數(shù)列求和之裂項相消案例

1、數(shù)列求和之裂項相消河北平山古月中學劉曉靜一、案例設(shè)計背景2020年，公立閏年，共366天。這樣的一年，我們的學生已經(jīng)在家中度過 了這366天中的150天，并通過網(wǎng)課來學習。立足當下，每一節(jié)課都需要去用比 平時更多的時間與經(jīng)歷與準備。數(shù)列知識是高考中的重要考察內(nèi)容，而利用裂項 相消法求數(shù)列的前n項和是高考數(shù)列大題中的高頻考點，其中蘊含的分解與組合 思想非常重要。本學校的學生對于數(shù)學有畏難心理，害怕數(shù)學、抵觸數(shù)學。因此，如何讓 學生愿意去學數(shù)學甚至愛上數(shù)學是我一直在思考的。我在設(shè)計案例時，一是盡可 能去增加學習的趣味性，使其“引人入勝”，而是在教學難度上的層層遞進，使 其“漸入佳境”。在本節(jié)課中，

2、結(jié)合學生大部分是美術(shù)生這一實際，我設(shè)計了“劉 老師方塊消消消”這一游戲，相同顏色的方塊即可消除。而一開始出現(xiàn)的三種顏 色完全不同的方塊，使同學們覺得無從下手，就像平時同學們面對數(shù)學課的感受。 而提醒學生去想到顏料中三原色這一知識，同學們大多覺得非常驚奇，而這三種 不同顏色的方塊也立馬消除干凈。既使學生感到興趣盎然，也通過這一游戲中將 一種顏色分解成其他兩種顏色，從而消除這一過程體會到“分解與組合”思想。 開個好頭，再由易到難、由簡入繁層層引入，我相信學生也能獲得較好的學習體 驗。特別地，在網(wǎng)課期間，我采用多種軟件并用，手機電腦齊上陣，來加強師 生互動，并及時得到學生的反饋。通過電腦直播，但會通

3、過手機來時時關(guān)注學生 對問題情況，包括看學生打出來的答案以及在微信群里聽學生回答的語音，同時 還可以播放不同同學的語音來使同學之前起到交流。這樣做也是為了保證課堂的 流程，減少釘釘直接連麥造成的網(wǎng)卡等問題。二、案例實施（一）教學目標知識與技能目標：使學生能夠掌握裂項相消這一方法并理解其實質(zhì)。過程與方法目標：通過趣引一問題探究一歸納一問題探究一歸納這一過程， 使學生一步步展開思路，主動地去探究得到結(jié)論。情感態(tài)度與價值觀目標：通過游戲引入，增強學生的學習興趣，激發(fā)學生 的求知欲，使學生感受到數(shù)學的奇妙。（二）教學重難點重點：裂項相消法的常見題型和解題思路難點：相消后所剩項的判斷（三）教學過程1、愛

4、上數(shù)學 游戲引入教師：相信大家都玩過“賓果消消消”游戲，那現(xiàn)在大家來玩一下劉老師方 塊消消消游戲，你能不能闖過這一關(guān)呢？（學生疑惑，沒有思路）教師：咱們很多學生都是美術(shù)生，你們以后還要學習水粉這些，有哪位同學 知道顏料的三原色是什么？（學生在聊天面板打出墉案色紅黃藍）教師：（出示三原色）那么也就是說黃色跟紅色可以組合出橙色，紅色跟藍 色可以組合出紫色，黃的跟藍色可以組合成綠色。那么我們是不是可以把橙色的 長方體方塊看成兩個小方塊組成的呢？如圖（學生搶答：這樣方塊全都消掉了）這一設(shè)計主要為了吸引學生注意力，激發(fā)學生的學習興趣，同時色彩的分解 與組合相消也與數(shù)列的裂項相消有異曲同工之妙。2、愛上數(shù)

5、學一一揭示課題教師：那么同學們，你們能不能像剛才消除方塊一樣去解一下這道題呢？一. 1,. 、，.求數(shù)列的刖乃項和n（ n +1）11111+ + 1X 2 2 X 3 3 X 4 4 x 5n x (n +1)（學生嘗試，教師提示學生將每一項“分開”，從而相消）對這一道題進行講解，進而得出本節(jié)課所學一一裂項相消法。同時根據(jù)剛才 的彩色方塊游戲及這一道題使學生理解什么是裂項相消法。裂項相消法，是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去 一些項，最終達到求和的目的。3、愛上數(shù)學一一課堂探究探究一：如何“裂項”問題：你能證明1= H嗎？n( n +1)（學生踴躍回答可以通分來證明）接著

6、提出問題，讓學生繼續(xù)深入研究 1類似的：請?zhí)羁?n 偵 + 2 ）1_n （n + 3 ）（給出時間讓學生計算，學生計算完成后統(tǒng)一給出答案）1_ j_（ 1 _1）n （n + 2）2 n n + 211,11=(n (n + 3)3 n n + 3教師：同學們觀察這兩個式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？（讓學生在微信群里語音回答，教師選取學生發(fā)言收聽，最后統(tǒng)一歸納得出 結(jié)論）1111歸納：一（ = （）nln + k k n n + k教師繼續(xù)提出問題，趁熱打鐵，讓學生繼續(xù)探究類似的：繼續(xù)填空1(2n - 1)(2n + 2)1（3n - 2）（3n + 1）（有了之前的學習，學生快速完成計算后，教師直接

