《流體動力學基礎B》流體力學基本方程

1、流體動力學基礎B流體力學基本方程流體動力學基礎B流體力學基本方程流體質點：是從作為連續(xù)介質的流體中取出的宏觀尺度非常小而微觀尺度又足夠大的任意一個物理實體。它具有4層含義：宏觀尺度非常小：幾何尺寸可不計，視為一幾何點;微觀尺度足夠大：分子的平均自由行程,包含足夠多分子;形狀可任意劃分；具有一定的物理量，如速度、加速度、壓力和密度等.空間點: 是一個幾何點，表示空間位置。特點一：空間點是一個幾何位置,不隨流體運動;特點二：同一空間點，不同時刻被不同的流體質點所占據(jù)或經(jīng)過。流體質點是物理點2流體質點：是從作為連續(xù)介質的流體中取出的宏觀尺度非常小而微觀2-1 描述流體運動的兩種方法一個比喻：城市公共

2、交通部門統(tǒng)計客運量，可采用兩種方法：在每一輛公交車上設記錄員，記錄每輛車在不同時刻（站點）上下車人數(shù)，此法稱為隨體法；在每一站點設記錄員，記錄不同時刻經(jīng)過該站點的車輛上下車人數(shù)，此法稱為當?shù)胤?。流體力學采用類似方法研究流體運動。2.1.1拉格朗日(Lagrange)法2.1.2歐拉(Euler)法32-1 描述流體運動的兩種方法一個比喻：流體力學采用類似方法2.1.1拉格朗日(Lagrange)法 基本思想：跟蹤每個流體質點的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化. a, b, c - t = t0 時刻質點所在的空間位置坐標， 稱為拉格朗日變量，用來指定質點。 質點物理量：B(a

3、, b, c, t)， 如： 獨立變量：（a, b, c, t）區(qū)分流體質點的標志加速度：質點位移:速 度:質點-時間描述法注意: 同一個質點, 坐標(a, b, c)不變42.1.1拉格朗日(Lagrange)法 基本思想：跟蹤每質點運動的軌跡圖2.1.1 跡線5質點運動的軌跡圖2.1.1 跡線7速度:加速度:直角坐標系下速度和加速度可寫為： 由于流體質點的運動軌跡非常復雜，而實用上也無須知道個別質點的運動情況，所以除少數(shù)情況外，工程流體力學中很少采用拉格朗日法。6速度:加速度:直角坐標系下速度和加速度可寫為： 由于流x, y, z, t歐拉變量,歐拉法是常用的方法。2歐拉(Euler)法基

4、本思想：考察空間每一點上的物理量及其變化?？臻g點上的物理量是指占據(jù)該空間點的流體質點的物理量。空間時間描述法獨立變量：僅時間 . 空間坐標 7x, y, z, t歐拉變量,歐拉法是常用的方法。2歐拉歐拉法中的加速度 - 質點速度矢量對時間的變化率。 質點x, y, z與時間t有關?？梢姡黧w質點和空間點是二個完全不同的概念。8歐拉法中的加速度 質點x, y, z與時間t有關。可見，流體歐拉法中的加速度 - 質點速度矢量對時間的變化率。 質點即于是當?shù)丶铀俣冗w移加速度根據(jù)求導鏈式法則,9歐拉法中的加速度 質點即于是當?shù)丶铀俣冗w移加速度根據(jù)求導鏈式時變加速度遷移加速度可見，質點的加速度包括兩個部分

5、：（1）當?shù)丶铀俣龋〞r變加速度，局部加速度） 特定空間點處速度對時間的變化率； （2）遷移加速度（位變加速度，對流加速度） 對應于質點空間位置改變所產(chǎn)生的速度變化。10時變加速度遷移加速度可見，質點的加速度包括兩個部分：12質點加速度在直角坐標系下的分量形式：11質點加速度在直角坐標系下的分量形式：13質點導數(shù)：對流導數(shù)Convective derivative局部導數(shù)Local derivative質點導數(shù)Material derivative密度的質點導數(shù) 定常流動；（Material derivative operator）均勻流動v2v1壓力的質點導數(shù) 12質點導數(shù)：對流導數(shù)局部導數(shù)質

