非線性回歸模型的線性化

1、非線性回歸模型的線性化第1頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四 在這樣一些非線性關(guān)系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個(gè)問題。2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系2第2頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四3線性模型的含義 線性模型的基本形式是: 其特點(diǎn)是可以寫成每一個(gè)解釋變量和一個(gè)系數(shù)相乘的形式。 線性模型的線性包含兩重含義： （1）變量的線性 變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以 或 之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。第3頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)

2、與管理系4（2）參數(shù)的線性 因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。第4頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四非線性回歸模型的分類：1 雖然被解釋變量Y與解釋變量 之間不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù) 之間存在著線性關(guān)系，這種類型的非線性回歸模型被稱為非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型。 其一般形式為：其中 是關(guān)于 的p個(gè)已知的非線性函數(shù)， 是（p+1）個(gè)未知參數(shù) 2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系5第5頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四2 雖然被解釋變量Y與解釋變量 和未知參數(shù) 之間不存在線性關(guān)系，但是可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為可線

3、性化的非線性回歸模型 3 如果被解釋變量Y與解釋變量 和未知參數(shù) 之間都不存在線性關(guān)系，而且也不能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為不可線性化的非線性回歸模型2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系6第6頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四4.2線性化方法1非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法是變量替換法 非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的一般形式為：2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系7第7頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四令則可以把原模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管

4、理系8第8頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型1多項(xiàng)式函數(shù)模型多項(xiàng)式函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型 2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系9第9頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四2 雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系10第10頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四3 對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系

5、11第11頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四4 S-型曲線模型S-性曲線模型的一般形式為：首先對上式做倒數(shù)變換得：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系12第12頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四2 可線性化的非線性回歸模型的線性化方法下面幾種在研究經(jīng)濟(jì)問題時(shí)經(jīng)常遇到的可線性化的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為對上式兩邊取對數(shù)得到令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型；2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系13第13頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四（2）冪函數(shù)模型冪函數(shù)

6、模型的一般形式為：對上式兩邊取對數(shù)得到：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型：2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系14第14頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四例：對于柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)模型其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動投入量，u是隨機(jī)誤差項(xiàng)，A、 和 為未知參數(shù)。試?yán)锰旖蚴?980年1996年的有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料，估計(jì)天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系15第15頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四首先建立天津市的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型 i=1，2，17兩邊取對數(shù)得到：令則可將C-D生產(chǎn)函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的二元線性回歸模型2022/9/14中山學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理系16第16頁，共17頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)36分，星期四得到估計(jì)的回歸方程為（括號內(nèi)的數(shù)字為t統(tǒng)計(jì)量值