均值比較(第五講)

1、數(shù)理統(tǒng)計基礎選修課2012.4.131第五講均值比較1. 假設檢驗的基本思想2. 假設檢驗的常用方法3. 正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗置信區(qū)間法、臨界值法、值法小概率事件、假設檢驗的一般步驟、兩類錯誤2 在實際問題中 ，經(jīng)常會遇到根據(jù)樣本所提供的信息，判斷總體是否具有某種指定的特征。 如 判斷總體分布是否服從某一類型的分布？這些都是假設檢驗(hypothesis testing)問題。 一、問題的提出第一節(jié) 假設檢驗的基本思想 總體的某個參數(shù)與某定值是否有實質(zhì)性差異？同類型的兩個總體的某個參數(shù)是否相同？3 根據(jù)某種實際需要,預先對未知總體作出一些假設,然后再根據(jù)實測樣本的信息去檢驗假設的合理性,以最

2、后決定對該假設的取舍. 處理假設的統(tǒng)計方法稱為統(tǒng)計假設檢驗,簡稱假設檢驗,也稱顯著性檢驗(significance test)。這些關于總體的種種假設稱為統(tǒng)計假設。4 已知總體分布類型，對其未知參數(shù)的假設作假設檢驗未知總體分布類型，對其總體假設作假設檢驗假設檢驗參數(shù)檢驗(parametric test) 非參數(shù)檢驗(nonparametric test)5解 :記藥片中的有效成分含量為X, 根據(jù)題設問題歸結為檢驗總體均值與0.5是否有差異,根據(jù)第四章抽樣分布可知(假設=0.5)統(tǒng)計量雙側檢驗假定藥片有效成分含量服從標準差為0.01mg的正態(tài)分布。問這個廠家的產(chǎn)品是否符合要求？(=0.05) 例

3、1 藥物有效成分含量檢驗 規(guī)定：0.5mg/片 方法：隨機抽樣，n=12，平均有效成分含量為0.4938mg /片。 6是一個小概率事件.即在=0.5成立下,統(tǒng)計量的100個取值中其絕對值超過1.96的約為5個.這與是相違背的。即在一次抽樣中小概率事件就發(fā)生了, 因為=0.05，即我們有理由認為假設“=0.5”有誤,應予以拒絕。7 二、小概率原理 拒絕或接受統(tǒng)計檢驗假設 ，是以小概率原理為準則的 。 如 = 0.001 , 若重復進行10000次試驗， 如果已知在一項試驗中 ，事件 A 發(fā)生的概率P(A) =很小 ， A可認為是實際不可能事件 ，其對立事件 A 便是實際必然事件。那么A發(fā)生10

4、次左右，如只進行1次試驗，則 A幾乎是不會發(fā)生的。平均說來每1000次試驗中A只發(fā)生1次。8 小概率事件 ，在一次試驗中幾乎是不會發(fā)生的。如果我們作了一個假設，在所作假設的條件下正確地計算出某事件A發(fā) 生的概率很小，可是在一次試驗中，A竟然發(fā)生了 ，這就是小概率事件實際不可能原理，簡稱 小概率原理。 則可認為所作的假設不正確，從而拒絕所作的假設。91、統(tǒng)計假設 一般說來，我們應當同時存在兩個假設，拒絕其中的一個假設就意味著接受另一個假設零假設備擇假設將其中的一個假設稱作零假設或原假設，而另一個則成為備擇假設 三、假設檢驗三要素究竟將成對假設中哪一個作為零假設，哪一個作為備擇假設呢？10檢驗統(tǒng)計

5、量的構造標準 1）檢驗統(tǒng)計量必須含有零假設的信息 例如：要檢驗某正態(tài)總體均值是否為零檢驗統(tǒng)計量：2、檢驗統(tǒng)計量零假設信息112）當零假設成立時能確定統(tǒng)計量的分布或漸近分布 例如：要檢驗某正態(tài)總體均值是否為零檢驗統(tǒng)計量：已知分布123）能通過檢驗統(tǒng)計量確定拒絕域的形式例如：要檢驗某正態(tài)總體均值是否為零檢驗統(tǒng)計量：由于是總體均值一致最小方差無偏估計，如果備擇假設為真，說明總體均值不為零則：要么偏大（正），要么偏?。ㄘ摚?3如果將統(tǒng)計量記為將統(tǒng)計量的觀測值記作T0 如果T0大于某適當?shù)恼?shù)；或小于某適當?shù)呢摮?shù)，我們應當認為零假設不成立，從而拒絕零假設H1為真，T0應當與零有較大偏離H0為真，T0