6、點導數(shù)密度的質點導數(shù) 定常流例2.1.1 給定速度分布求時的加速度分布。解：其余項的偏導數(shù)都為零，所以加速度分布為t=0 時刻的加速度分布為按式（2.1.3)，各項偏導數(shù)為13例2.1.1 給定速度分布解：其余項的偏導數(shù)都為零，所以加時變加速度遷移加速度可見，質點的加速度包括兩個部分：（1）當?shù)丶铀俣龋〞r變加速度，局部加速度） 特定空間點處速度對時間的變化率； （2）遷移加速度（位變加速度，對流加速度） 對應于質點空間位置改變所產(chǎn)生的速度變化。14時變加速度遷移加速度可見，質點的加速度包括兩個部分：162-2 流體運動的基本概念一恒定流與非恒定流(定常流與非定常流)流場中所有的運動要素不隨時間

7、變化流場中所有的運動要素隨時間變化152-2 流體運動的基本概念一恒定流與非恒定流(定常流與非定二、跡線 (path line)跡線：流體質點的運動軌跡曲線Lagrange法：跡線方程初始時刻 時質點的坐標 ，積分上式得該質點的跡線方程。16二、跡線 (path line)跡線：流體質點的運動軌跡曲線三、流線(streamline)流線：某一時刻處處與速度矢量相切的空間曲線-瞬時性。任一時刻t，曲線上每一點處的切向量 都與該點的速度向量 相切。流線微分方程：v2v1v3v417三、流線(streamline)流線：某一時刻處處與速度矢量跡線與流線的區(qū)別流線的性質：對于非定常流動，不同時刻通過同

8、一空間點的流線一般不重合；對于定常流動，流線與跡線重合。證明P47.流線不能相交（駐點和速度無限大的奇點除外）。流線的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。 跡線和流線的區(qū)別：跡線是同一流體質點在某段時間內(nèi)的位移曲線，與Lagrange觀點對應；流線是某某一時刻、不同流體質點速度向量的包絡線，與Euler觀點對應。 18跡線與流線的區(qū)別流線的性質：20例 已知平面流動 求 過點 M (-1，-1) 的流線和跡線。將 x = -1，y = -1 代入，得瞬時流線 xy = 1, 流線是雙曲線。積分后得到：xy解 由式 得19例 已知平面流動 將 x = -1，y = -1 代入，例

9、已知平面流動 求 過點 M (-1，-1) 的流線和跡線。將 x = -1，y = -1 代入，得跡線 xy = 1, 是雙曲線,且與流線重合。積分后得到：xy解: 跡線由式 得20例 已知平面流動 將 x = -1，y = -1 代入， 三、流管與流束 1.流管在流場中任取一個有流體從中通過的封閉曲線，在曲線上的每一個質點都可以引出一條流線，這些流線簇圍成的管狀曲面稱為流管。 由于流線不能相交， 只能相切，所以流體 不能穿過流管流進或 流出。就象真實的管子一樣。 21 三、流管與流束23 2.流束流管內(nèi)的全部流體稱為流束。 3.微小流束截面無窮小的流束。 4.總流包含流動中所有的微小流束。例

10、 管道內(nèi)、渠道內(nèi)的流動流體可以被當成是一個總流。22 2.流束流管內(nèi)的全部流體稱為流束。例 管道內(nèi)、渠 四、過水斷面,流量,斷面平均流速過水斷面-與流束或總流流線成正交的斷面。23 四、過水斷面,流量,斷面平均流速過水斷面-與流束或總流量-單位時間內(nèi)通過某一過水斷面的流體體積稱為體積流量，簡稱流量。斷面平均流速體積流量（ ）：質量流量（ ）：重量流量（ ）： 24流量-單位時間內(nèi)通過某一過水斷面的流體體積稱為體積流量，五、均勻流與非均勻流 均勻流：流場中質點的各運動參數(shù)（速度，壓力）不隨流程變化。 例：等直徑直管中的液流或者斷面形狀和水深不變的長直渠道中的水流都是均勻流。 問題：何謂均勻流及非

