用微積分理論證明不等式的方法

1、 /13 /13用微積分理論證明不等式的方法高等數(shù)學(xué)中所涉及到的不等式，大致可分為兩種:函數(shù)不等式(含變量)和數(shù)值不等式(不含變量)對(duì)于前者，一般可直接或稍加變形構(gòu)造一函數(shù)，從而可通過(guò)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而證明不等式；對(duì)于后者，我們也可根據(jù)數(shù)值不等式的特點(diǎn)，巧妙的構(gòu)造輔助函數(shù)，從而將數(shù)值不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，研究方法正好與前者相似微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，以它為工具能較好的研究函數(shù)的形態(tài)，有些常規(guī)方法難于證明的不等式，若能根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙的構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，利用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式一、用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式法1證明方法根

2、據(jù)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)。兀。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限limf(x)-f(x0)=limy存在，則稱函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)，稱這極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 x-xAxx00Ax0的導(dǎo)數(shù)，記作y二f(x).02證明方法：(1)找出x，使得y二f(x)恰為結(jié)論中不等式的一邊；(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已00知條件去研究3例例1:設(shè)函數(shù)f(x)=asinx+asin2xHFasinnx，其中a,a，a都為實(shí)數(shù)，TOC o 1-5 h z12n12nn為正整數(shù)，已知對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,有|f(x)|sinx|，試證：+2a?+十na1.證明：因f(x)=acosx+2acos2x+

3、Fnacosnx.貝0 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 12nf(0)二a+2aHFna. HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 12nxt0 x由于If(x)|sinx|得：|f(0)|=1limf(x)-f(0)I二x-0所以If(0)|limx0sinxxx0=1.即|a+2aHFna|0(f(x)0(或f(x)0(或f(x)v1+x2(x0).證明：令f(x)二1+xln(x+J+x2)-v1+x2,xe0,+s)，易知f(x)在0,+s)上連續(xù)，且有f(x)二ln(x+1+x2)0,xe(0

4、,+s)，由定理二可知f(x)在0,+s)上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以由單調(diào)性定義可知f(x)f(0)=0,(x0)，即1+xln(x+1+x2)-、1+x20.因此1+xln(x+0).例3：求證：a+b|1+a+b|x證明：設(shè)輔助函數(shù)f(x)=仁,(x0)易知f(x)在0,切上連續(xù)，且有1(1+x)20,(x0)則由定理二可知f(x)在0,+Q上嚴(yán)格單調(diào)增加.由0a+bja+b，有fw+b）f（問+ib）,得到a+|b|i+a+|b|b|!+!-!0，當(dāng)x&(x0 x0+5)時(shí)，f(x)0,則f(x)在x0取得極大值；若當(dāng)xG(x0一5，x0)時(shí)，f(x)0,則f(x)在x0取得極小值.定理五(極

5、值的第二充分條件)設(shè)f(x)在的某領(lǐng)域o(x,5)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x二x00處二階可導(dǎo)，且廣(x丿=0，廣(x丿豐0,(i)若f(x丿,則f(x)在x取得極小值.00極值和最值是兩個(gè)不同的概念.極值僅是在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個(gè)區(qū)間上考慮.若函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值.極值的充分條件定理反映了可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)或二階導(dǎo)數(shù)在可疑點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)極值的關(guān)系.證明方法(1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，并取定區(qū)間.如何構(gòu)造輔助函數(shù)？當(dāng)不等式兩邊均含有未知數(shù)時(shí)，可利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)；當(dāng)不等式兩邊含有相同的“形式”時(shí)，可利用此形式構(gòu)造輔助函數(shù)；當(dāng)不等式形如g(x)a

6、(或g(x)0時(shí)有x55x+4.證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)二x55x4,(x0)，則有廣(x)二5x45二5(x2+1)(x21)二5(x2+1)(x+1)(x1),令f(x)=0，解得x二1，其中只有x二1在區(qū)間(0,+8)內(nèi),由limf(x)=limx55x4=f，有f(x)在x二1點(diǎn)xtIxt1連續(xù).因當(dāng)0Vx1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0，則f(x)在(1,+s)上為增函數(shù)；由定理四可知，f(x)在x=1處取得極小值，即f(1)=0為區(qū)間(0,+)上的最小值，所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)f=0.故x55x40(x0),即x55x+4(x0).適用范圍利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函

