣點數(shù)N Np=fix(wp/(2*pi/N); Np+1為通帶0, wp上采樣點數(shù) Ns=N2*Np1; Ns為阻帶wp, 2*piwp上采樣點數(shù) Hk=ones(1, Np+1), zeros(1, Ns), ones(1, Np);N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對稱H(k)=H(Nk) Hk(Np+2)=T;Hk(NNp)=T; 加一個過渡采樣 thetak=pi*(N1)*(0:N1)/N; 相位采樣向量(k)=(N1)k/N, 0kN1 Hdk=Hk.*exp(j*thetak); 構造頻域采樣向量Hd(k) hn=r

48、eal(ifft(Hdk); h(n)=IDFTH(k) Hw=fft(hn, 1024); 計算頻率響應函數(shù):DFTh(n)wk=2*pi* 0:1023/1024; Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N1)/2); 計算幅度響應函數(shù)Hg() 計算通帶最大衰減Rp和阻帶最小衰減Rs Rp=max(20*log10(abs(Hgw) hgmin=min(real(Hgw);Rs=20*log10(abs(hgmin) 以下繪圖部分略去運行程序，輸入T=0.38，得到設計結果如圖7.3.3所示，并輸出通帶最大衰減 p=0.4767 dB， 阻帶最小衰減 s=43.4411 dB。但是，如果過渡

49、帶采樣值T=0.5和0.6，則得到阻帶最小衰減 s=29.6896 dB和25.0690 dB。由此可見，當過渡帶采樣點數(shù)給定時，過渡帶采樣值不同，則逼近誤差不同。所以，對過渡帶采樣值進行優(yōu)化設計才是有效的方法。hn= fir2(M,F,A,window(M+1)設計一個M階線性相位FIR數(shù)字濾波器，返回長度為N=M+1的單位脈沖響應序列向量hn。window表示窗函數(shù)名，缺省該項時默認選用Hamming窗?？晒┻x擇的窗函數(shù)有Boxcar、 Bartlett、Hann、Hamm、 Blackman、Kaiser和 Chebwin。當window=boxcar時，fir2就是純粹的頻率采樣設計法

50、。希望逼近的幅度特性由邊界頻率向量F和相應的幅度向量A確定，plot(F, A)畫出的就是希望逼近的幅度特性曲線。圖7.3.4 例7.3.1希望逼近的幅度特性（T=0.38）F為對歸一化的數(shù)字頻率向量，0F1。而且F的元素必須是單調遞增的，以0開始，以1結束，1對應于模擬頻率Fs/2。對例7.3.1，F(xiàn)=0,wc/pi, wc/pi+2/N,wc/pi+4/N,1; A=1,1,T,0,0。其中，wc/pi+2/N為過渡帶采樣點頻率，T為過渡帶采樣值。plot(F,A)畫出的就是希望逼近的幅度特性曲線, 如圖7.3.4所示。%調用fir2求解例7.3.1的程序ep731b.mT=input(T

51、= ) %鍵入過渡采樣值TBt=pi/16;wp=pi/3; %過渡帶寬度pi/16,通帶截止頻率為pi/3；m=1;%過渡點個數(shù)m=1N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1 %按（7.3.15）式估算采樣點數(shù)NF=0,wp/pi,wp/pi+2/N,wp/pi+4/N,1;A=1,1,T,0,0;%設置調用參數(shù)向量F和Ahn=fir2(N-1,F,A,boxcar(N);%選用矩形窗函數(shù)以下與ep731.m相同（省略）。頻率采樣法的缺點: 濾波器邊界頻率不易精確控制。 窗函數(shù)設計法總使通帶和阻帶波紋幅度相等，頻率采樣法只能依靠優(yōu)化過渡帶采樣點的取值控制阻帶波紋幅度，所以兩種方法都不能分

52、別控制通帶和阻帶波紋幅度。但是工程上對二者的要求是不同的，希望能分別控制。 所設計的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻帶邊界頻率越遠，衰減越大。所以，如果在阻帶邊界頻率附近的衰減剛好達到設計指標要求，則阻帶中其他頻段的衰減就有很大富余量。這就說明這兩種設計法存在較大的資源浪費，或者說所設計濾波器的性能價格比低。7.4 利用等波紋最佳逼近法設計FIR數(shù)字濾波器7.4.1 等波紋最佳逼近法的基本思想用Hd()表示希望逼近的幅度特性函數(shù)，要求設計線性相位FIR數(shù)字濾波器時，Hd()必須滿足線性相位約束條件。用Hg()表示實際設計的濾波器幅度特性函數(shù)。定義加權誤差函數(shù)E()為（7.4.1） W(

53、)稱為誤差加權函數(shù)，用來控制不同頻段（一般指通帶和阻帶）的逼近精度。等波紋最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通帶和阻帶以|E()|的最大值最小化為準則，采用Remez多重交換迭代算法求解濾波器系數(shù)h(n)。 W()取值越大的頻段, 逼近精度越高，開始設計時應根據(jù)逼近精度要求確定W()，在Remez多重交換迭代過程中W()是確知函數(shù)。 等波紋最佳逼近設計中，把數(shù)字頻段分為“逼近（或研究）區(qū)域”和“無關區(qū)域”。逼近區(qū)域一般指通帶和阻帶，而無關區(qū)域一般指過渡帶。設計過程中只考慮對逼近區(qū)域的最佳逼近。應當注意，無關區(qū)寬度不能為零，即Hd()不能是理想濾波特性。圖7.4.1 等波紋濾波器的幅頻特性函數(shù)曲線及指