6、應當接近于零因此,如果給定樣本的一組值 ，可以計算出T0 .14例如要檢驗某正態(tài)總體均值是否為零,根據(jù)剛才的分析知：也就是說：如果或者則拒絕H0如何確定C1和C2?拒絕域接受域153、檢驗法則由于受隨機因素的影響，任何檢驗都會出現(xiàn)誤判如果本來備擇假設為真，檢驗卻作出接受零假設的結論，我們稱該檢驗犯了型（納偽）錯誤定義(型錯誤,型錯誤)如果本來零假設為真，檢驗卻作出拒絕零假設的結論，我們稱該檢驗犯了型（拒真）錯誤；16即檢驗最基本的要求是犯型錯誤應當盡可能少（犯型錯誤的概率是小概率）事先給定一個充分小的正數(shù)設某檢驗問題的檢驗統(tǒng)計量為假定確定出的拒絕域為D，即拒絕零假設一般情況下，零假設是需要保護

7、的對象因此, 在零假設為真的情況下不能輕易拒絕零假設，17原則:控制犯型錯誤的概率例如要檢驗某正態(tài)總體均值是否為零或即顯著水平18則在顯著水平下，數(shù)據(jù)支持拒絕零假設的結論，認為總體均值與零有顯著差異；否則在顯著水平下，數(shù)據(jù)支持接受零假設的結論，認為總體均值與零無顯著差異給定樣本值，檢驗法則為：或如果等價于19 2. “納偽”錯誤，犯這類錯誤的概率記為 1. “棄真”錯誤，犯這類錯誤的概率就是顯著性水平 四、兩類錯誤的直觀表現(xiàn) 由于我們做決策依據(jù)的是一個樣本, 是以部分來推斷總體, 因此不可避免地會犯錯誤。20 由于犯第二類錯誤的概率計算較復雜 , 通常我們總是控制犯第一類錯誤的概率, 這種只控

8、制犯第一類錯誤的概率而不考慮犯第二類錯誤的檢驗稱為顯著性檢驗。 犯兩類錯誤的概率越小越好, 但樣本容量一定的前提下, 不可能同時降低 和 。21 注:犯第一類錯誤的概率越小 ，則犯第二類錯誤的概率越大，反之亦然。22 一、置信區(qū)間法 用置信區(qū)間進行假設檢驗 H0:= 0 的示意圖201（ ）201（ ）201（ ）拒絕H0拒絕H0接受H0第二節(jié)假設檢驗的常用方法23假定藥片有效成分含量服從標準差為0.01mg的正態(tài)分布。問這個廠家的產(chǎn)品是否符合要求？(=0.05) 例1 藥物有效成分含量檢驗 規(guī)定：0.5mg/片 方法：隨機抽樣，n=12，平均有效成分含量為0.4938mg /片。 解:計算得

9、的95%置信區(qū)間為(0.4881,0.4995)顯然該區(qū)間不包含0.5,故在= 0.05顯著水平下拒絕H0:=0.5。根據(jù)第五章第二節(jié),已知2, XN(,0.01 2).(0.4938)的95置信區(qū)間:24 二、臨界值法臨界值法就是用臨界值表示檢驗的拒絕域。例1解：原假設H0:=0.5，H1:0.5。在H0成立下，所以在顯著水平 = 0.05下拒絕H0 ，即該批藥片有效成分的平均含量與0 = 0. 5有顯著性差異,該廠產(chǎn)品不符合規(guī)定要求。顯然, 25 三、P 值法 P 值法就是計算統(tǒng)計量的樣本值所對應的小概率事件的概率值P . 只要 P0.05就拒絕原假設H0 (x)xoP0.05就接受原假設

10、H0P26例1（ P 值法）解：原假設H0:=0.5，H1:0.5。 在H0成立下，在顯著水平= 0.05下拒絕H0.0 = 0. 5有顯著性差異, 該廠產(chǎn)品不符合規(guī)定要求。即該批藥片有效成分的平均含量與0 = 0. 527P 值的計算：EXCEL中，o (x)x雙側28在Excel中,有兩個命令: NORMDIST, NORMSDIST可以求出正態(tài)分布（或標準正態(tài)分布）下的值29normdistnormsdist雙側230例2 某藥廠正常情況下生產(chǎn)的某藥膏含甘草酸量為4.45, 且服從正態(tài)分布, 抽查了5支藥膏,其含甘草酸量分別為: 4.40,4.25,4.21,4.33,4.46 問此次抽

11、查的含量和正常情況下是否有顯著性變化?單個正態(tài)總體均值與已知值間的比較第三節(jié) 正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗31例3：分別測得14例老年性慢性支氣管炎病人及11例健康人的尿中17酮類固醇排除量（mg/dl)如下，試比較兩組的均數(shù)有無差異。已知該量服從正態(tài)分布。病人 2.9 5.51 5.48 4.6 4.03 5.1 4.97 4.24 4.36 2.72 2.37 2.09 7.1 5.92健康人 5.18 8.79 3.14 6.46 3.72 6.64 5.6 4.57 7.71 4.99 4.01兩獨立正態(tài)總體間的均值比較32例4 傳聞：體育療法可以治療高血壓 驗證方法: 從高血壓患者中選出1

