2021版高考文科數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析12.2古典概型、幾何概型

1、 Ctrl, 考點(diǎn)一 古典概型1.在1, 2, 3, 6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù),則數(shù)字2是這三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是(A. B.)C.D.2.(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;設(shè)M2M發(fā)生的概率.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】選 在 1,2,3,6中隨機(jī)取出3個(gè)數(shù)所有的結(jié)果為123

2、,126,136,236,共4種其中數(shù)字2是這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)的結(jié)果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率為 .2.(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)從抽出的 7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共 21種.由,不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲年級(jí)的是A,B,C,來自乙年級(jí)的是D,

3、E,來自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共 5種.所以,事件 M發(fā)生的概率為P(M)= .1.求古典概型概率的步驟(1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件,設(shè)出所求事件A;(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;(3)利用公式P(A)= ,求出事件A 的概率.2.求基本事件個(gè)數(shù)的三種方法(1)列舉法:把所有的基本事件一一列舉出來,此方法適用于情況相對(duì)簡單的問題.(2)列表法:將基本事件用表格的方式表示出來,通過表格可以弄清基本事件的總數(shù),以及要求的事件所包含的基本事件數(shù).(3)

4、樹狀圖法:樹狀圖法是使用樹的圖形把基本事件列舉出來的一種方法,樹狀圖法便于分析基本事件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,對(duì)于較復(fù)雜的問題,可以作為一種分析問題的主要手段.考點(diǎn)二 幾何概型【典例】1.在區(qū)間-4,1上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x,若x滿足|x|a的概率為,則實(shí)數(shù)a的值為()A.B.1C.2D.32.如圖,四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點(diǎn),四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為 ()A.B.C.D.3.在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P在球O的內(nèi)接正四面體中的概率是()A.B.C.D.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題由在區(qū)間-4,1上隨

5、機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x,聯(lián)想到幾何概型中應(yīng)用由“該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率”聯(lián)想到幾何概型中使用面積之比求概率3 由已知聯(lián)想到利用體積之比求概率【解析】 D.設(shè)集合 A=x|x|0),若 01,則 P(A)= ,解得 a=3,符合題意.2.選 A.設(shè)正方形 ABCD的邊長為1,則可求得S =3,陰影部分為兩個(gè)對(duì)總稱的三角形,又EAB=AGB,所以 sinAGB= = ,S 1 =1,所以所求概率為P= .3.選 C.設(shè)球 O的半徑為 O的內(nèi)接正四面體的棱長為 a,所以正四面體的高為 a,所以R=+ a=2R,所以正四2面體的棱長為,底面面積為 R= R ,高為 ,所以正2四面體的體積為 R ,又球 O

6、的體積為 R ,所以 P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正33四面體中的概率為 .1.與長度等有關(guān)的幾何概型題目的解法計(jì)算公式求解.2.與面積有關(guān)的幾何概型題目的解法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.與體積有關(guān)的幾何概型題目的解法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積以及事件的體積,對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.1.折扇由扇骨和扇面組成,初名腰扇,濫觴于漢末,曾是王公大人的寵物.到了明清時(shí)期在折扇扇面上題詩賦詞作畫,成為當(dāng)時(shí)的一種時(shí)尚,并一直流行至今.現(xiàn)有一位折扇愛好者準(zhǔn)

7、備在如圖的扇面上作畫,由于突然停電,不慎將一滴墨汁落入折扇所在區(qū)域,則墨汁恰好落入扇面的概率約為()A.B.C.D.【解析】選 D.由題得,扇面的面積為S= 18- 6=96,221扇子的面積為S= 18=108,22則墨汁恰好落入扇面的概率P= .2.(2019惠州模擬)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在周髀算經(jīng)一書中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽的弦圖.弦圖是一個(gè)以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積稱為朱2勾股+(股-勾)=4朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)=弦 ,化簡得:22勾 +股=弦.設(shè)勾股形中勾股比為1 ,若向弦

8、圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000222顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為 ()A.866B.500C.300D.134【解析】選 設(shè)勾為a,則股為 所以弦為 2a,小正方形的邊長為a-a,所以題圖中大正方形的面積為4a,小正方形的面積為2( -1)a,所以小正方形與大正方形的面積比為=1- 所以落22在黃色圖形小正方形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1 134.3.在棱長為2的正方體ABCD -ABCD中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在111 1正方體ABCD-ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概111 1率為_.【解析】正方體的體積為2=8,以 O為球心,1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球

9、的體積為 r= 1=則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大33于 1的概率為:1- =1- .答案1-考點(diǎn)三 古典概型與幾何概型的綜合問題命考什么:(1)考查數(shù)學(xué)文化背景下的古典概型與幾何概型問題(2)考查與實(shí)際生活有關(guān)的概率問題怎么考:以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H生活為載體考查概率問題新趨勢:考查與向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等知識(shí)交匯的概率問題學(xué) 1.解決數(shù)學(xué)文化背景下或?qū)嶋H生活中的概率問題的方法霸 好 率公式求解.方 2.考查與向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等知識(shí)交匯的概率問題法 脫去向量、線性規(guī)劃、函數(shù)的“外衣”,構(gòu)造概率模型求解.與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題【典例】1.為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校購進(jìn)了三國演義領(lǐng)取

