時間序列分析方法之譜分析

1、第六章 譜分析 Spectral Analysis到目前為止，時刻變量的數(shù)值一般都表示成為一系列隨機(jī)擾動的函數(shù)形式，一般的模型形式為：我們研究的重點(diǎn)在于，那個結(jié)構(gòu)對不同時點(diǎn)和上的變量和的協(xié)方差具有什么樣的啟發(fā)。這種方法被稱為在時刻域(time domain)上分析時刻序列的性質(zhì)。在本章中，我們討論如何利用型如和的周期函數(shù)的加權(quán)組合來描述時刻序列數(shù)值的方法，那個地點(diǎn)表示特定的頻率，表示形式為：上述分析的目的在于推斷不同頻率的周期在解釋時刻序列性質(zhì)時所發(fā)揮的重要程度如何。如此方法被稱為頻域分析(frequency domain analysis)或者譜分析(spectral analysis)。我

2、們將要看到，時域分析和頻域分析之間不是相互排斥的，任何協(xié)方差平穩(wěn)過程既有時域表示，也有頻域表示，由一種表示能夠描述的任何數(shù)據(jù)性質(zhì)，都能夠利用另一種表示來加以體現(xiàn)。對某些性質(zhì)來講，時域表示可能簡單一些；而對另外一些性質(zhì)，可能頻域表示更為簡單。6.1 母體譜我們首先介紹母體譜，然后討論它的性質(zhì)。6.1.1假設(shè)是一個具有均值的協(xié)方差平穩(wěn)過程，第個自協(xié)方差為：假設(shè)這些自協(xié)方差函數(shù)是絕對可加的，則自協(xié)方差生成函數(shù)為：那個地點(diǎn)表示復(fù)變量。將上述函數(shù)除以，并將復(fù)數(shù)表示成為指數(shù)虛數(shù)形式，則得到的結(jié)果(表達(dá)式)稱為變量的母體譜：注意到譜是的函數(shù)：給定任何特定的值和自協(xié)方差的序列，原則上都能夠計算的數(shù)值。利用De

3、 Moivre定理，我們能夠?qū)⒈硎境蔀椋阂虼?，譜函數(shù)能夠等價地表示成為：注意到關(guān)于協(xié)方差平穩(wěn)過程而言，有：，因此上述譜函數(shù)化簡為：利用三角函數(shù)的奇偶性，能夠得到：假設(shè)自協(xié)方差序列是絕對可加的，則能夠證明上述譜函數(shù)存在，同時是的實(shí)值、對稱、連續(xù)函數(shù)。由于對任意，有：，因此是周期函數(shù)，假如我們明白了內(nèi)的所有的值，我們能夠獲得任意時的值。6.2 不同過程下母體譜的計算假設(shè)隨機(jī)過程服從過程：那個地點(diǎn)：，依照前面關(guān)于過程自協(xié)方差生成函數(shù)的推導(dǎo)：因此得到過程的母體譜為：例如，對白噪聲過程而言，這時它的母體譜函數(shù)是常數(shù)：下面我們考慮過程，現(xiàn)在：，則母體譜為：能夠化簡成為：顯然，當(dāng)時，譜函數(shù)在內(nèi)是的單調(diào)遞減函

4、數(shù)；當(dāng)時，譜函數(shù)在內(nèi)是的單調(diào)遞增函數(shù)。對過程而言，有：這時只要，則有：，因此譜函數(shù)為：該譜函數(shù)的性質(zhì)為：當(dāng)時，譜函數(shù)在內(nèi)是的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，譜函數(shù)在內(nèi)是的單調(diào)遞減函數(shù)。一般地，對過程而言：則母體譜函數(shù)為：假如移動平均和自回歸算子多項式能夠進(jìn)行下述因式分解：則母體譜函數(shù)能夠表示為： 從母體譜函數(shù)中計算自協(xié)方差假如我們明白了自協(xié)方差序列，原則上我們就能夠計算出任意的譜函數(shù)的數(shù)值。反過來也是對的：假如對所有在內(nèi)的，已知譜函數(shù)的數(shù)值，則對任意給定的整數(shù)k，我們也能夠計算k階自協(xié)方差。這意味著母體譜函數(shù)和自協(xié)方差序列包含著相同的信息。其中任何一個都無法為我們提供另外一個無法給出的推斷。下面的命題為從