7、數(shù)必須可導(dǎo)；對(duì)所構(gòu)造的輔助函數(shù)f(x)應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在閉區(qū)間的某端點(diǎn)處f(x)的值為0,然后通過(guò)在開區(qū)間內(nèi)f(x)的符號(hào)來(lái)判斷f(x)在閉區(qū)間上的單調(diào)性.三、函數(shù)的極值與最大、最小值證明不等式法證明方法根據(jù)極值的充分條件定理定理四(極值的第一充分條件)設(shè)f(x)在x0連續(xù)，在uo(x。,5)內(nèi)可導(dǎo)，(i)若當(dāng)xe(x05,x0)時(shí)，廣(x)0，當(dāng)x&(x0,x0+5)時(shí)，廣(x)0,則f(x)在xo取得極小值.定理五(極值的第二充分條件)設(shè)f(x)在的某領(lǐng)域u(x,5)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x二x00處二階可導(dǎo)，且f(xo)=0，廣(x0)豐0,(i)若廣(x0)0,則f(x)在

8、x0取得極小值.極值和最值是兩個(gè)不同的概念.極值僅是在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個(gè)區(qū)間上考慮.若函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值.極值的充分條件定理反映了可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)或二階導(dǎo)數(shù)在可疑點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)極值的關(guān)系.證明方法(1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，并取定區(qū)間.如何構(gòu)造輔助函數(shù)？當(dāng)不等式兩邊均含有未知數(shù)時(shí)，可利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)；當(dāng)不等式兩邊含有相同的“形式”時(shí)，可利用此形式構(gòu)造輔助函數(shù)；當(dāng)不等式形如g(x)a(或g(x)aa)(a為常數(shù))時(shí)，可設(shè)g(x)為輔助函數(shù).(2)求出f(x)在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值.極值與最大、最小值的求法極值求法：(1

9、)求出可疑點(diǎn)，即穩(wěn)定點(diǎn)與不可導(dǎo)的連續(xù)點(diǎn)；(2)按極值充分條件判定可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).最大、最小值的求法：(1)閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值的求法：先求出可疑點(diǎn)，再將可疑點(diǎn)處的函數(shù)值與端點(diǎn)a,b處的函數(shù)值比較，最大者為最大值，最小者為最小值.(2)開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最大值、最小值的求法：若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn)，則此極值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).例例5：證明：當(dāng)x0時(shí)有x55x+4.證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)二x5-5x-4,(x0)，則有f(x)二5x4-5二5(x2+1)(x2-1)二5(x2+1)(x+1)(x-1),令f(x)=0，解得x二1，其中

10、只有x二1在區(qū)間(0,+s)內(nèi),由limf(x)=limx5-5x4=f，有f(x)在x二1點(diǎn)xtIxt1連續(xù).因當(dāng)0 x1時(shí),f(x)1時(shí)，f(x)0,則f(x)在(1,+s)上為增函數(shù)；由定理四可知，f(x)在x=1處取得極小值，即f(1)=0為區(qū)間(0,+s)上的最小值，所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)f(1)=0.故x5-5x-40(x0),即x55x+4(x0).適用范圍(1)所設(shè)函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時(shí)；(2)只能證不嚴(yán)格的不等式而不能證出嚴(yán)格的不等式.四、用拉格朗日中值定理證明不等式法證明方法根據(jù)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)

11、f(x)滿足下列條件：(I)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)g，使得f(g)=.b-a拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系.證明方法輔助函數(shù)f(x)，并確定f(x)施用拉格朗日中值定理的區(qū)間a,b；對(duì)f(x)在a,b上施用拉格朗日中值定理；利用g與a,b的關(guān)系，對(duì)拉格朗日公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式.例例6：證明：當(dāng)x0,丁丄ln(1+x)0)上連續(xù)，在(1,1+x)上可導(dǎo),f(t)在1,1+x(x0)上滿足拉格朗日條件，于是存在ge(1,1+x)，使f(1+x)-f(1)(1+x)-1f(1+x)-f