54、標參數(shù)（7.4.2） （7.4.3） 由式（7.4.2）和（7.4.3）得到（7.4.4） 按照式（7.4.4）和（7.4.5）計算得到圖7.4.1(b)中的參數(shù): 1= 0.1146 ，2= 0.1。實際中, 1和2一般很小，這里為了觀察等波紋特性及參數(shù)1和2的含義，特意取較大值。（7.4.5） 圖7.4.2 誤差加權函數(shù)W()和濾波器階數(shù)N對逼近精度的影響步驟： （1） 根據(jù)給定的逼近指標估算濾波器階數(shù)N和誤差加權函數(shù)W()； （2） 采用remez算法得到濾波器單位脈沖響應h(n)。MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez就是完成以上2個設計步驟的有效函數(shù)。7.4.2 reme

55、z和remezord函數(shù)及濾波器設計指標1. remez和remezord函數(shù)1) remez采用remez算法可實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設計。其調用格式為 hn=remez(M, f, m, w)調用結果返回單位脈沖響應向量hn。remez函數(shù)的調用參數(shù)（M, f, m, w）一般通過調用remezord函數(shù)來計算。調用參數(shù)含義如下: M為 FIR數(shù)字濾波器階數(shù)，hn長度N=M+1。 f和m給出希望逼近的幅度特性。f為邊界頻率向量，0f1，要求f為單調增向量（即f(k)f(k+1), k=1, 2, ），而且從0開始，以1結束，1對應數(shù)字頻率=（模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示

56、時域采樣頻率）。m是與f對應的幅度向量，m與f長度相等。如果用命令Plot(f, m)畫出幅頻響應曲線，則k為奇數(shù)時，頻段f(k)，f(k+1)上的幅頻響應就是期望逼近的幅頻響應值，頻段f(k+1)，f(k+2)為無關區(qū)。起始頻段為第一段，奇數(shù)頻段為逼近區(qū)，偶數(shù)頻段為無關區(qū)。例如，對圖7.4.2，f=0, 1/4, 5/16, 1；m=1, 1, 0, 0；plot(f, m)畫出的幅度特性曲線如圖7.4.3所示， w為誤差加權向量，其長度為f的一半。w(i)表示對m中第i個逼近頻段的誤差加權值。圖7.4.2(a)中, w=1, 10。缺省w時，默認w為全1（即每個逼近頻段的誤差加權值相同）。

57、 除了設計選頻FIR數(shù)字濾波器，remez函數(shù)還可以設計兩種特殊濾波器：希爾伯特變換器和數(shù)字微分器，調用格式分別為 hn=remez(M, f, m, w, hilbert) hn=remez(M, f, m, w, defferentiator)2) remezord采用remezord函數(shù)，可根據(jù)逼近指標估算等波紋最佳逼近FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù)M、誤差加權向量w和歸一化邊界頻率向量f，使濾波器在滿足指標的前提下造價最低。其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調用參數(shù)。其調用格式為 M, fo, mo, w=remezord(f, m, rip, Fs) 參數(shù)說明：f與remez中的類似，這里f

58、可以是模擬頻率（單位為Hz）或歸一化數(shù)字頻率，但必須從0開始，到Fs/2（用歸一化頻率時對應1）結束，而且其中省略了0和Fs/2兩個頻點。Fs為采樣頻率，缺省時默認Fs=2Hz。但是這里f的長度（包括省略的0和Fs/2兩個頻點）是m的兩倍，即m中的每個元素表示f給定的一個逼近頻段上希望逼近的幅度值。例如，對圖7.4.3，f=1/4, 5/16 ，m=1, 0。注意: 省略Fs時，f中必須為歸一化頻率。 有時估算的階數(shù)M略小，使設計結果達不到指標要求，這時要取M+1或M+2（必須注意對濾波器長度N=M+1的奇偶性要求）。所以必須檢驗設計結果。 如果無關區(qū)（過渡帶）太窄，或截止頻率太接近零頻率和F

59、s/2時，設計結果可能不正確。rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋幅度（幅頻響應最大偏差）. 一般以N, fo, mo, w=remezord(f, m, rip, Fs)返回的參數(shù)作為remez的調用參數(shù)，計算單位脈沖響應: hn=remez(N, fo, mo, w)。綜上所述，調用remez和remezord函數(shù)設計線性相位FIR數(shù)字濾波器，關鍵是根據(jù)設計指標求出remezord函數(shù)的調用參數(shù)f、m、rip和Fs，其中Fs一般是題目給定的，或根據(jù)實際信號處理要求（按照采樣定理）確定。2. 濾波器設計指標1) 低通濾波器設計指標逼近通帶: 0, p，通帶最大衰減: pdB；逼近阻帶:

60、 s, ，阻帶最小衰減: sdB。remezord調用參數(shù):（7.4.6）其中，f向量省去了起點頻率0和終點頻率1，1和2分別為通帶和阻帶波紋幅度，由式（7.4.4）和（7.4.5）計算得到，下面相同。2) 高通濾波器設計指標逼近通帶: p,，通帶最大衰減: pdB；逼近阻帶: 0, s，阻帶最小衰減: sdB。remezord調用參數(shù):（7.4.7）3) 帶通濾波器設計指標逼近通帶: pl, pu，通帶最大衰減: pdB；逼近阻帶: 0, sl，su, 阻帶最小衰減: sdB。remezord調用參數(shù):（7.4.8）4) 帶阻濾波器設計指標逼近阻帶: sl, su，阻帶最大衰減: sdB；逼