交通管理問題課件

1、1數(shù)學(xué)建模實(shí) 驗(yàn)王汝軍河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2實(shí)驗(yàn)十 交通管理問題王汝軍河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解微分方程的一些基本概念。2初步掌握微分方程模型建立、求解的基本方法和步驟。3學(xué)習(xí)掌握用MATLAB軟件中相關(guān)命令求解常微分方程的解析解。3實(shí)驗(yàn)內(nèi)容在城市道路的十字路口，都會(huì)設(shè)置紅綠交通燈。為了讓那些正行駛在交叉路口或離交叉路口太近而又無法停下的車輛通過路口，紅綠燈轉(zhuǎn)換中間還要亮起一段時(shí)間的黃燈。對(duì)于一名駛近交叉路口的駕駛員來說，萬萬不可處于這樣進(jìn)退兩難的境地：要安全停車但又離路口太近；要想在紅燈亮之前通過路口又覺得距離太遠(yuǎn)。那么，黃燈應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間才最為合理呢？已知城市道路法定速度為v0

2、，交叉路口的寬度為 I，典型的車身長(zhǎng)度統(tǒng)一定為 L，一般情況下駕駛員的反應(yīng)時(shí)間為T ，地面的磨擦系數(shù)為。(假設(shè) I9 ， L4.5 ， 0.2， T1 s)41微分方程的基本概念未知的函數(shù)以及它的某些階的導(dǎo)數(shù)連同自變量都由一已知方程聯(lián)系在一起的方程稱為微分方程。如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱為常微分方程。如果未知函數(shù)是多個(gè)變量的函數(shù)，稱為偏微分方程。聯(lián)系一些未知函數(shù)的多個(gè)微分方程稱為微分方程組。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。若方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，稱為線性常微分方程，一般表示為67(1)若（1）式中系數(shù)（i=1,2,n）均與t 無關(guān)，稱之為常系數(shù)（或定常

3、、自治、時(shí)不變）的。微元法建模：利用微積分的分析法建立常微分方程模型，實(shí)際上是尋求一些微元之間的關(guān)系式，在建立這些關(guān)系式時(shí)也要用到已知的規(guī)律或定理。與第一種方法不同之處在于這里不是直接對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律和定理來求關(guān)系式，而是對(duì)某些微元來應(yīng)用規(guī)律。9模擬近似法建模：在社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的實(shí)踐中，常常要用模擬近似法來建立微分方程模型。這是因?yàn)椋鲜鰧W(xué)科中的一些現(xiàn)象的規(guī)律性我們還不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究只能在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象。如此模擬近似所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上求解或分析解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況作對(duì)比，觀察這個(gè)模型能否模擬、

4、近似某些實(shí)際的現(xiàn)象。10建立微分方程模型只是解決問題的第一步，通常需要求出方程的解來說明實(shí)際現(xiàn)象，并加以檢驗(yàn)。112微分方程通解的求解方法（1）初等積分法有些微分方程可直接通過積分來進(jìn)行求解。例如，一階常系數(shù)線性常微分方程可化為12兩邊通過積分可得到通解y(t)為其中 為任意的常數(shù)。有些常微分方程可用一些技巧（如分離變量法、積分因子法、常數(shù)變易法、降階法等）化為可積分的方程而求得解析解。13（2）常系數(shù)線性微分方程求解線性常微分方程的解滿足疊加性原理，從而它的求解可歸結(jié)為求一個(gè)特解和相應(yīng)齊次微分方程的解。一階變系數(shù)線性常微分方程總可用這一思路來求得通解。高階線性常系數(shù)微分方程可用特征根法求得相

5、應(yīng)齊次微分方程的基本解，再用常數(shù)變易法求特解。14從而該微分方程的通解x(t)為其中 A、B 為任意的常數(shù)。16一階常微分方程組與高階常微分方程可以互化，已給一個(gè) n階方程 (2)設(shè)(2)可化為一階方程組17反過來，在許多情況下，一階微分方程組也可以化為高階方程。所以一階常微分方程組與高階常微分方程的理論與方法在很多方面是相通的。一階常系數(shù)線性微分方程組也可用特征根法進(jìn)行求解。193求微分方程（組）通解的MATLAB命令求解微分方程（組）的解析解用函數(shù)dsolve。20r = dsolve( eq1, eq2, . , cond1, cond2 , . , t )；其中eq1、eq2等表示方程