11、均勻流？以上分類與過流斷面上流速分布是否均勻有無關系？ 答： 均勻流是指流線是平行直線的流動。 非均勻流是流線不是平行直線的流動 。 這個分類與過流斷面上流速分布是否均勻沒有關系。流線為直線，互相平行，過流斷面面積和流速分布沿流程不變。非均勻流：25五、均勻流與非均勻流 均勻流：流場中質點的各運動參數(shù)（速度，問題：恒定流、均勻流等各有什么特點？ 答：恒定流是指各運動要素不隨時間變化而變化， 恒定流時流線跡線重合，且局部加速度等于0。 均勻流是指各運動要素不隨空間變化而變化， 均勻流的對流加速度等于0。 26問題：恒定流、均勻流等各有什么特點？ 28六一元流,二元流,三元流一元流動 - 流動參數(shù)

12、只與一個坐標變量有關。x例二元流動- 流動參數(shù)與兩個坐標變量有關。三元流動(空間流動) - 流動參數(shù)與三個坐標變量有關。27六一元流,二元流,三元流一元流動 - 流動參數(shù)只與一個坐2-3 連續(xù)性方程一、系統(tǒng)定義：包含確定不變物質的集合。特點：隨著時間變化，質量不變，位置、形狀變化.二、控制體定義：空間固定區(qū)域。特點：框架，隨著時間變化，存在流體進出。282-3 連續(xù)性方程一、系統(tǒng)定義：包含確定不變物質的集合。二、zxy2-3 連續(xù)性方程一、微分形式的連續(xù)方程流入的流體-流出的流體= 控制體內(nèi)流體的增加量y方向 流入的流體-流出的流體x方向 流入的流體-流出的流體z方向 流入的流體-流出的流體控

13、制體內(nèi)流體的增加量連續(xù)性方程29zxy2-3 連續(xù)性方程一、微分形式的連續(xù)方程流入的流體-流連續(xù)性方程（普遍適用）對于三維定常流動，對于不可壓縮流體的三元流動( = const.)，對于不可壓縮流體的二元流動( = const.)，矢量表示式物理意義：不可壓縮流體單位時間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質量），與流出的流體體積（質量）之差等于零。適用范圍：理想流體和實際流體30連續(xù)性方程對于三維定常流動，對于不可壓縮流體的三元流動( 例：有一三元流動，其速度分布規(guī)律試分析該流動是否連續(xù).解：根據(jù)式(2.3.2)有故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的。31例：有一三元流動，其速度分布規(guī)律解

14、：根據(jù)式(2.3.2)有故連續(xù)性方程的其他形式對微分形式的連續(xù)性方程利用散度公式和連續(xù)性方程還有以下兩種形式，即和32連續(xù)性方程的其他形式對微分形式的連續(xù)性方程利用散度公式和連續(xù)例 不可壓縮流體平面流動的速度分布為求 a, b 的值。由不可壓縮流體二維流動的連續(xù)性方程知道由此得到 。解33例 不可壓縮流體平面流動的速度分布為求 a, b 的值。由二 積分形式的連續(xù)方程對于任意一個流體系統(tǒng)，質量守恒定律的數(shù)學表達式為圖2.3.2 微元體積t時刻，流體體積 ，表面積 ，質量 ，密度 ?；?時刻后， ， ， ， 。34二 積分形式的連續(xù)方程對于任意一個流體系統(tǒng)，質量守恒定律的數(shù)圖2.3.2 微元體積

15、積分四則運算性質，取t時刻流體系統(tǒng)表面微元 ，則第二項積分的微元體為代入，兩邊同時除 ，當35圖2.3.2 微元體積積分四則運算性質，取t時刻流體系統(tǒng)表面關系式可推廣到任意物理量，即著名的雷諾輸運公式：根據(jù)流體系統(tǒng)的質量守恒定律, 得:這就是歐拉型連續(xù)性積分方程。其物理意義是：在單位時間內(nèi)，由于控制體內(nèi)密度變化引起的質量變化量（增加量或減少量）與通過控制體表面的質量凈流出量（流出與流入的質量差）之和等于零。若為一維不可壓縮定常管流（一維流即表示運動參數(shù)在同一截面上是均勻分布的，只在流動方向上發(fā)生變化），則有36關系式可推廣到任意物理量，即著名的雷諾輸運公式：根據(jù)流體系連續(xù)性方程 質量守恒定律在

