巧用定積分求極限(數(shù)學(xué)分析)

1、, n n , n n 定積分在極限中的應(yīng)之遲辟智美作1知識準(zhǔn)備學(xué)的占要 又學(xué)臨 因 多 應(yīng)夜素 .0“0” 型的 ” 型極 泰適求子加 ,泰以 效 . 觀法 ,是瑣 應(yīng)學(xué) 事 微分正 代加 乘 , 乘與及 對關(guān) 逆 到 來限 限算 求現(xiàn) .2 定積先顧以界 :定積分 函f ( x)間 在拔n-1 點(diǎn) 將 成 n x x i, 記 (i 1,2, , i i i , i i,f i) i( ) 些獲i f ) i i( 分 ) 設(shè)max i, lim f ( i i) i在極及i無 ,則這極數(shù)f ( x)積 b ( x dx ( ) dx lim f i i) i f ( )積 1:牛公 積數(shù)

2、 故 了的 若ba ( x)dx殊 ,i殊得限積等 但立 , 這 在常 ,者 定積是者與式 關(guān) 積 分 字 暗 ba x)dx ba ) dt ba ) 察界 會分下 . 定無的 易在 于時趨 否限 . , 定一有 般 數(shù) 是數(shù)上窮 , 間函長的 ,年夜學(xué)的的 用散相 ,數(shù)主 連相 我來吧 概極n 為 , 給 總, n N | n, 則n a 列nn n x ,記lim a an a n n. a( : 趨于時 , n 是 或 趨 a 由于 正 , 數(shù)記n , lim an n a(n n.n n 不n 列 . 在列 n a 得 ; 數(shù) a 近 ; ,一 就確 ,靠 ; 性 .意 , 是正 界

3、不| n 2“| n” 可 “| a n” 取 ; 小 限 個數(shù) 2:于 : ,一 , 而 , N N ) , N 賴 ; ,到 N ; N N 相不 定 定 100 使 n N ,| a n,則 ,最的 不多 基 ,用限 ,即而 “ n ”“ N”極f ( x) 0 A, 意數(shù) 何 ),n n i n n i ) 某 , 使適 x等 x 對函f ( x)不f ( x) , 么 做f ( xx x0,為lim f ( ) A或f ( ) 當(dāng) x )0 x .出限界是 , 個值某 數(shù) ,數(shù)的式 數(shù) ,函值 能常意 .2積在應(yīng)出 , 無的函 , 它定 說絲 ,么揭間 妙 界一f ) i i ,且

4、i 充 沛 地 小 i f i) i 可 以 任 意 接 近 確 定 的 數(shù)ba ( x)dxlim (,正的 ,即 i) ( x) i .就極一力分 . 積年公 運(yùn)眾 式.求用們單 : 1. 1 1 n n 0,1i 1 dx 0,1i 1 dx =ln20 : 式 ,易限決 , 是計某果明 ,因里 ; 限也有 式歧 ; 再慮法 它窮的 非的 , 能 ; 那公 式來數(shù)題 展 多的成式 式 看也 .那是有的？ 是 實(shí) , 與界些 那就考分解題 : 把轉(zhuǎn)積 ,而 下 : limn ni i 出 , 其中是f ( ) 11 在間 個得 , i1 i i i, , i 1,2, n n n ).,1

5、 1 .題可 ,題將為 了所刃 .于 們 分中方 :n i n i ; i . n i i n i n i ; i . n i i lim (iSept1 限 , lim f ( i in i 取 i1 i i i, i n n n;Sept2 確積上 a=limn i( i取第一個值 n i(i取Sept3 用 x ,出達(dá)f ( x) ,原.上法 無的 方 ,有循 .現(xiàn)讓看 ,中 以伐 n 2. 1 1 ） n 2 :Sept1 限 .=limn i 2 2 i . , ii 1, 即是進(jìn)行 N等） n , 積 可 f 11+2, i 1,2, .Sept2 積下 .Sept3 積并 .=1

6、011 2dx x104. ,我們依結(jié)伐 , i b i b 出極 這體 ,那是 出性底定 .3用極結(jié)及,以結(jié) : 1 如數(shù)f ( x), n,ii i b (b (b ), n n nlim b ni f i) af ( x dx.一 ,間 n 等T特 .據(jù)說 ,論 是到限都總個 我況 , 如 伐用限 再 習(xí)受 1 用 . 1)lim 2 n sin 1 .題項(xiàng)限 ,以思 到去 .讓論 1 解極 習(xí)出 ,對 認(rèn) :(1) 極看f ( x sinx 的 . 0,11 0 n 1 n lim 0,11 0 n 1 n lim(2) , limn ni i, 被數(shù)f x間 極 =01 2 2 dx

