極值點偏移 極值點偏移定理

1、極值點偏移1-2-極值點偏移判定定理一、極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)y=/(X)，在區(qū)間(a，b)上只有一個極大(小)值點Xo，方程/(X)=0的解分別為Xi,且axxb，12x+x若f(x)f(2x-x)，則12)x，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極(小)大值1022012點x右(左)偏；0 x+x若f(x)f(2x-x)，則12()x，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極(小)大值1022012點x右(左)偏.0證明：(1)因為對于可導函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x，貝y函數(shù)f(x)的0單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，x0)，單調(diào)遞減(增)區(qū)間為(x0,

2、b)，由于ax1x2b，有x1x0,且2x-xx020 x+x02，又f(x)f(2x-x)，故x)2x0-x2,所以十)x0，即函數(shù)極(小)大值點x0右(左)偏;x+xx+x左快右慢(極值點左偏om122)二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：(1)求出函數(shù)f(x)的極值點x；0構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)二f(x+x)-f(x-x)；00確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；結(jié)合F(0)=0，判斷F(x)的符號，從而確定f(x+x)、f(x-x)的大小關(guān)系.00口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x)，x

3、為函數(shù)f(x)的極值點，求證：x+xF(x)二f(x)-f(x)二0，從而000得到：xx時，f(x+x)f(x-x).000(4)不妨設xxXo時，幾+X)幾-X)且/XfXo-(X2-X0)二fGXo-X2)，又因為%，2x一xx且f(x)在(一。x)上單調(diào)遞減，從而得到x2x一x，從而x+x2x得證.0200102120 x+xx+xx+x(5)若要證明f(r2)0，還需進一步討論+22與x0的大小，得出+22所在的單調(diào)區(qū)間，從222而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證.x+x此處只需繼續(xù)證明：因為x+x2x，故12x，由于f(x)在(-也x)上單調(diào)遞減，故120200 x+xf(-

4、y)0.【說明】(1)此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；(2)此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f(x)的單調(diào)性、極值點，證明f(x+x)與0f(x-x)(或f(x)與f(2x-x)的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如x+x2x或00120 x+xf()=乳1+方加力=(1十力礦吋a心巴則F(X)二刈廠】曠勺，當乂0時，F(xiàn)(jc)0,.-.F(jc)在(Q燉)上單調(diào)遞曾又F(O)=O,/F(x)G?即/(1+JC)/(1-3C).q韭込,不妨設兀嚴可由(1)知丸1,1,J3)=f()=卉1十笑-1)/l-U-1)=八2花).x1，.:2一x2

5、一x，.:x+x2.22121241函數(shù)f(x)=x43x3與直線y=a(a-)交于A(x,a)、B(x,a)兩點.3312證明：x+x1,設鞏x)=/(1+x-/(1-jc)?F(工)=薊3/2x+l)0,故F(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-x3W)，艾F(xiàn)(G)=0,所mx0時F(x)F(0)=0f即x0時+子(西)=/()=/(1十也-1)找2吃),又函魏心-討單調(diào)遞減區(qū)間対gl),所以.西2-jcj；即西十羽4.x1212122【解析】由函數(shù)f(x)二一+Inx單調(diào)性可知：若f(x)=f(x)，則必有x2222而f(x)一f(4一x)=+lnx一+ln(4一x)11x14一x11122令h(x)

6、=一+Inx+ln(4一x)，則x4一xh(x)一Z-一+1+丄=一2(4-x)2-2x2+x(4-x)2+x2(4一x)x2(4-x)2x4-xx2(4-x)28(x2)2x2(4-x)2所以函數(shù)h(x)在(0,2)為減函數(shù)，所以h(x)h(2)=0所以f(x)-f(4-x)0即f(x)f(4-x)，所以f(x)f(4-x)，所以x+x4.11112212已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.設x,x是f(x)的兩個零點，證明：x+x2.1212【解析】不妨設可弋丟由題意知于(勿二丁(花)二0一要證不等式成丄只需證當碼clc花時，原不等式成立即可一F(jc)F(0)=O

7、.g卩/(L-x)+而兀2_g*),且于(力在口他)上遞增，故帀2碼，即jq4-JCj2.四、招式演練已知函數(shù)g(x)+2x2,其中agR,e二2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù)，f(x)是g(x)的導函數(shù).求f(x)的極值；若a=-1，證明：當x豐x，且f(x)=f(x)時，x+x0.121212【答案】當a0時，f(x)無極值；當a0時，f(x)0在xg(-,+8)時成立:.f(x)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，f(x)無極值.當a0時，f(x)=ex+a=0解得x=In(a)由f(x)0得x0得xIn(a)所以f(x)在(8,ln(一a)上單調(diào)遞減，在Gn(a),+上單調(diào)遞增,(-a).(I

8、I)當a=1時，f(x)=ex-x的定義域為(8,+8)，f(x)=e-1/x豐x12由f(x)=ex-1=0，解得x=0.當x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表:x(-8,0)0(0,+8)/(x)0+/(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增且f(x)=f(x)，則x0 x(不妨設xx121212T當無cO日寸,01,.-當乂弋0時，F(xiàn)(dc)aA二函數(shù)戸仗)在上單調(diào)遞増.F(x)F(O)=O,即當X0時,VW在(。他)上單調(diào)遞増，Xjjqjq+J?,0已知函數(shù)flx丿=lnx一ax2，其中aeR(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍;若函數(shù)f(x)有極大值為-2，且方程f(x)=m的兩

9、根為xi,x2,且xi4a.【答案】(1)0a2；(2)見解析.2ef【解析】試題分析：CD先求利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性只需令/(刃的按夭信対nO即可得結(jié)果；結(jié)合1兒由的極大憤求得口二”，研究函數(shù)A(x)=/(x)-/(2-x)的單調(diào)性，可得從而可得結(jié)論一試題解析；mr丄加二上空任丸)NX(1)當a0函數(shù)f(x丿在(0,+8)上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點2ax(唱J2a底+8)/,(x丿+0/(x)Z極大值flx丿的極大值為f當a0時，廣(x)=0,x=ln12，由ln11-0得0a-22e所以f(x丿在e-a,2-:必存在一個零點;顯然當xT+8時，f(x)0所以f(x丿在+8上必存在一個零點;丿所臥當時，函數(shù)/（刃有兩個零點一由可扣J當OA0時,麗的極大值為彳任卜隠頁V2F(x)=f(X)