16、流體力學中的應用。 它反映了cs上速度分布與cv內(nèi)密度變化之間的積分關系。 在流場中任取一空間固定的封閉曲面CS（控制面control surface），所圍體積CV（控制體control volume）。單位時間流出控制面的凈質量=控制體內(nèi)流體質量的減少 2.3.2 積分形式的連續(xù)方程 Euler型連續(xù)性方程質量守恒37連續(xù)性方程 質量守恒定律在流體力學中的應用。 它反映了c特例（流入、流出CS 體積相等） 流體不可壓縮（ ）： 沿流管定常流動： 流動定常（ ）： 沿流管不可壓流動： （流入、流出CS 質量相等） （沿流管） （沿流管） 不可壓流動中，流管的截面積與流速成反比，S小的地方流速

17、快，S大的地方流速慢。 平面流動：流線間距大，流速慢；間距小，流速快。即流線的疏密反映了流速的大小。 38特例（流入、流出CS 體積相等） 流體不可壓縮（ 三、流管與流束 1.流管在流場中任取一個有流體從中通過的封閉曲線，在曲線上的每一個質點都可以引出一條流線，這些流線簇圍成的管狀曲面稱為流管。 由于流線不能相交， 只能相切，所以流體 不能穿過流管流進或 流出。就象真實的管子一樣。 39 三、流管與流束41特例（流入、流出CS 體積相等） 流體不可壓縮（ ）： 沿流管定常流動： 流動定常（ ）： 沿流管不可壓流動： （流入、流出CS 質量相等） （沿流管） （沿流管） 不可壓流動中，流管的截面

18、積與流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。 平面流動：流線間距大，流速慢；間距小，流速快。即流線的疏密反映了流速的大小。 40特例（流入、流出CS 體積相等） 流體不可壓縮（ 2.3.1 微分形式的連續(xù)方程 連續(xù)流場中空間任意點上速度和密度必須滿足的微分（連續(xù)）方程。 Gauss公式 不可壓流動連續(xù)方程：速度場的散度為0 體積膨脹速率為0。 （流場中）412.3.1 微分形式的連續(xù)方程 連續(xù)流場中空間任意點上4244zxy2-3 連續(xù)性方程一、微分形式的連續(xù)方程流入的流體-流出的流體= 控制體內(nèi)流體的增加量y方向 流入的流體-流出的流體x方向 流入的流體-流出的流體z方向 流入的流體

19、-流出的流體控制體內(nèi)流體的增加量連續(xù)性方程43zxy2-3 連續(xù)性方程一、微分形式的連續(xù)方程流入的流體-流連續(xù)性方程（普遍適用）對于三維定常流動，對于不可壓縮流體的三元流動( = const.)，對于不可壓縮流體的二元流動( = const.)，矢量表示式物理意義：不可壓縮流體單位時間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質量），與流出的流體體積（質量）之差等于零。適用范圍：理想流體和實際流體44連續(xù)性方程對于三維定常流動，對于不可壓縮流體的三元流動( 二 積分形式的連續(xù)方程對于任意一個流體系統(tǒng)，質量守恒定律的數(shù)學表達式為圖2.3.2 微元體積t時刻，流體體積 ，表面積 ，質量 ，密度 。或 時刻后， ，

20、 ， ， 。45二 積分形式的連續(xù)方程對于任意一個流體系統(tǒng)，質量守恒定律的數(shù)圖2.3.2 微元體積積分四則運算性質，取t時刻流體系統(tǒng)表面微元 ，則第二項積分的微元體為代入，兩邊同時除 ，當46圖2.3.2 微元體積積分四則運算性質，取t時刻流體系統(tǒng)表面特例（流入、流出CS 體積相等） 流體不可壓縮（ ）： 沿流管定常流動： 流動定常（ ）： 沿流管不可壓流動： （流入、流出CS 質量相等） （沿流管） （沿流管） 47特例（流入、流出CS 體積相等） 流體不可壓縮（ 2.4 流體運動的微分方程 圖2.4.1控制體2.4.1 理想流體運動的微分方程（Euler方程） 482.4 流體運動的微分方