7、 x) 1 3 3;sini(3) 原限 ii看 一到 :論 上式極 n 1 i n i n lim (sin sin sin sin n n n +1 n n ni i =10 2等取 1 2 nlim (sin ) lim n n i 1 i n 0sinxdx 2.2,的知 = 均用計 出 我 只個f ( x), 把極lim (i n i 積i f ( ) n n , 就出 f(x) 0,1 上的出 . 式行形 ,其是 n f(in )1n 了; 習(xí) 3 直 上 是limn f(in)1n 形 , 因 式 , ,n n i i i i n , ,n n i i i i n n 2 n 2

8、 . 2 n ln f ( ) dxlimn1 1 1+ n n 6) ( n lim 2 nsin sin 1 1 不i n 項(xiàng)對 以 3 極限式等i 公段nf ( ),如 我的 的 ,求極 值.結(jié)及 ,論 適 ,得極 法. 1 如數(shù)f ( x ( ), f ( x) ),:f ( x ( ), f ( x) ) i ii i,n n 0(當(dāng) ilim limin ilim f ( () i i ii f ( g ( = =f ( x) ( x) dx. 3. :1 2 n n sin cos( ) sin ) cos( ) n : 1 可, 10 xdx 2 210. 2 設(shè)ln f (

9、)在區(qū)上可積，則 lim f ) ( ) ) . 0,1f ( )i n f ( )f ( x ) dx1 2 . i i i i 0,1f ( )i n f ( )f ( x ) dx1 2 . i i i i 4.:lim(n n n ) n n1n.f ( x) 3 如數(shù) 積 1 nf lim1+ f ) ( f ) n n n nf ( ) dx.:A=n 2 1 f ( ) f ( ) f ( ) n,n 1 ilim f ( ) n n i n i lim ( )n n i n i ( )i nln A lim i ln1+ i ) lim ln e n lim n n n i i

10、 于是，A i ( ) 0f ( ) 5. n 2 ) (1 ) 2 3n :直論 推論 1 補(bǔ) 們 式限 還無乘 結(jié) 的路探 ,式積 用 ,但實(shí) ,與 一 .們 住概 意分和 , 學(xué)賦 對行 , 量 限界上 .通了 ,定 原 由個 1 i n 1 i i i 1 i 對 lim ( f , ,lim f n 1+ f ( ) n n n n i i i i 1 1 i 1 limf ),limi i i i鞏 n n n n n n 3 n 2 n n ;n 1 1 i 1 limf ),limi i i i鞏 n n n n n n 3 n 2 n n ;n 1 .1 1 的們 ,定容極

11、.對一法 們察 , 都結(jié) 用推 ,論 我組 , 上 ,經(jīng)種的 ,今 解問型 .讓一i i n i if , ,lim f ( ,lim 1+ f ( )n n n n n ni i i i 的 .組用結(jié) . 分下 (1)lim nn 1 2 (2 ) 2 ( ) ;(2)1 1 1 1 1 2 1 n ( )sin( )sin( +( )sin( n n n n(3)nlim (1n 2n)(1 2n ;(4)1 1 )(1 (1 ) n :題等 ,結(jié) 論 3 的 ,(1)lim nn 1 1 n 1 ( )(1 (2 2 ( ) 2 n ii n201 1 ; (1 ) 2(2) 1 2 2

12、 1 1 n lim ( )sin( +( )sin( n n 3 n 2 n n 2n n ni (1 (1 i 1 i i (1 (1 i 1 i b b n n n 1= ni iiii i , i 1,2, n=x xdx sin1 (3)limnn 2 i )(1 (1 lim )2n 2n n n 2 i 1n ln(1 x ) 2(12 2) ) ;1 n 1 n 1 2 n n(4) .在應(yīng)移 經(jīng)會式在 .于 ,們 把求 用到 例 ,利用法 式 ,或者一點(diǎn)問 .下面 證 : 函f ( x) 且 f ( x) af ( ) af ( x)dx )2.:f ( x) g ( x)

13、等 x 0 n. K 個kx , x k k b n.平幾 , f ( f ( k f ( x ) b ) kf ( ) n b b J n n b b J n n ( f ( ） ( 1 1 b f ( ） ( ） f ( x ） n當(dāng) ，有 ( ) a f ( )dx b 2. : 巧 ,分極式 , 平于這 將為 較 與分的決關(guān) 我充積中 ,并能 , 以 問 到 題 lim 7.限 n(2 (2 )!.:問不用 1 或 1 至推 3 求 . 因表易論的 該解到嗎否 之我沃由lim公 m)! (2 1)! 2m 2.: nxdx n 2 分容整遞 :n J n J 00dx , 10sin