12、(1)二ln(1+x)-ln1二ln(1+x),r丄ln(1+x)11+xx即ln(1+x)x,(x0)1+x適用范圍當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用拉格朗日中值定理來(lái)證明.五、用柯西中值定理證明不等式法證明方法根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理：若函數(shù)f(x)與g(x)都在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；f(x)與g(x)都在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(x)與g(x)在(a,b)內(nèi)不同時(shí)為0；g(a)豐g(b).則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)E，使得fG)=f(b)f(a)g(g)g(b)-g(a)柯西中值定理反映了兩個(gè)函數(shù)或兩個(gè)函數(shù)增量與它們一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.證明方法構(gòu)造兩

13、個(gè)輔助函數(shù)f(x)和g(x)，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間a,b；對(duì)f(x)與g(x)在a,b上施用柯西中值定理;利用g與a,b的關(guān)系，對(duì)柯西公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式.例例7：C兀設(shè)ae,0 xy證明ay一ax(cosx一cosy)axlna.證明：原不等式等價(jià)于ay一axcosy一cosx-axlna，可構(gòu)造函數(shù)f(t)二atg(t)=cost,因f(t),g(t)兀均在x,y上連續(xù)，在(x,y)上可導(dǎo)，且f(t)二atlna豐0，由于0 xye,ge(x,y),c兀亠”1iagIna、agIna0 xy,有ax1,lna1，得：axlna-2singsingsing因此ay一axi(cosx

14、一cosy)axlna.適用范圍當(dāng)不等式含有兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用柯西中值定理證明.六、上述二、三、四、五種方法小結(jié)前面二、三、四、五種方法中，均可利用差式構(gòu)造函數(shù)，但有時(shí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性證明不等式，有時(shí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值證明不等式，而有時(shí)應(yīng)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式.三者有何區(qū)別：(1)若所證不等式含有函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)，宜用中值定理；若所證不等式f(x)g(x),xe(a,b)，其兩端函數(shù)f(x),g(x)均可導(dǎo)，且F(a)=f(a)g(a)或F(b)=f(b)g(b)有一為0時(shí)，宜用函數(shù)的單調(diào)性.若所證不等式的兩端函數(shù)有

15、不可導(dǎo)時(shí)，不能用函數(shù)單調(diào)性證明，宜用中值定理若所證不等式f(x)g(x),xe(a,b)，兩端函數(shù)f(x),g(x)均可導(dǎo)，但F(x)=f(x)g(x)不是單調(diào)的函數(shù)時(shí)，宜用函數(shù)的極值來(lái)證明.七、用函數(shù)的凹凸性證明不等式證明方法根據(jù)凹凸函數(shù)定義及其定理和詹森不等式定義：設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)于I上任意兩點(diǎn)x,x和實(shí)數(shù)九e(0,1)，12總有f(心+(1XXf(x)+(1九)f(x)，則稱f(x)為I上的凹函數(shù).1212定理六：設(shè)f(x)為I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則f(x)為I上的凸函數(shù)(或凹函數(shù))的充要條件是在I上f(x)0(或nx)0(i二1,2n)且工九二1，則f(工九x)0,

16、y0時(shí)，xInx+yIny(x+y)ln-.厶證明(定義證明法)：設(shè)f(t)=tInt(t0).有f(t)=Int+l,f(t)=0(t0).則tf(t)在(0,+s)為凸函數(shù)對(duì)任意x0,y0(x豐y)，有f(x)+f(y)f(乂卩)(取X=-).(要使f(x)與g(x)的系數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)X=1九時(shí)成立，即X=-)因此xlnx+ylny(x+y)ln適用范圍當(dāng)不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或?qū)σ恍┖瘮?shù)值和且能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式.八、用泰勒公式證明不等式法證明方法根據(jù)泰勒定理泰勒定理：若函數(shù)f(x)滿足如下條件：在閉區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)存在直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù);在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在f(x