10、兩套不同的書籍,那么該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到三國演義和水滸傳的概率為 (A. B. C.)D. I)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC 的斜邊 BC,直角邊AB,AC,ABC 的三邊所圍成的區(qū)域記為,黑色部分記為,其余部分記為,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自,的概率分別記為p,p ,p,則()123A.p =pB.p =p12313C.p =pD.p =p+p2123【解析】選記三國演義水滸傳紅樓夢和西游記為a 則該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到兩套書的所有情況有cd,共6種,符合條件的情況為ab共1種,故概率為.2.選 A.

11、方法一:取 AB=AC=2,則 BC=2 ,所以區(qū)域的面積為S = 22=2,區(qū)域的面積為S = ) -2=2-2,區(qū)域的面積為S =1-S =2,故 p =p.212方法二:設(shè) AC=b,AB=c,BC=a,則有 b +c =a,222從而可以求得ABC的面積為S = bc,黑色部分的面積為S = + -=+ bc= + bc= bc,其余部分的面積為S = - bc= - bc,所以有S =S ,根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到p =p.12如何解決與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題?提示讀取數(shù)學(xué)文化背景下的題目信息構(gòu)建出古典概型、幾何概型的數(shù)學(xué)模型然后利用概率公式求解.與函數(shù)、

12、向量、線性規(guī)劃等知識(shí)交匯的古典概型、幾何概型問題【典例】1.在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“-1lo1”發(fā)生的概率為(A. B.)C.D.O為起點(diǎn),再從A,A,A,A,A,A(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得123456到兩個(gè)向量,記住這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】1.選A.由-1lo所求概率為 =.1得x+2,即0 x2.(1)X的所有可能取值為-2 ,-1,0, 1.(2)數(shù)量積為-2的只有 一種;數(shù)量積為-1的有 , , , , ,

13、 六種;數(shù)量積為0的有 , , , 四種;數(shù)量積為1的有 , , , 四種,所以所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為p= .1因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜 = ,所以小波不去唱歌的概率p=1-p=1- = .22如何解決與函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等知識(shí)交匯的古典概型、幾何概型問題?提示在函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等背景下的概率問題確定好基本事件空間中的元素個(gè)數(shù)或度量事件A所包含的元素個(gè)數(shù)或度量代入概率公式求解.與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題如圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法.ABC 內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為 ()A.B.C.D.2.如圖所示,邊長為2 的正方形中有一

14、封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 ,則陰影區(qū)域的面積為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.B.C.D.【解析】 C.由題得 S = ah,S = h,所以 S =S .所以“盈”的區(qū)域的面積等于“虛”的區(qū)域的面積.而“虛”的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一,點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為 .2.選 B.向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P= = ,解得S = .如何解決與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題?提示把實(shí)際生活中的語言轉(zhuǎn)化為概率問題下的數(shù)學(xué)語言正確解讀題目中的已知與未知信息設(shè)置變量構(gòu)成概率問題然后求解.1.已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合

15、格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解題指南】先對(duì)產(chǎn)品標(biāo)號(hào),然后列舉出可能出現(xiàn)的結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選 B.5件產(chǎn)品中有2件次品,記為 a,b,有 3件合格品,記為c,d,e,從這 5件產(chǎn)品中任取2件,有 10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A為“恰有一件次品”,則 P(A)= =0.6.2.現(xiàn)在某類病毒記

16、作X Y,其中正整數(shù)m,n(m7,n9)可以任意選取,mn則 m,n 都取到奇數(shù)的概率為_.【解析】因?yàn)檎麛?shù)m的選取有1,2,3,4,5,6,7,共 7種情況而對(duì)于m的每一種取法,n可以取 1,2,3,4,5,6,7,8,9,共 9種方法所以基本事件空間中有9=63個(gè)元素其中事件“m,n都取到奇數(shù)”包含的基本事件數(shù)為5=20,所以所求的概率為 .答案:1.若a,b-1,0,1,2,則使關(guān)于x的方程ax +2x+b=0有實(shí)數(shù)解的概率2為_.【解析】要使方程有實(shí)數(shù)解,則 a=0或所有可能的結(jié)果為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,

17、2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16個(gè),其中符合要求的有13個(gè),故所求概率P= .答案:2.甲、乙兩人玩一種游戲,在裝有質(zhì)地、大小完全相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6六個(gè)球的口袋中,甲先摸出一個(gè)球,記下編號(hào),放回后乙再摸一個(gè)球,記下編號(hào),如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.(1)求甲贏且編號(hào)和為8 的事件發(fā)生的概率.(2)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由.(1)設(shè)“兩個(gè)編號(hào)和為8”為事件A,則事件 A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共 5共有66=36種等可能的結(jié)果,故 P(A)= .(2)這種游戲規(guī)則是公平的.設(shè)甲贏為事件B,乙贏為事件C,由題可知甲贏即兩