6、1、方程2等，cond1、cond2等表示初始條件，均用字符串方式表示，自變量的缺省值為t；微分方程和初始條件中，導(dǎo)數(shù)用字符D表示，D2、D3分別表示2階、3階導(dǎo)數(shù)，并以此類推；r返回所求得的解析解，如果是方程組，則r的結(jié)構(gòu)是一個(gè)向量的形式；可以用help dsolve查閱有關(guān)該命令的詳細(xì)信息。實(shí)驗(yàn)方法與步驟1dsolve命令的基本用法下面以例題來予以說明：例1求高階方程 的通解.輸入命令： r=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x)可得：21r = (1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x)*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*co

7、s(x)*cos(x)+4/3*cos(x) r=simple(r)%對(duì)r進(jìn)行合并、分解化簡(jiǎn)r = -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x)22例2求下面微分方程組的通解23輸入命令 x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z); x=simple(x) x = -(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t)*exp(2*t)242引例問題的分析與求解首先，我們用模擬近似法對(duì)引例問題進(jìn)行分析建模。對(duì)于駛近交叉路口的駕駛員，在他看到黃色信號(hào)后要做出決定：是停車還是通過路口。如果他以法定速度

8、（或低于法定速度）行駛，當(dāng)決定停車時(shí)，他必須有足夠的停車距離。當(dāng)駕駛員決定通過路口時(shí)，必須有足夠的時(shí)間讓他能完全通過路口。這包括做出停車決定的反應(yīng)時(shí)間以及通過停車所需的最短距離的駕駛時(shí)間，能夠很快看到黃燈的駕駛員可以利用剎車距離將車停下來。26于是，黃燈狀態(tài)所應(yīng)持續(xù)的時(shí)間包括駕駛員的反應(yīng)時(shí)間，他通過交叉路口的時(shí)間以及通過剎車距離所需要的時(shí)間。由題設(shè)可知城市道路法定速度為v0 ，交叉路口的寬度為I ，典型的車身長(zhǎng)度統(tǒng)一定為L(zhǎng) 。考慮到車通過路口實(shí)際上指的是車的尾部必須通過路口，因此，通過路口的時(shí)間為 .2729約去w，化簡(jiǎn)（4）式得同時(shí)，我們知道，當(dāng) t0時(shí)，距離 x0，初速度是距離x在0時(shí)刻的

9、一階導(dǎo)數(shù)，于是可以給出方程（5）的初始條件在MALAB命令框中輸入命令 x=dsolve(D2x=-ug,x(0)=0,Dx(0)=v0,t) x = -1/2*ug*t2+v0*t即得到停車距離x關(guān)于時(shí)間t 的解析式。3031設(shè)黃燈閃爍的時(shí)間為A ，則A 的表達(dá)式為32結(jié)果分析由假設(shè)知， I9 ， L4.5 ， T1s ，磨擦系數(shù)選取有代表性的 0.2，我們考慮當(dāng)法定速度 v040、60、80km/h時(shí)，黃燈時(shí)間如表1所示，表1也給出了與經(jīng)驗(yàn)法黃燈時(shí)間的對(duì)比。33（km/h）經(jīng)驗(yàn)法405.05 3 656.35 4 807.28 5 34表1黃燈預(yù)測(cè)時(shí)間與經(jīng)驗(yàn)法時(shí)間的對(duì)比我們注意到，經(jīng)驗(yàn)法的

10、結(jié)果一律比我們預(yù)測(cè)的黃燈狀態(tài)時(shí)間要短些，這使得我們聯(lián)想起，許多城市交叉路口紅、黃、綠燈的設(shè)計(jì)可能使得司機(jī)駕駛著的汽車在綠燈轉(zhuǎn)變?yōu)榧t燈的時(shí)刻正處于交叉路口的位置。35練習(xí)與思考1設(shè)一容積為 （單位：m3 ）的大湖受到某種化學(xué)廢料的污染，污染物均勻地分布在湖中。若某時(shí)刻起污染源被切斷，設(shè)湖水更新的速率是 （單位是： m3 天）。試建立求污染物的濃度下降至原來的5%所需時(shí)間的數(shù)學(xué)模型。美國密西根湖的容積為4871 103 （ m3 ），湖水的流量為3.663959132 103 （ m3 ），求污染中止后，污染物濃度下降到原來湖水污染濃度的3%所需要的時(shí)間。36練習(xí)與思考2某公司生產(chǎn)一種耐用消費(fèi)品，產(chǎn)品一上市，該公司即開始做