12、0名，并測定他們的舒張壓（據(jù)經(jīng)驗服從正態(tài)分布），然后對他們實施體育療法。經(jīng)過一個療程后再測定他們的舒張壓。記錄這些數(shù)據(jù)如下。假定這10人在此期間沒有其他的病況或者說其他條件不變。治療前： 113 114 140 115 126 116 109 125 113 137治療后： 105 95 100 90 106 113 93 91 103 120兩樣本不獨立數(shù)據(jù)具有配對的相依關系1）考察對象？2）研究總體？3）兩總體是否相互獨立？33一、單個正態(tài)總體的均值與已知值間的比較二、兩獨立正態(tài)總體的均值比較三、兩配對正態(tài)總體的均值比較34一、單個正態(tài)總體的均值與已知值間的比較在假設 H0: =0 成立的

13、前提下 設x1,x2,xn 為來自于正態(tài)總體 N( , 2) 的樣本值,且 2未知,試問總體均數(shù)是否與已知定值0 有顯著性差異？方差未知條件下的 t 檢驗35假設 H0: =4.45, H1: 4.45例2 某藥廠正常情況下生產(chǎn)的某藥膏含甘草酸量為4.45, 且服從正態(tài)分布, 抽查了5支藥膏,其含甘草酸量分別為: 4.40,4.25,4.21,4.33,4.46 問此次抽查的含量和正常情況下是否有顯著性變化?361. SPSS輸入格式 5行1列 2. SPSS程序選項:373. 結果:4. 結論:P=0.060.05, 接受原假設, 認為此次抽樣的含量和正常情況下沒有顯著性差異.38例：分別測

14、得14例老年性慢性支氣管炎病人及11例健康人的尿中17酮類固醇排除量（mg/dl)如下，試比較兩組的均數(shù)有無差異。病人 2.9 5.51 5.48 4.6 4.03 5.1 4.97 4.24 4.36 2.72 2.37 2.09 7.1 5.92健康人 5.18 8.79 3.14 6.46 3.72 6.64 5.6 4.57 7.71 4.99 4.01兩獨立總體間的均值比較（方差未知） 二、兩個正態(tài)總體間的比較39例 甲乙兩廠生產(chǎn)同一藥物，現(xiàn)分別從其產(chǎn)品中抽取若干樣品測定其含量，結果如下： 甲廠(X) 0.51 0.49 0.52 0.55 0.48 0.47乙廠(Y) 0.56 0

15、.58 0.52 0.59 0.49 0.57 0.54 若已知兩廠產(chǎn)品的藥物含量均服從正態(tài)分布，試判斷：兩廠藥物含量的總體均數(shù)是否相同？ 兩正態(tài)總體均值間的比較H0: 1 =2 , H1: 1 2 40假定涉及兩個隨機變量為未知參數(shù)檢驗統(tǒng)計量 （雙樣本抽樣分布定理）411. SPSS輸入格式 13行2列 Group是組別，甲廠生產(chǎn)的藥物含量為第一組，乙廠生產(chǎn)的藥物含量為第二組。42Analysis Compare means Independent-Samples T-test2. SPSS程序選項: 43選擇檢驗變量及分組變量 ：44主要結果：1）P0.5770.05,方差齊性；2）P0.

16、0270.05， 數(shù)據(jù)支持接受原假設, 認為克矽平對血紅蛋白量沒有作用。3. 主要結果56該例題亦可采用單樣本T檢驗:57選擇檢驗變量: 改變量檢驗值:058結果與前述方法相同, 接受原假設主要結果：59兩獨立樣本檢驗與配對樣本T檢驗的區(qū)別:1) 兩樣本之間的關系: 前者的兩個樣本相互獨立, 而后者的兩個樣本必須是配對關系，具有有序性；2) 統(tǒng)計量不一樣；3) 前者的兩個總體的方差可以相等，也可以不等； 后者的兩個總體在相關系數(shù)為1時，方差應該不等。思考題：配對檢驗的數(shù)據(jù)能否用 獨立雙樣本 t 檢驗完成？60練 習2. 正常人的脈搏平均72次/分, 現(xiàn)某醫(yī)生測得10例慢性四乙基鉛中毒患者的脈搏

17、如下（已知脈搏服從正態(tài)分布）54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69試問四乙基鉛中毒患者和正常人的脈搏有無顯著性差異?1. 某醫(yī)院用新藥和常規(guī)藥物治療嬰幼兒貧血, 將16名貧血兒童隨機分成兩組, 分別接受兩種藥物治療, 測得血紅蛋白增加量(g/L)見下表，問新藥和常規(guī)藥的療效有無差異？新藥組：24 36 25 14 26 34 23 30常規(guī)組：14 18 20 15 22 24 21 25（已知血紅蛋白增加量服從正態(tài)分布）613. 從兩臺自動機床加工產(chǎn)品中分別抽取容量為10和8的兩組產(chǎn)品，測得某個 指標的尺寸，得到數(shù)據(jù)如下表所示：甲：1.08 1.1 1.12 1.