空間幾何-平行垂直證明高一

1、空間幾何平行垂直證明專題訓(xùn)練知識點(diǎn)講解、“平行關(guān)系”常見證明方法（一）直線與直線平行的證明1）利用某些平面圖形的特性：如 平行四邊形的對邊互相平行2）利用三角形中位線性質(zhì)3）利用空間平行線的傳遞性：m/a,m/b n a/b平行于同一條直線的兩條直線互相平行4）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理:那么這條直線和交線平如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平5）利用平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.6）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線互相平行 7）利沖肺直線打直線垂直的性質(zhì)：在同一個平面

2、內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 r 8）利用定義：在同一個平面內(nèi)且兩條直線沒有公共點(diǎn)（二）直線與平面平行的證明1）利用直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行2）利用平面與平面平行的性質(zhì)推論：兩個平面互相平行，則其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一個平面第1頁共6頁3）利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點(diǎn)（二）平面與平面平行的證明 常見證明方法:1）利用平面與平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a ? P 、b ? Pa n b = P口a 口b / a J2）利用某些空間幾何體的特性：如

3、3）利用定義：兩個平面沒有公共點(diǎn)二、“垂直關(guān)系”常見證明方法（一）直線與直線垂直的證明1）利用某些平面圖形的特性：如 直角三角形的兩條直角邊互相垂直 等。2）看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90 ,則兩直線互相垂直。3）利用直線與平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。4）利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論:如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直第2頁共6頁C( 1 P 、 0( c P = la a otb c Pa _L lb _L l J =a _

4、L b 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于 i I 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互相垂5） =a _L b 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于 i I 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互相垂 TOC o 1-5 h z 直。ba _La I/7a a 卜= a_Lb/a/（二）b/a J直線與彳面盅直的證71）利用某些空間幾何體的特性：如 長方體側(cè)棱垂直于底面 等2）看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直于此平面

5、。3）利用直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線垂直于此平面。4）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。5）利用常用結(jié)論：一條直線平行于一個平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則鉗直線也垂直于另一個平面。（三）平面與平面垂 0f p 1直的證 aa1）利用某些空間幾何ala Jfa / /體的特性：如長方體側(cè)面垂直于底面等2）看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），3)就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定

6、定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。題型一：平行al P a 一 題型一：平行al P a 一 二I- 0MB （線線平行J線面平行n面面沙行）例1.如圖，在直三棱柱 ABC-ABiCi中，E、F分別！ iAr、AC的中點(diǎn)j沖證：EF/平面 ABC第3頁共6頁（兩種方法證明）方法一：方法例2.如圖，正三棱柱ABC-AB中，D是BC的中點(diǎn)，求證：AB 平面ADG.（兩種方法證明）V / ；方法一：方法二：3.如圖，在底面為平彳T四邊行的四棱錐 P-ABCD中，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：PB平面AEC;（兩 種方法證明）方法一：方法二：匚1-I4.如圖，E、F、O分別為PA, PB ,

7、 AC的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，求證：FG/平面BOE;（兩 種方法證明）方法一：方法二：課后練習(xí).已知空間四邊形 ABCm，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA勺中點(diǎn).求證：AC平面EFG.已知空間四邊形 ABCm,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA勺中點(diǎn).求證：EF平面BGH.已知在四棱錐P-ABCLfr, ABC師平行四邊形，E為PC的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn).求證：OE平面 ADP.已知在四棱錐P-ABCLfr, ABC師平行四邊形，E為PC的中點(diǎn).求證：PA平面BDE.正方體ABCD -A1B1c1D1中，E,G分別是BCCD1中點(diǎn).求證：EG平面BDD1B1.如圖，在四棱錐

8、O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中證明：直線MN |平面OCD ;.在四棱錐P-ABCDK 底面四邊形ABCD1平行四邊形，E,F分別是AB, PD的中點(diǎn).求證：AF 平 面PCE第4頁共6頁P(yáng)9.已知正方體 ABCB-A1B1GD, O是底ABCD寸角線的交點(diǎn).求證： GO平面ABD;題型二：垂直(線線垂直、線面垂直、面面垂直).如圖，在直三棱柱 ABC-ABCi中，點(diǎn)D在BiCi上，AD_LBC 求證：平面ACD _L平面BBiCiC .如圖，正三棱柱 ABC-AB1cl中，D是BC的中點(diǎn)，.求證：直線AD 1 BiCi;.如圖，四棱錐 P-ABCD

9、的底面是正方形，PD_L底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面AEC _L 平面 PDB ;.如圖，直三棱柱 ABCAB1cl 中，AB=i, AC = AA=J3, /ABC=60。求證：AB _L AC / I 1J J.直三棱柱 ABC-AB1cl 中，/BAC=90、AB=AC=AA,=2, M、N 分別是 BC、CG 的中點(diǎn)，求證：BiM _L 平面 AMN ;.如圖，在三棱錐P-ABC中，/PAB是等邊三角形，/ PA/PB90o。求證：AB PC課后練習(xí).如圖，ABCD-A1B1GD是正四棱柱.求證：BDL平面ACCAi；.如圖，四棱錐 P-ABCD的底面是正方形，PD_L底面

10、ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面AEC _L 平面 PDB ;.如圖，三棱柱ABC -AB1cl的所有棱長都相等，且AA_L底面ABC, D為CiC的中點(diǎn)，慶81與人8相交于點(diǎn)O,連結(jié)OD, (1)求證：OD 平面ABC; (2)求證：ABi，平面ABD。.如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD _L平面ABE , F為CE上的點(diǎn)，AE = EB=BC = 2,且BF 1 平面ACE(1)求證：AE_L平面BCE; (2)求證：AE平面BFD; (3)求三棱錐C - BGF的體積。第5頁共6頁二1 ，二1 ，(3).如圖，正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的側(cè)棱長為1,底面邊長為2, E是棱BC的中點(diǎn)。(1)求證：BDi平面CiDE ； (2)求三棱錐D