7、給出答案學生訂正是否正確）類似的：繼續(xù)填空L(2n 1)(2n + 2)3 2 n 1(3 n 2)(3 n + 1)1(_ )3 3n 2 3n + 1教師：同學們觀察這兩個式子，假設(shè)有一個分式也可以這樣去分解，這個分 式有什么特點？學生1：分子是1，分母是兩個分式相乘的形式（教師給出肯定并繼續(xù)引導）教師：分母中相乘的這兩個分式有什么特點？學生2：相減是一個常數(shù)（教師贊揚學生并繼續(xù)引導）教師：那么看到相減得到常數(shù)，同學們能想到什么？（學生很快都回答出等差數(shù)列）教師將學生發(fā)現(xiàn)的這些特征匯總一下，歸納得到結(jié)論歸納：若氣是等差數(shù)列，公差為d,氣黃0,d黃0nn+1通過以上的過程引導學生一步步計算、

8、觀察、討論得出結(jié)論，加深學生的學 習影響，學生獲得良好的學習效果。探究二：如何“相消在學生學完如何將數(shù)列的通項公式裂項后，下一步則是與學生一起學習如何 在計算前n項和時“相消”從而得出答案，而相消后所剩項的判斷各式學生學習 難點，本階段一是要讓學生參與一起探究，二是對于最后判斷所剩項時，要足夠 清楚明白。 TOC o 1-5 h z 問題：求數(shù)列一1一的前n項和S n (n + 2)n教師提出問題并讓學生自己完成通項公式的“裂項”，并讓學生嘗試“相消”。分析：a = -(1 -上) n 2 n n + 2 Li 1、 1,1 1、 1,1 1、 1,1 1、1,11 、S (1 ) + ( )

9、 + ( ) + ( ) +. + ()n 232242352462 n n + 21111111111=(1 一 + 一 一 + 一 一 + 一 一 +. +一 一 +232/ 43546 n - 2 n可以看到學生對于相消后所剩項一頭霧水，在直播界面的ppt中給出前n項 和的展開式，并據(jù)此提出問題教師：我們可以看到，括號內(nèi)的數(shù)都是一正一負的，那么大家觀察，正數(shù)是 如何相消的？引導學生得出，正數(shù)是從1開始，會與它前面相隔兩個數(shù)的負數(shù)相消。換句3話說，負數(shù)會與它后面相隔兩個數(shù)的正數(shù)相消。本題中，正數(shù)1跟1沒有辦法消2去，負數(shù)-上與-上沒有辦法消去，則括號內(nèi)剩下4項。n +1n + 2接著讓同學

10、們對比一觀察一并猜想相消后所剩項數(shù)與什么有關(guān)？1a n n (n + 1)1a n n (n + 2)歸納得出結(jié)論：分母是等差數(shù)列相鄰兩項求和后結(jié)果保留兩項，若分母相隔 2項，求和后保留4項，相隔3項，保留6項。4、愛上數(shù)學變式訓練這個環(huán)節(jié)給出幾道不同的練習題，讓同學們進一步掌握。（基礎(chǔ)題，本題主要考察學生對本節(jié)課所學的掌握情況）（本題主要練習通項中分子不為1的類型）已知a 二 一，求S（本題主要考察學生能不能靈活做題n聯(lián)想到平方差公式進而“裂項”） 求數(shù)列Gn L n +1）:的前n項和Sn（本題主要考察相消后所剩項的判斷） 5、愛上數(shù)學一一歸納小結(jié)教師：那么到現(xiàn)在我們這節(jié)課的內(nèi)容就學完了，

11、大家在回憶一下，我們這節(jié) 課學了什么？學生1：我們學了裂項相消法，裂項相消法是將數(shù)列的通項分解開，然后再 組合消去。學生2：我們知道了1_ 1（1 _ 1）n （n + k 已矢k a1 = n + k（同學們積極思考，讓同學們通過手機在軟件上語音回答，加強師生互動，并 選取幾名學生的語音進行播放）最后，教師將本節(jié)課的知識歸納梳理一下，使學生對本節(jié)課所學思路清晰。三、案例反思高中數(shù)學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數(shù)學的方法，這要 求我們轉(zhuǎn)變教學觀念，豐富教學形式，改進學生的學習方式，加大課堂教學的研 究性、開放性和自主性，在開展探究列動中培養(yǎng)學生的基本項S將變式訓練與 引導學生感悟反思放到同樣的高度，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學能力.n那么如何在現(xiàn)如今這樣的云課堂去實現(xiàn)這一目標呢？ 一是讓學生感興趣， 學生愿意學才會自主學習，學生在家面臨的誘惑很大