14、用推 m 2 m 2 , m xdx xdx m xdxA m m)! (2 )! m 1)! 2 (2 2m, m m(2 )! 1 1 0( m 2 (2 2 2, 的lim( B ) m m .0 2 B A m m,利limm m)! m 2m .我看式積關(guān) ! 積J xdx ,地分達(dá) ,們尋極金 ,積 是揮的 我用 探 吧 m)! 1 lim 2 利 (2 m 1)! 2m ,知lim 1)!(2 )!limm .水 ,們積決 中限 采來 一 n n 1 n 11 n n 1 n 11 在應(yīng)善道也極出 .上 限將式成 分出結(jié) 能在 部現(xiàn)看的 ,明 . 8.:limn n. : 題面題

15、 前 們lim將的成 i f i) i,例 ,它我定限例像 ,為無i 1i,所我試的極分變 i ni i i. 如驗(yàn) limn ni i 0 . 可是對 . ,有直積 ; ,用分01xdx1 知 0 xdx 1 lim(ln ) lim 1 lim(ln ) lim 0 lim limn1 n 11 1 n i 1 1i lim( )2 n x x n lim x lim x lim ln x x ( 統(tǒng)分 ,一 這經(jīng) x 是 析理 段限 ).們果 ,limn n.以 ,的 , 積不 整 其使 .總 ,只于 上念們 往 把思其題 . 來 求用 幾 是的 且的適 等能分 . 分 要的 法 的 ,

16、重極論 段 . 類需種 華 倍.4文數(shù)上 ,認(rèn) . 行用 ,是切 一自 為 的,一法 ,還性 .,數(shù)具 是統(tǒng)現(xiàn) . 本定極 . 與此 研 這數(shù)理立上 嚴(yán) 應(yīng)題 其于 一數(shù) 用極 較模模 .決的 第 , 予以性可 ,識 發(fā)階 , 理一重 每式 , 都從以華 .我 過與 到 “ 推論 1至“推 .三,是工 . 我數(shù)己 , 還于其 思 . 映復(fù)物 仍的形圖示 分 用數(shù) , 開 達(dá)步 .一法 究 . 它象 動 ,關(guān)系 煉性成量 和 想它方性 , 質(zhì)一 ,式最 示 .積限算 , 意 都的 是的 覺 數(shù) 實(shí)明 .一理 ,另則世地 ; 是的 , 是作 可 況至的 卻術(shù)一意 學(xué) 是以驅(qū) .數(shù)認(rèn) .與繪 中 ,

17、還同自形 種式 是學(xué)語 . 其有 .術(shù)達(dá)帶義的 , 們時 ,分之 交 .(2) 體其普 ; 數(shù)整于的 ,之 力 的和達(dá) .(3) 為統(tǒng) 凍 .(4) 可 種感 喚的 , 意把 向 為 為內(nèi)方 .(5) 在數(shù)的息換 其 是體 .研在,種符式悅 .數(shù)同 ; 藝的是 的 學(xué)上框 ,鑒賞的 超 , 顯 . 在 學(xué)越 異類學(xué) 征 ,泛 .現(xiàn)商 藝學(xué)始 各 內(nèi) , ,情 求應(yīng) , 貢自 ,漸域定 經(jīng)積問的 ,只們某心 并刻 能運(yùn)其 .我定 結(jié) 進(jìn)當(dāng) 獲意推 .要介在應(yīng) 們 了及學(xué)中念 .后 之聯(lián) ,而一極 定限 .固 也空 它 中中思者的 . 所概思 ,之立 在數(shù) 必基 ,其互或種念 分 .對夜 ,行輯 . 們立 那發(fā)物 ,這發(fā) 異年 ; 設(shè) , 我們好 概別 ,這我識處 , 的中 我去 , 年行 設(shè)我維 .的還 , 值去掘 . 希望 起玉 多樂起 出與限 家 與.參考文獻(xiàn)1年系 育 2001 2 等 學(xué)習(xí) . 北京 育 , 3 同濟(jì)學(xué). M 北 , 高書, 4 關(guān) , 5.數(shù) . .育 ,20016 經(jīng)列 高教 , 7, .科 .京出 , 8學(xué) 及 ),2005英文摘要Abstract:In solving