高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)及其配套習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再?gòu)妮S的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角

2、叫做弧度6、半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是7、弧度制與角度制的換算公式：，8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正Pvx y A O Pvx y A O M T 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，口訣：函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限，口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限14函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線，凡是該圖象與直線的

3、交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱(chēng)中心。yAsin(x)B的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮：A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即Aeq f(最高點(diǎn)最低點(diǎn),2)；B的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即Beq f(最高點(diǎn)最低點(diǎn),2)；的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由Teq f(2,)(0)來(lái)確定；的確定：把圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入解析式y(tǒng)Asin(x)B，然后根據(jù)的范圍確定即可，例如由函數(shù)yAsin(x)K最開(kāi)始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為eq f(,)(即令x0，xeq f(,)確定. 15.三角函數(shù)的伸縮變化先平移后伸縮的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得的圖象先伸縮后平移的圖象得的圖

4、象得的圖象得的圖象得的圖象16由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式：0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。17求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為eq f(2,|)，ytan(x)的最小正周期為eq f(,|) .15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中

5、心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心無(wú)對(duì)稱(chēng)軸16、向量：既有大小，又有方向的量數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度零向量：長(zhǎng)度為的向量單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量17、向量加法運(yùn)算： = 1 * GB2 三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連 = 2 * GB2 平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn) = 3 * GB2 三角形不等式： = 4 * GB2 運(yùn)算性質(zhì)： = 1 * GB3 交換律：； = 2 * GB3 結(jié)合律：； = 3 * GB3 = 5 * GB2 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則18、向量減法運(yùn)算：

6、= 1 * GB2 三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量 = 2 * GB2 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則19、向量數(shù)乘運(yùn)算： = 1 * GB2 實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)， = 2 * GB2 運(yùn)算律： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 = 3 * GB2 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使設(shè)，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的

7、兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是23、平面向量的數(shù)量積： = 1 * GB2 零向量與任一向量的數(shù)量積為 = 2 * GB2 性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則 = 1 * GB3 = 2 * GB3 當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或 = 3 * GB3 = 3 * GB2 運(yùn)算律： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 = 4 * GB2 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，則若，則，或設(shè)，則設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，則2

8、4、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 ； = 4 * GB2 ； = 5 * GB2 （）； = 6 * GB2 （）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： = 1 * GB2 = 2 * GB2 （，） = 3 * GB2 ，其中對(duì)于形如y=asinx+bcosx的三角式，可變形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的與的平方和為1，故可記=cos，=sin，則由此我們得到結(jié)論：asinx+bcosx=，（*）其中由來(lái)確定。通常稱(chēng)式子（*）為輔助角公式，它可以將多個(gè)三角式的函數(shù)問(wèn)題，最終化為y=Asin()+k的形式。

9、正弦定理和余弦定理1正弦定理：eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，cos Beq f(a2c2b2,2ac

10、)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab).3SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin Beq f(abc,4R)eq f(1,2)(abc)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.4已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解一條規(guī)律在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.

11、兩類(lèi)問(wèn)題在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角兩種途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測(cè)1在ABC中，A60，B75，a10，則c等于()A5eq r(2) B10eq r(2) C.eq f(10r(6),3) D5eq r(6)解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：eq f(a,sin

12、A)eq f(c,sin C)，即eq f(10,f(r(3),2)eq f(c,f(r(2),2).ceq f(10r(6),3).答案C2在ABC中，若eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)，則B的值為()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：eq f(sin A,sin A)eq f(cos B,sin B)，sin Bcos B，B45.答案B3在ABC中，aeq r(3)，b1，c2，則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(143,212)eq f(1,2)，0A，A60.答案C4在ABC

13、中，a3eq r(2)，b2eq r(3)，cos Ceq f(1,3)，則ABC的面積為()A3eq r(3) B2eq r(3) C4eq r(3) D.eq r(3)解析cos Ceq f(1,3)，0C，sin Ceq f(2r(2),3)，SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)3eq r(2)2eq r(3)eq f(2r(2),3)4eq r(3).答案C5已知ABC三邊滿(mǎn)足a2b2c2eq r(3)ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_(kāi)解析a2b2c2eq r(3)ab，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3),2)，故C150為三角形的最大內(nèi)角答

14、案150考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，aeq r(3)，beq r(2)，B45.求角A，C和邊c.解由正弦定理得eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，eq f(r(3),sin A)eq f(r(2),sin 45)，sin Aeq f(r(3),2).ab，A60或A120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，ceq f(bsin C,sin B)eq f(r(6)r(2),2)；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，ceq f(bsin C,sin B)eq f(r(6)r(2),2). (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解

15、即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 在ABC中，若b5，Beq f(,4)，tan A2，則sin A_a_.解析因?yàn)锳BC中，tan A2，所以A是銳角，且eq f(sin A,cos A)2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin Aeq f(2r(5),5)，再由正弦定理得eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，代入數(shù)據(jù)解得a2eq r(10).答案eq f(2r(5),5)2eq r(10)考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且eq f(c

16、os B,cos C)eq f(b,2ac).(1)求角B的大??；(2)若beq r(13)，ac4，求ABC的面積審題視點(diǎn) 由eq f(cos B,cos C)eq f(b,2ac)，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos Beq f(a2c2b2,2ac)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab).將上式代入eq f(cos B,cos C)eq f(b,2ac)得：eq f(a2c2b2,2ac)eq f(2ab,a2b2c2)eq f(b,2ac)，整理得：a2c2b2ac.cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(ac,2ac)eq f(1,2).B為

17、三角形的內(nèi)角，Beq f(2,3).(2)將beq r(13)，ac4，Beq f(2,3)代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162aceq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)，ac3.SABCeq f(1,2)acsin Beq f(3r(3),4).【訓(xùn)練2】 已知A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2 eq f(A,2)cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2eq r(3)，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2 eq f(A,2)cos A0，得1cos Acos A0，即cos Aeq

18、 f(1,2)，0A，Aeq f(2,3).(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，Aeq f(2,3)，則a2(bc)2bc，又a2eq r(3)，bc4，有1242bc，則bc4，故ABCeq f(1,2)bcsin Aeq r(3).考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點(diǎn) 首先邊化角或角化邊，再整理化簡(jiǎn)即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即si

19、n2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或ABeq f(,2).故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中，若eq f(a,cos A)eq f(b,cos B)eq f(c,cos C)；則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角

20、三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑)eq f(sin A,cos A)eq f(sin B,cos B)eq f(sin C,cos C).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c2，Ceq f(,3).(1)若ABC的面積等于eq r(3)，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC解(1)由余弦定理及已知條件，得a2b2ab4.又因?yàn)锳BC的面積等于eq r(3)，所以eq f(1,2)absin Ce

21、q r(3)，得ab4，聯(lián)立方程組eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,ab4，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b2.)(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0，即Aeq f(,2)時(shí)，Beq f(,6)，aeq f(4r(3),3)，beq f(2r(3),3)；當(dāng)cos A0時(shí)，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,b2a，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(2r(3)

22、,3)，,bf(4r(3),3).)所以ABC的面積Seq f(1,2)a bsin Ceq f(2r(3),3).【訓(xùn)練3】設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且cos Beq f(4,5)，b2.(1)當(dāng)A30時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)ABC的面積為3時(shí)，求ac的值解(1)因?yàn)閏os Beq f(4,5)，所以sin Beq f(3,5).由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，可得eq f(a,sin 30)eq f(10,3)，所以aeq f(5,3).(2)因?yàn)锳BC的面積Seq f(1,2)acsin B，sin Beq f(3,5)，所以eq f(3,10)ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2eq f(8,5)