21、程 圖2.4.1控制體2.4.1 理設在三個坐標軸方向上的單位質量力分量分別為則作用于六面體上的質量力分量分別為 設六面體在三個坐標軸方向上的加速度分量分別為三個方向的表面力: 49設在三個坐標軸方向上的單位質量力分量分別為則作用于六面體上的根據(jù)牛頓第二運動定律，可得 50根據(jù)牛頓第二運動定律，可得 525153則在方向應用牛頓第二運動定律可得圖2.4.2 控制體2.4.2 粘性流體運動的微分方程（NS方程） 52則在方向應用牛頓第二運動定律可得圖2.4.2 控制體2.4.上式兩邊同除以質量得由牛頓內(nèi)摩擦定律，可得三元流動的廣義牛頓內(nèi)摩擦定律53上式兩邊同除以質量得由牛頓內(nèi)摩擦定律，可得三元流

22、動的廣義牛頓不可壓縮流體,連續(xù)性方程：則：同理，y，z向方程：54不可壓縮流體,連續(xù)性方程：則：同理，y，z向方程：565557伯努利（瑞典），1738，流體動力學“流速增加，壓強降低”2.5.1 理想流體沿流線的伯努利方程1. 伯努利方程的推導 歐拉運動方程四個假設2.5 伯努利方程56伯努利（瑞典），1738，流體動力學2.5 伯努利方程5（1）定常流動（2）不可壓縮（3）沿流線積分（4）質量力有勢57（1）定常流動59（1）不可壓縮（2）定常流動58（1）不可壓縮60（3）沿流線積分一式兩邊同乘dx流線方程59（3）沿流線積分一式兩邊同乘dx流線方程61（3）沿流線積分同理,二式乘dy,

23、三式乘dz,代入流線方程三式求和60（3）沿流線積分同理,二式乘dy,三式乘dz,代入流線方程三（4）質量力有勢令勢函數(shù)U不可壓流體,密度不變重力情況下61（4）質量力有勢令勢函數(shù)U不可壓流體,密度不變重力情況下632. 伯努利方程的物理意義0012位置水頭壓強水頭動壓水頭測壓管水頭總水頭單位位能單位壓能單位動能單位勢能單位總機械能表明：對于不可壓縮理想流體定常流動，同一流線上單位重量流體所具有的機械能保持相等（守恒）622. 伯努利方程的物理意義0012位置水頭壓強水頭動壓水頭測還記得嗎？小時候玩過過山車吧63還記得嗎？小時候玩過過山車吧65流體的能量守恒64流體的能量守恒66尾翼的作用？增

24、加汽車對地附著力，提高行駛穩(wěn)定性汽車應用2 汽車尾翼65汽車應用2 汽車尾翼67兩船并行相撞的解釋：兩船間流線密、流速高、壓力低。兩船并行相撞的解釋：(3)重力場中不可壓縮粘性流體的 Bernoulli equation為單位重量流體從 1 到 2 點損失的機械能。 67(3)重力場中不可壓縮粘性流體的 Bernoulli equ泵的功率：（4）有流體機械時的 Bernoulli equation 單位重量流體能量輸入（出），揚程。 TurbinePump68泵的功率：（4）有流體機械時的 Bernoulli equa流線圖均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流非均勻流緩變流急變流急變流急變流69流線圖均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流非均勻 均勻流和漸變流的過水斷面上, 壓強分布與靜水壓強相同,即同一過水斷面上各點的測壓管水頭為常數(shù)：管道內(nèi)、渠道內(nèi)的流動流體可以被當成是一個總流， 由多個微元流束組成。假設 A1、A2是緩變流截面，對于微元流束：A1A2dA1dA2u1u22.5.2 理想流體總流的伯努利方程單位重量機械能重量由能量守恒70 均勻流和漸變流的過水斷面上, 壓強分布與靜水A1A2dA1dA2u1u2動能修正系數(shù)71A1A2dA1dA2u1u2動能修正系數(shù)73h01p0p01