17、)的n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任何xg(a,b)，至少存在一點(diǎn)Eg(a,b)，使得：f(x)=f(a)+f(a)(xa)+f(a)(xa)2+(x-a)n+n!f(n+1)(a)(n+1)!(xa)n+1泰勒公式揭示了多項(xiàng)式與函數(shù)之間的關(guān)系.證明方法根據(jù)已知條件，圍繞證明目標(biāo)，選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在這些點(diǎn)展成泰勒展式;根據(jù)已知條件，向著有利于證明目標(biāo)不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚恚钡娇梢越Y(jié)合已知條件證出不等式為止.(注意具體的題目應(yīng)用此方法時(shí)要靈活運(yùn)用，有些題目在進(jìn)行前，要先對(duì)已知條件或證明目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以更有利于證明的進(jìn)行，使不會(huì)過(guò)于繁瑣.)例例9：設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，f(

18、0)=f(1)，且|/(x)|2，試證明：f(x)1.證明：取0 x1，有：f(0)=f(x)+f(x)(0-x)+1廣(勺)(0-x)2,0勺x,f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+1f農(nóng))(1-x)2,0g1.由于f(0)=f(1)則222f(x)=1f”(Gx2-f(g2)(1-x)2,|f(x)|1|f()|x2+|f農(nóng)2)|(1-x)2丄2x2+2(1-x)2=2x2+(1-x)2=1-2x(1-x)0)因此原不等式成立.適用范圍當(dāng)遇到含有函數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與高階導(dǎo)數(shù)，或要證的是導(dǎo)數(shù)(一階或二階)不等式時(shí)，可利用泰勒公式來(lái)證明有關(guān)的不等式.九、用冪級(jí)數(shù)展開式證明不等式法證

19、明方法根據(jù)一幾個(gè)重要的初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式幾個(gè)重要的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式如下：,xe(一8,+8)11ex=1+x+x2+一xn+2!n!+(1)n-1,xe(_g,+g)1sinx=x一x33!1x2n-1+(2n1)!cosx=1-1x22!11+x4+(-1)nx2n+4!(2n)!=1+x+x2+xn+,xe(0,1)1-xln(1+x)=x-11x2+x3+-23+(-1)n-1xn+-,xe(-1,1初等函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)，某些初等函數(shù)可展開成幕級(jí)數(shù)，在展開式中添加或刪去某些幕級(jí)數(shù)時(shí)，可很快證明出某些含幕級(jí)數(shù)的不等式.證明方法先把初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，然后在展開式中添加或刪

20、去某些冪級(jí)數(shù)即可快速證明此不等式.例1+x例10:當(dāng)xe(0,1)，證明e2x.1-x1證明：因，e2x分別可寫成幕級(jí)數(shù)展開式，有：1-x1-x=(1+x)(1+x+x2HFxnH)=1+2x+2x2fF2xnF,xe(0,1)TOC o 1-5 h z222nx2+一xn+,xe(一8,+8) HYPERLINK l bookmark166 o Current Document 2!n!2nxn2n則左邊的一般項(xiàng)為2xn，右邊的一般項(xiàng)為，因此當(dāng)n3,2，所以n!n!1+x1-xe2x,xe(0,1).適用范圍當(dāng)不等式中含有上面幾個(gè)重要初等函數(shù)之一時(shí)，可用幕級(jí)數(shù)展開式法來(lái)證明此不等式.十、用定積分理論來(lái)證明不等式法證明方法根據(jù)定積分的性質(zhì)和變上限輔助函數(shù)理論定積分性質(zhì)之一：設(shè)f(x)與g(x)為定義a,b在上的兩個(gè)可積函數(shù)，若f(x)g(x),xea,b則Jbf(x)dxJbg(x)dx.a微積分學(xué)基本定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則由變動(dòng)上限積分(x)=J