5、譜函數(shù)計算自協(xié)方差提供了一個有用的公式：命題6.1 假設(shè)是絕對可加的自協(xié)方差序列，則母體譜函數(shù)與自協(xié)方差之間的關(guān)系為：上述公式也能夠等價地表示為：利用上述譜公式，能夠?qū)崿F(xiàn)譜函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。解釋母體譜函數(shù)假設(shè)，則利用命題6.1能夠得到時刻序列的方差，即，計算公式為：依照定積分的幾何意義，上式講明母體譜函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的面積確實(shí)是，也確實(shí)是過程的方差。更一般的，由于譜函數(shù)是非負(fù)的，對任意，假如我們能夠計算：那個積分結(jié)果也是一個正的數(shù)值，能夠解釋為的方差中與頻率的絕對值小于的成分相關(guān)的部分。注意到譜函數(shù)也是對稱的，因此也能夠表示為：那個積分表示頻率小于的隨機(jī)成分對方差的貢獻(xiàn)。然而，頻率小于

6、的隨機(jī)成分對方差的貢獻(xiàn)意味著什么？為了探究那個問題，我們考慮更為專門一些的時刻序列模型：那個地點(diǎn)和是零均值的隨機(jī)變量，這意味著對所有時刻t，有。進(jìn)一步假設(shè)序列和是序列不相關(guān)和相互不相關(guān)的：，對所有的j和k這時的方差是：因此，對那個過程來講，具有頻率的周期成分對的方差的貢獻(xiàn)部分是。假如頻率是有順序的：，則的方差中由頻率小于或者等于的周期形成的部分是：。這種情形下的k階自協(xié)方差為：因為過程的均值和自協(xié)方差函數(shù)都不是時刻的函數(shù)，因此那個過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程。然而，能夠驗證現(xiàn)在的自協(xié)方差序列不是絕對可加的。盡管在上述過程中，我們差不多過程的方差分解為頻率低于某種程度的周期成分的貢獻(xiàn)，我們能夠如此做的緣

7、故在于那個過程是比較專門的。關(guān)于一般的情形，聞名的譜表示定理(the spectral representation theorem)講明：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程都能夠表示成為不同頻率周期成分的和形式。對任意給定的固定頻率，我們定義隨機(jī)變量和，并假設(shè)能夠?qū)⒁粋€具有絕對可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程表示為：那個地點(diǎn)需要對隨機(jī)變量和的相關(guān)性給出更為具體的假設(shè)，然而上述公式便是譜表示定理的一般形式。6.2 樣本周期圖 Sample Periodogram對一個具有絕對可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程，我們差不多定義在頻率處的譜函數(shù)值為：，注意到母體譜是利用表示的，而表示的是母體的二階矩性質(zhì)。給定由表示的T個樣

8、本，我們能夠利用下述公式計算直到階的樣本自協(xié)方差：，關(guān)于給定的，我們能夠獲得母體譜密度對應(yīng)的樣本情形，我們稱其為樣本周期圖：樣本周期圖也能夠表示成為如下形式：類似地，我們能夠證明樣本周期圖下的面積等于樣本方差：樣本周期圖也是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，因此也有：更為重要的是，譜表示定理在樣本情形也有類似的表示。我們將要講明，關(guān)于平穩(wěn)過程的任意一個容量為的觀測值序列，存在頻率和系數(shù)，使得期的值能夠表示成為：其中：當(dāng)時，與不相關(guān)；當(dāng)時，與不相關(guān)；關(guān)于所有的和，與不相關(guān)。的樣本方差是，該方差中能夠歸因于頻率為的周期成分的部分由樣本周期圖給出。我們對樣本容量是奇數(shù)的情形展開討論上述譜表示模式。這時能夠表示成為由個

9、不同頻率構(gòu)成的周期函數(shù)，頻率如下：，因此最高頻率為：我們考慮基于常數(shù)項、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的線性回歸：將那個回歸方程表示成為下述方式：其中：，這是一個具有個解釋變量的回歸方程，因此解釋變量與觀測值是一樣多的。我們將證明解釋變量之間是線性無關(guān)的，這意味著基于回歸的OLS可能具有惟一解。該回歸方程的 系數(shù)具有顯著的統(tǒng)計意義：表示中能夠歸因于頻率的周期成分的那部分。這確實(shí)是講，任意觀測到的序列，它都能夠利用上述周期函數(shù)形式表示，同時不同頻率的周期成分對方差的貢獻(xiàn)都能夠在樣本周期圖中找到。命題6.2 假設(shè)樣本容量是奇數(shù)，定義，并設(shè)定，假設(shè)解釋變量為：則有：進(jìn)一步，假設(shè)是任意個實(shí)數(shù)，則下述推斷成立：(a

