1.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積

1、111.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積 1、表面積：幾何體表面的面積 2、體積：幾何體所占空間的大小。1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體 1、表面積：幾何體表面的回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺(tái)：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái)回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出斜高COBAPD斜高的概念作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出COBAPD斜高的 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都

2、是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，h棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積它們的側(cè)面展開(kāi)圖還是平面圖形，計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，h棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的展開(kāi)圖及表面積求法棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？正三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖棱錐的展開(kāi)圖棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？正三棱錐的側(cè)面展把正三

3、棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面展開(kāi)正五棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖棱錐的展開(kāi)圖側(cè)面展開(kāi)正五棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖棱錐的展開(kāi)圖 例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成因?yàn)锽C=a，所以： 因此，四面體S-ABC 的表面積交BC于點(diǎn)D解：先求 的面積，過(guò)點(diǎn)作 ，典型例題 例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？（類(lèi)比梯形的面積）把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面展開(kāi)hh正四棱臺(tái)的側(cè)面展

4、開(kāi)圖棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱臺(tái)的展開(kāi)圖側(cè)面展開(kāi)hh正四棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？例2:(1)一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則其側(cè)面積為 _;答：60(2)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，求棱臺(tái)的側(cè)面積.例2:(1)一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為例3：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺(tái)的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，高是思考：把圓柱、圓錐

5、、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn) 展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系？寬長(zhǎng)方形思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn)寬長(zhǎng)方形圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的展開(kāi)圖及表面積求法圓柱O圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的展開(kāi)圖及表面積求思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn) 展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系？扇形思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn)扇形圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形O圓錐圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形O圓錐思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn) 展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系？扇環(huán)思考：把

6、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn)扇環(huán)OO側(cè)圓臺(tái)側(cè)面積公式的推導(dǎo)OO側(cè)圓臺(tái)側(cè)面積公式的推導(dǎo) 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么 OO圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)圓臺(tái) 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是OO圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？Orr上底擴(kuò)大Or0上底縮小OO圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？Or 例4 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長(zhǎng)15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取3.14，結(jié)果精確到1 ）？ 解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：答：

7、花盆的表面積約是999 典型例題 例4 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm，盆底例5 圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)所對(duì)的圓心角答：1800例5 圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，例6：圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留）例6：圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對(duì)應(yīng)的面積公式C=0C=CS圓柱側(cè)= 2rlS圓錐側(cè)= rlS圓臺(tái)側(cè)=（r1+r2)lr1=0r1=r2小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的

8、側(cè)面展開(kāi)圖的形狀是關(guān)鍵；C=0柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和知識(shí)小結(jié)展開(kāi)圖 圓臺(tái)圓柱圓錐柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和知識(shí)小結(jié)展開(kāi)圖 圓臺(tái)圓幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:公理1、長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積。V長(zhǎng)方體= abc推論1 、長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積。V長(zhǎng)方體= sh推論2 、正方體的體積等于它的棱長(zhǎng)a 的立方。V正方體= a3公理1、長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積。V長(zhǎng)方體= ab定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積 s 和高 h 的積。V柱體= s

9、h二：柱體的體積推論 ： 底面半徑為r，高為h圓柱的體積是V圓柱= r2h定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積 s 和高三:錐體體積例2： 如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h. ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答:可分成棱錐A-D1DC, 棱錐A-D1C1C, 棱錐A-BCD. 問(wèn)：（1）從A點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割成幾個(gè)三棱錐？ 三:錐體體積例2： 如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h(yuǎn)） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來(lái)求點(diǎn)到面的距離問(wèn)題:錐體(棱錐、

10、圓錐）的體積3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是，高是， 那么它的體積是：hSS錐體 圓錐 Sh定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面推論：如果圓錐的底面半ss/ss/hx四.臺(tái)體的體積V臺(tái)體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則ss/ss/hx四.臺(tái)體的體積V臺(tái)體=上下底面積分別是s/,推論：如果圓臺(tái)的上,下底面半徑是r1.r2,高是，那么它的體積是：圓臺(tái) h推論：如果圓臺(tái)的上,下底面半徑是r1.r2,高是，那么它的五.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，h為柱

11、體高S分別為上、下底面面積，h 為臺(tái)體高S為底面面積，h為錐體高上底擴(kuò)大上底縮小五.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，一、體積公式一、體積公式11 例7 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即:所以螺帽的個(gè)數(shù)為（個(gè)）答：這堆螺帽大約有252個(gè)典型例題 例7 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 例8從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之

12、幾？例8從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三1答案： A答案： A1答案： C答案： C4(教材習(xí)題改編)在A(yíng)BC中，AB2，BC3，ABC120，若使ABC繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為_(kāi)答案： 34(教材習(xí)題改編)在A(yíng)BC中，AB2，BC3，答案：5如圖所示，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖均為等腰三角形，俯視圖是正方形，則該幾何體的外接球的體積是_5如圖所示，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖均為等腰三11求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已 知體積公式的幾何體進(jìn)行解決(2)與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及 數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性2求組合

13、體的表面積時(shí)注意幾何體的銜接部分的處理1求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)題型一 幾何體的展開(kāi)與折疊 有一根長(zhǎng)為3 cm，底面半徑為1 cm的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并 使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線(xiàn)的兩端, 則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？ 把圓柱沿這條母線(xiàn)展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離.題型分類(lèi) 深度剖析題型一 幾何體的展開(kāi)與折疊 題型分類(lèi) 深度剖析解 把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到矩形ABCD（如圖所示），由題意知BC=3 cm，AB=4 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度.故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5 cm.解 把圓柱側(cè)面及纏繞

14、其上題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑AB所在直線(xiàn)為軸,旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀,再求表面積.題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積解 如圖所示,過(guò)C作CO1AB于O1,在半圓中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC= ,BC=R,S球=4R2,解 如圖所示, 解決這類(lèi)題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. 1知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)題型三 多面體的表面積及其體