微積分基礎(chǔ)知識演示文稿

1、微積分基礎(chǔ)知識演示文稿第一頁，共四十三頁。微積分基礎(chǔ)知識第二頁，共四十三頁。1. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學: 一元微積分(上冊)(下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)5. 常微分方程二、主要內(nèi)容多元微積分第三頁，共四十三頁。三、如何學習高等數(shù)學 ?1. 認識高等數(shù)學的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣.會運用數(shù)學能力。2. 學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習 , 天才在于積累 .學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚 , 由厚到薄 .馬克思 一門科學, 只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步 .華羅庚第四頁，共四十三頁。3、極限的思維方法1） 計算

2、圓的周長圓內(nèi)接正n 邊形Or)第五頁，共四十三頁。第六頁，共四十三頁。abxyo3)計算曲邊梯形面積曲邊梯形面積為第七頁，共四十三頁。4)無窮級數(shù)第八頁，共四十三頁。具備的數(shù)學素質(zhì)： 從實際問題抽象出數(shù)學模型的能力 計算與分析的能力 了解和使用現(xiàn)代數(shù)學語言和符號的能力 使用數(shù)學軟件學習和應(yīng)用數(shù)學的能力第九頁，共四十三頁。一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對象的全體.組成集合的事物稱為該集合的元素.P（x)表示元素具有性質(zhì) 第0章 基本知識第十頁，共四十三頁。2.鄰域:第十一頁，共四十三頁。二、函數(shù)第十二頁，共四十三頁。函數(shù)類別： 顯函數(shù) y=f(x) 隱函數(shù) F(x,y)=0 參量函數(shù)

3、初等代數(shù)函數(shù)(只含代數(shù)運算顯函數(shù)） 分段表達函數(shù) 單值函數(shù) 多值函數(shù)基本初等函數(shù)（冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)）.第十三頁，共四十三頁。 (1) 符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo第十四頁，共四十三頁。(2) 取整函數(shù) y=xx表示不超過 的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線第十五頁，共四十三頁。有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)第十六頁，共四十三頁。(4) 取最值函數(shù)yxoyxo 在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第十七頁，共四十三頁。復(fù)合函數(shù)定義: 設(shè)

4、函數(shù)y=f(u),uU，函數(shù)u=(x), x X, 其值域為(X)=uu= (x), xX U，則稱函數(shù)y=f(x)為x的復(fù)合函數(shù)。代入法第十八頁，共四十三頁。復(fù)合函數(shù) 則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , 復(fù)合映射的特例 u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合第十九頁，共四十三頁。注:復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.復(fù)合函數(shù)代入法第二十頁，共四十三頁。 初等函數(shù)定義: 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合運算所構(gòu)成并可用一個式子表示的顯函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例：不是初等函數(shù)為初等函數(shù)不是初等函

5、數(shù)為初等函數(shù)可表為故為初等函數(shù).第二十一頁，共四十三頁。雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).雙曲函數(shù)第二十二頁，共四十三頁。奇函數(shù),有界函數(shù),第二十三頁，共四十三頁。雙曲函數(shù)常用公式第二十四頁，共四十三頁。2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第二十五頁，共四十三頁。第二十六頁，共四十三頁。奇函數(shù),第二十七頁，共四十三頁。三. 函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1) 有界性使稱 A為上界，B為下界。 (2) 單調(diào)性為有界函數(shù).當時,稱 為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;稱 為 I 上的單調(diào)減函數(shù) .第二十八頁，共四十三頁。(3) 奇偶性且有若則稱 f (x) 為偶函數(shù);若則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明: 若在 x =

6、 0 有定義 ,為奇函數(shù)時,則當必有例如, 偶函數(shù)雙曲余弦 記第二十九頁，共四十三頁。例1 判斷函數(shù) 的奇偶性.解： f(x)是奇函數(shù).例2 設(shè)f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。證明：設(shè)顯然 g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而 故命題的證. 第三十頁，共四十三頁。(4) 周期性且則稱為周期函數(shù) ,若稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x 為有理數(shù)x 為無理數(shù)第三十一頁，共四十三頁。四. 反函數(shù)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)

7、(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 第三十二頁，共四十三頁。2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱 .例如 ,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱 .指數(shù)函數(shù)第三十三頁，共四十三頁。例1 證明若函數(shù) y = f (x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù) x = f 1(y), 則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：反函數(shù)是奇函數(shù)。例2解: 當x0時,y1,當x0時,y N2 時, 有收斂數(shù)列的極限唯一.使當 n N1 時, 假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當 n N 時, 故假設(shè)不真 !滿足的不等式第三十八頁，共四十三頁。兩邊夾準則證: 由條件 (2) ,當時,當時,令則當時, 有由條件 (1)即故 第三十九頁，共四十三頁。兩邊夾法則.若則：第四十頁，共四十三頁。例. 證明數(shù)列是發(fā)散的. 證: 用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取則存在 N ,但因交替取值 1 與1 , 內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為 1 的開區(qū)間 使當 n N 時 , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .第四十一頁，共四十三頁。例(P10) 證明 若X2k-1a,X2ka(k), 則數(shù)列Xn收斂于a。證：對任0,K1,當kK1 時X2k 落在a-,a