高等數(shù)學(xué)課件：8-2 冪級(jí)數(shù)

1、8.3 冪 級(jí) 數(shù)1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)序列 , 在區(qū)間 I 上有定義 ,級(jí)數(shù)稱為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 若 x0 I 使級(jí)數(shù) 收斂 ,則稱 x0 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂點(diǎn) , 否則稱為發(fā)散點(diǎn) 收斂域:級(jí)數(shù) 的收斂點(diǎn)的全體所成的集合稱為級(jí)數(shù) 的收斂域 和函數(shù):在級(jí)數(shù) 的收斂域上稱為級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 余和:2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù):形如(1)的級(jí)數(shù)稱為 x - a 的冪級(jí)數(shù) , a 稱為冪級(jí)數(shù) (1) 的基點(diǎn) ,稱為冪級(jí)數(shù) (1) 的系數(shù) 當(dāng) a = 0 時(shí) , (1) 變形為(2)式 (2) 就是以 a = 0 為基點(diǎn)的 x 的冪級(jí)數(shù) 若令 t = x-a , 則冪級(jí)數(shù) (1) 可表示為(3)式 (3

2、) 就是以 a = 0 為基點(diǎn)的 t 的冪級(jí)數(shù) .所以 ,我們只需討論以 a = 0 為基點(diǎn)的冪級(jí)數(shù) (2) 就夠了 問題:(1) 冪級(jí)數(shù) (2) 的收斂范圍是怎樣的 ?(2) 冪級(jí)數(shù) (2) 的收斂范圍如何確定 ?(3) 冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù) S(x) 有何性質(zhì) ?定理 ( 阿貝爾定理 )(1) 如果對不等于零的值 x1 , 冪級(jí)數(shù) 收斂 ,則對區(qū)間 中的一切 x , 冪級(jí)數(shù) 絕對收斂 (2) 如果冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn) x2 處發(fā)散 , 則對滿足的一切 x , 冪級(jí)數(shù) 都發(fā)散 證明(1) 由 收斂 存在 M 0 , 使任取 x ,則 .由于因?yàn)槭諗?據(jù)比較判別法知級(jí)數(shù) 收斂 , (2) 利用反證法 若

3、 使級(jí)數(shù) 收斂 ,則由結(jié)論 (1) 可知級(jí)數(shù) 收斂 , 矛盾 所以結(jié)論成立 從而知級(jí)數(shù) 絕對收斂 定理說明:對于冪級(jí)數(shù) , 只要它不是處處發(fā)散 ( 注意 :冪級(jí)數(shù)在基點(diǎn)處總是收斂的 ) ,則它的收斂范圍一定是以基點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間 ( 含端點(diǎn)或不含端點(diǎn) , 也可為無窮區(qū)間 ) , 并且在此區(qū)間的內(nèi)部 ,冪級(jí)數(shù)絕對收斂 因此 , 阿貝爾定理刻畫了冪級(jí)數(shù)的收斂域的特征定義同時(shí) , 將時(shí)冪級(jí)數(shù) 收斂的點(diǎn)的全體稱為此冪級(jí)數(shù)的收斂域 而當(dāng) 時(shí) ,對于冪級(jí)數(shù) , 如果存在一正數(shù) r ,使當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù) 收斂 , 級(jí)數(shù) 發(fā)散 , 則稱此數(shù) r 為冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 , 并稱區(qū)間 ( - r , r ) 為

4、此冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)收斂域的確定: 首先必須確定冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 r 如果 , 則有(1) 若 = 0 ,此時(shí)對任意的 x R , 冪級(jí)數(shù) 都收斂 收斂域?yàn)?(- , + ) 收斂半徑為 r = + (2) 若 = + ,此時(shí)對任意的 xR , x 0 , 有 收斂半徑為 r = 0 冪級(jí)數(shù) 對所有 x 0 都發(fā)散 收斂域?yàn)?0 (3) 若 0 0 即 x 0 2 冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 R 0 ,其和函數(shù)為 S(x) , 則下面我們討論冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù) S(x) 的函數(shù)性質(zhì)定理 ( 冪級(jí)數(shù)的連續(xù)性 )設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 r 0 , 則和函數(shù) S(x) 在其定

5、義域 ( 即冪級(jí)數(shù)的收斂域 )上連續(xù) 也就是也就是說明:上式說明: 冪級(jí)數(shù) 對于收斂域中的點(diǎn) x0 , 可以逐項(xiàng)取極限 定義域中的任意一點(diǎn) ,即若 x0 是則有定理 ( 冪級(jí)數(shù)的可微性 )說明:(1) 上式說明: 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且可以逐項(xiàng)求導(dǎo) 半徑為 r 0 , 則和函數(shù) S(x) 在 ( -r , r )內(nèi)可微 , 且 設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂(2) 不加證明的指出: 級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù)具有相同的收斂半徑 即 , 逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 (3) 盡管 與 具有相同的收斂半徑但收斂域未必相同 例如冪級(jí)數(shù) 與對于冪級(jí)數(shù) , 收斂半徑為收斂區(qū)間 ( -1 , 1 ) , 可知其收斂域?yàn)?-1

6、, 1 對于冪級(jí)數(shù) , 收斂半徑為收斂區(qū)間 ( -1 , 1 ) , 可知其收斂域?yàn)?-1 , 1 ) (4) 注意: 在 x = r 0 ( r 為收斂半徑 )即為反例 ) ,處收斂 , 但 S(x) 在 x = r 處不一定可導(dǎo) ( 上面的例子即冪級(jí)數(shù)在其收斂域的端點(diǎn)處不一定具有可微性 . 但有下性質(zhì)性質(zhì)若 在 x = r 處收斂 , 則 S(x) 在 x = r 處可導(dǎo) , 且( 可逐項(xiàng)求導(dǎo) )證明定理 ( 冪級(jí)數(shù)的可積性 )半徑為 r 0 , 則和函數(shù) S(x) 在其定義域上可導(dǎo)而 設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂且對其定義域中的任一點(diǎn) x 有說明:(1) 上式說明: 冪級(jí)數(shù)在其定義域上可積而且可以逐

7、項(xiàng)積分 (2) 與 具有相同的收斂半徑 ,但收斂域未必相同 關(guān)于冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算有以下性質(zhì)性質(zhì) 1和函數(shù)分別為 S1(x) 與 S2(x) , 則 在設(shè) 與 的收斂域?yàn)?I1 和 I2 ,上收斂 , 且性質(zhì) 2設(shè) 與 的收斂半徑為 R1 和 R2 ,和函數(shù)分別為 S1(x) 和 S2(x) , 若記 R = min R1 , R2 ,則 與 的柯西乘積在 ( -R , R ) 內(nèi)收斂,且和函數(shù)等于 S1(x) S2(x) , 即例求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 解先求冪級(jí)數(shù)的收斂域 收斂區(qū)間 又當(dāng) x = 1 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)收斂 當(dāng) x = -1 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,收斂域?yàn)?設(shè)對任意的 x( -1 , 1 ) 兩邊從 0 到 x 積分有即由于 在 x = 1 處收斂 所以有 在 x = 1 處連續(xù) , 兩邊取極限有例求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 解 收斂區(qū)間 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù) 發(fā)散的收斂域?yàn)?( -1 , 1 ) 設(shè)當(dāng) x ( -1 , 1 ) 時(shí) 所以有例求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 解 收斂區(qū)間 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂 , 的收斂