高考教案導(dǎo)數(shù)洛必達(dá)法則

1、第二部分：泰勒睜開(kāi)式1.ex1xx2x3Kxnxn1ex,此中(01)；1!2!3!n!(n1)!2.ln(1x)xx2x3K(1)n1xnRn,此中Rn(1)nxn1(1)n1；2!3!n!(n1)!1x3.sinxxx3x5K(1)k1x2k1Rn，此中Rn(1)kx2k1cosx；3!5!(2k1)!(2k1)!4.cosx1x2x4K(1)k1x2k2Rn此中Rn(1)kx2kcosx；2!4!(2k2)!(2k)!第三部分：新課標(biāo)高考命題趨向及方法很多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，此中求參數(shù)的取值范圍就是一類要點(diǎn)考察的題型.這種題目簡(jiǎn)單讓學(xué)生想到用分別參數(shù)的方法，一部分題用

2、這種方法很湊效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分別參數(shù)的方法卻不可以順利解決，高中階段解決它只有華山一條路分類議論和假定反證的方法.固然這些壓軸題能夠用分類議論和假定反證的方法求解，但這種方法常常議論多樣、過(guò)于繁瑣，學(xué)生掌握起來(lái)特別困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分別參數(shù)的方法不能解決這部分問(wèn)題的原由是出現(xiàn)了0”型的式子，而這就是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，解決這種問(wèn)題的有效方法就0是洛必達(dá)法例.第四部分：洛必達(dá)法例及其解法洛必達(dá)法例：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)知足：（1）limf(x)limg(x)0；（2）在Uo(a)內(nèi)，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；xaxa（3）limf(x)A（A可為實(shí)數(shù)，也能夠是）

3、.則limf(x)limf(x)A.g(x)g(x)xaxaxag(x)（2011新）例：已知函數(shù)f(x)alnxb，曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x2y30.x1xlnxk，求k的取值范圍.（）求a、b的值；（）假如當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)x1x（）略解得a1，b1.（）方法一：分類議論、假定反證法由（）知f(x)lnx1，所以f(x)(lnxk)112(2lnx(k1)(x21).x1xx1xxx考慮函數(shù)h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，則h(x)(k1)(x21)2x.xx2(i)當(dāng)k0時(shí)，由h(x)k(x21)(x1)2知，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0.因?yàn)閔(1)

4、0，x2所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，可得12h(x)0；當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0，可得1x12h(x)0，進(jìn)而當(dāng)x0且x1時(shí)，f(x)(lnxk)0，即f(x)lnxk；1x1x1xx1x1（ii）當(dāng)0k1時(shí)，因?yàn)楫?dāng)x(1,)時(shí)，(k1)(x21)2x0，故h(x)0，而h(1)0，故當(dāng)x(1,)11k1k時(shí)，h(x)0，可得，與題設(shè)矛盾.1x2h(x)01（iii）當(dāng)k1時(shí)，h(x)0，而h(1)0，故當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0，可得2h(x)0，與題設(shè)矛盾.1x綜上可得，k的取值范圍為(，0.注：分三種狀況議論：k0；0k1k1不易想到.特別是0k1時(shí)，很多考生都逗留在此；層面，舉

5、反例x(1,1)更難想到.而這方面依據(jù)不一樣題型波及的解法也不同樣，這是高中階段公認(rèn)的難點(diǎn)，即1k便經(jīng)過(guò)訓(xùn)練也很難提高.當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnxk，即lnx1lnxk，x1xx1xx1xxlnx1xlnx2xlnx1，記g(x)2xlnxx0，且x1也即kx1xx11x21x21，則g(x)2(x21)lnx2(1x2)2(x21)(lnx1x2(12)2=(12)2x2)，xx1記h(x)lnx1x21+4x2=(1x2)20，則h(x)x2)x(1+x2)2x21(1+x進(jìn)而h(x)在(0,)上單一遞加，且h(1)0，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0；當(dāng)

6、x(0,1)時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(1,)時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上單一遞減，在(1,)上單一遞加.由洛必達(dá)法例有l(wèi)img(x)lim(2xlnx1)1lim2xlnx1lim2lnx20，x1x11x2x11x2x12x即當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，即當(dāng)x0，且x1時(shí)，g(x)0.因?yàn)閗g(x)恒建立，所以k0.綜上所述，當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnxk建立，k的取值范圍為(0，.x1x2xlnx注：此題由已知很簡(jiǎn)單想到用分別變量的方法把參數(shù)k分別出來(lái).而后對(duì)分別出來(lái)的函數(shù)g(x)1求1x2導(dǎo)，研究其單一性、極值.此時(shí)碰到了“當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g(x)值沒(méi)存心義”這一問(wèn)題，好多考生會(huì)

7、墮入窘境.假如考前對(duì)優(yōu)異的學(xué)生講洛必達(dá)法例的應(yīng)用，再經(jīng)過(guò)加強(qiáng)訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.例（2010新）：設(shè)函數(shù)f(x)ex1xax2.（）若a0，求f(x)的單一區(qū)間；（）當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.應(yīng)用洛必達(dá)法例和導(dǎo)數(shù)（）當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，即ex1xax2.當(dāng)x0時(shí)，aR；當(dāng)x0時(shí)，ex1xax2等價(jià)于aex1x.x2記g(x)ex1xx(0，+)，則g(x)(x2)exx2.x2x3記h(x)(x2)exx2x(0，+)，則h(x)(x1)ex1，當(dāng)x(0，+)時(shí)，h(x)xex0，所以h(x)(x1)ex1在(0，+)上單一遞加，且h(x)h(0)0，所以h(

8、x)(x2)exx2在(0，+)上單一遞增，且h(x)h(0)0，所以當(dāng)x(0，+)時(shí)，g(x)h(x)0，進(jìn)而g(x)ex1x)上單一遞加.x3x2在(0，+由洛必達(dá)法例有，limg(x)limex1xlimex1limex1x0 x0 x2x02xx022即當(dāng)x0時(shí)，g(x)1，所以當(dāng)x(0，+)時(shí)，所以g(x)112，所以a.22綜上所述，當(dāng)a1且x0時(shí)，f(x)0建立.2自編：若不等式sinxxax3關(guān)于x(0,)恒建立，求a的取值范圍.2解：應(yīng)用洛必達(dá)法例和導(dǎo)數(shù)當(dāng)x(0,)時(shí)，原不等式等價(jià)于xsinx.記f(x)xsinx，則f(x)3sinxxcosx2x.ax3x3x42記g(x

9、)3sinxxcosx2x，則g(x)2cosxxsinx2.因?yàn)間(x)xcosxsinxcosx(xtanx)，g(x)xsinx0，所以g(x)在(0,)上單一遞減，且g(x)0，2所以g(x)在(0,)上單一遞減，且g(x)0.所以g(x)在(0,)上單一遞減，22且g(x)g(x)0，所以f(x)xsinx在(0,)上單一遞減.0，故f(x)x4x32由洛必達(dá)法例有l(wèi)imf(x)limxsinxlim1cosxlimsinxlimcosx1，x0 x0 x3x03x2x06xx066即當(dāng)x0時(shí)，g(x)1，即有f(x)1.故a1時(shí)，不等式sinxxax3關(guān)于x(0,)恒建立.6662

10、經(jīng)過(guò)以上例題的剖析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法例解決的試題應(yīng)知足：（1）能夠分別變量；用導(dǎo)數(shù)能夠確立分別變量后一端新函數(shù)的單一性；出現(xiàn)“0”型式子.02010海南寧夏文（21）已知函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.（）若f(x)在x1時(shí)有極值，求函數(shù)f(x)的分析式；（）當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.解：（）應(yīng)用洛必達(dá)法例和導(dǎo)數(shù)x0時(shí)，f(x)0，即x(ex1)ax2.當(dāng)x0時(shí)，aR；當(dāng)x0時(shí)，x(ex1)ax2等價(jià)于ex1ax，也即aex1.記g(x)exx1，x(0,)，則g(x)(x1)ex1.xx記h(x)(x1)ex1，x(0,)，則h(x)xex0，所以h(x)(x1)ex1在

11、(0,)上單一遞加，且h(x)h(0)0，所以g(x)h(x)0，進(jìn)而g(x)ex1(0,)上單一遞加.xx在由洛必達(dá)法例有l(wèi)img(x)limex1limex1，即當(dāng)x0時(shí)，g(x)1所以g(x)1，即有a1.x0 x0 xx01綜上所述，當(dāng)a1，x0時(shí)，f(x)0建立.2010全國(guó)綱領(lǐng)理（22）設(shè)函數(shù)f(x)1ex.（）證明：當(dāng)x1時(shí)，()x；（）設(shè)當(dāng)x0時(shí)，()x，求a的取值范圍.fxfxx1ax1解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法例和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)x0，此時(shí)f(x)0.當(dāng)a0時(shí)，若x1x0，f(x)x不建立；，則ax1axxax1當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)，即1ex；若x0，則aR；ax1ax1

12、若x0，則1exx等價(jià)于1ex1，即axexex1.ax1xax1xexx記g(x)xexex1，則g(x)e2xx2ex2ex1=ex(exx22ex).xexx(xexx)2(xexx)2記h(x)exx22ex，則h(x)ex2xex，h(x)ex+ex20.所以，h(x)ex2xex在(0，)上單一遞加，且h(0)0，所以h(x)0，即h(x)在(0，)上單一遞加，且h(0)0，所以h(x)0.所以g(x)=ex2h(x)0，所以g(x)在(0，)上單一遞加.xx)(xe由洛必達(dá)法例有l(wèi)img(x)limxexexx1limxex1limexxex1，即當(dāng)x0時(shí)，x0 x0 xexx0

13、exxexx02exxex2g(x)1，即有g(shù)(x)1，所以a1.綜上所述，a的取值范圍是(,1.22sinx22（2008）例：設(shè)函數(shù)f(x)2cosx（）求f(x)的單一區(qū)間；（）假如對(duì)任何x0，都有f(x)ax，求a的取值范圍解：（）f(x)(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1(2cosx)2(2cosx)2當(dāng)2k2x2k2Z）時(shí)，cosx10；33（k，即f(x)2當(dāng)2k2x2k4Z）時(shí)，cosx10所以f(x)在每一個(gè)區(qū)間33（k，即f(x)22k22（kZ）是增函數(shù)，f(x)在每一個(gè)區(qū)間2k24（kZ）是減函數(shù)，3333f(x)sinxsinxax2ax若x0，則aR；若x0，則2（）應(yīng)用洛必達(dá)法例和導(dǎo)數(shù)cosxcosx等價(jià)于asinxg(x)sinx2xcosx2sinxsinxcosxxcosx)，即g(x)x2(2cosx)2x(2x(2cosx)則.記h(x)2xcosx2sinxsinxcosxx，h(x)