10、) 過程能夠表示為：那個地點(diǎn)：，(b) 的樣本方差能夠表示為：樣本方差能夠歸因于頻率為的周期成分的部分為。(c) 的樣本方差中能夠歸因于頻率為的周期成分的部分還能夠表示為：其中是樣本周期圖在頻率處的值。上述結(jié)果講明，是對角矩陣，這意味著包含在向量中的向量之間是相互正交的。那個命題斷言：任何奇數(shù)個觀測到的時刻序列能夠表示成為一個常數(shù)加上具有個不同頻率的個周期成分的加權(quán)和。當(dāng)是偶數(shù)整數(shù)的時候，類似的結(jié)果也是成立的。因此，那個命題給出了類似譜表示定理的有限樣本的類似情況。那個命題進(jìn)一步表明了樣本周期圖的特征是將的方差按部分分解為不同頻率的周期成分的貢獻(xiàn)。注意到解釋的方差的頻率都落在區(qū)間中。什么緣故不

11、使用負(fù)的頻率？假設(shè)數(shù)據(jù)確實(shí)是由上述過程的一種專門情形生成的：那個地點(diǎn)代表某個專門的負(fù)頻率，和是零均值的隨機(jī)變量，利用三角函數(shù)的奇偶性，能夠?qū)⒈硎緸椋阂虼耍蒙鲜鍪阶訜o法從數(shù)據(jù)中識不數(shù)據(jù)是從正發(fā)頻率依舊負(fù)的頻率生成的。這時一種簡單的方式是假設(shè)數(shù)據(jù)是從具有正的頻率中生成的。什么緣故只考慮作為最大的頻率呢？假設(shè)數(shù)據(jù)確實(shí)是從頻率的周期函數(shù)中生成的，例如：這時正弦和余弦函數(shù)的周期性質(zhì)表明，上式能夠表示成為：因此，依照往常的討論，具有頻率的周期在觀測值上等價于具有頻率的周期。注意到頻率和周期之間的關(guān)系，頻率對應(yīng)的周期為。由于我們考慮的最高頻率為，因此我們所觀測到的能夠自己重復(fù)的最短時期是。假如，則周期是

12、每時期重復(fù)自己。然而，假如數(shù)據(jù)是整數(shù)時期觀測的，因此數(shù)據(jù)能夠觀測的時刻間隔仍然是每4個時期觀測到，這對應(yīng)著周期頻率是。例如，函數(shù)和函數(shù)在整數(shù)的時刻間隔上，它們的觀測值是一致的。命題6.2也為計算在頻率()上的樣本周期圖的數(shù)值提供了方法。定義：那個地點(diǎn)：，因此能夠得到：6.3 可能總本譜 Estimating the Population Spectrum上面我們介紹了母體譜的意義和性質(zhì)，下面我們面對的問題是：獲得了觀測樣本以后，如何可能母體譜函數(shù)？樣本周期圖的大樣本性質(zhì)一個顯然的方法是利用樣本周期圖去可能母體譜函數(shù)。然而，這種方法具有顯著的限制。假設(shè)關(guān)于無限移動平均過程而言：那個地點(diǎn)系數(shù)是絕對

13、可加的，是具有均值和方差的獨(dú)立同分布序列，假設(shè)是如上定義的母體譜函數(shù)，且對所有的，都有。假設(shè)是如上定義的樣本譜函數(shù)，F(xiàn)uller (1976) 證明了，對和充分大的樣本容量，樣本周期圖與母體譜函數(shù)之比的二倍具有下述漸近分布：進(jìn)一步，假如，也有：同時上述兩個漸近分布的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。注意到的均值等于自由度，因此有：因為是母體數(shù)量，不是一個隨機(jī)變量，因此上式也能夠表示成為：因此，對充分大的樣本容量，樣本周期函數(shù)為母體譜提供了一個漸近無偏可能。母體譜的參數(shù)化可能假設(shè)我們認(rèn)為數(shù)據(jù)能夠由模型表示：那個地點(diǎn)是具有方差的白噪聲。這時一個可能母體譜的出色方法是先利用前面介紹的極大似然可能可能參數(shù)，具有絕對可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程，我們差不多定義在