靜力平衡問題

1、靜力平衡問題1第1頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.1 平面力系的平衡問題思路：研究對象受力分析平衡方程求解一、 平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類： 對于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。 對于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60ABCDF2第2頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例3.1 求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受力圖。 注意BC為二力桿。驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 結(jié)果正確

2、。2）取坐標，列平衡方程。 Fx=FAx-FCcos30=0 ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m L=2m1.5mFq=2q=1 KNFCFAyFAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0 MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0 3）解方程得到; FC=4KN; FAy=1KN; FAx=2KN 矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。3第3頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例3.3 夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸， 求P力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程： Fy=FB-F=0

3、 FB=F 解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFA MA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0 FC=Fctga。 越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點O， 則由力矩方程直接可得: MO(F)=F ABcos-FC ABsin=0 FC=Fctg 4第4頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例3.4 梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊 重 P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。 列平衡方程：Fx=FAx=0 -(1) Fy=F

4、Ay+FBy-P-W=0 -(2)MA(F) =MA+12FBy-4W-8P=0 -(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA5第5頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四 2)小車為研究對象，列平衡方程： MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN3)取BC梁為研究對象，有： MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN 將FBy代入(2)、(3)式，求得： FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=2

5、05 kN.m有時需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF EFCyFByFCx=06第6頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A(chǔ)、B 及 D處的約束力。解：研究整體有： Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB=0 FAx=-FB=-F/2 研究CD桿，有：MC(F)=FDya=0 YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FACFx=FDx-FACcos45=0 FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請驗算：AB

6、桿 (帶銷A) 受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy7第7頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問題否？選取適當(dāng)?shù)淖鴺溯S和矩心，注意正負號。檢查結(jié)果，驗算補充選取適當(dāng)研究對象，畫受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零； 力偶對任一點之矩即為M。8第8頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四問題1： 不計桿重，求連桿機構(gòu) 在圖示平衡位置時F1、 F2之關(guān)系。問題2: 三鉸拱受力偶M作用， 不計拱的重量，求A、 B處的約

7、束力。bMABac4560ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端 的約束力。ABCFq2aaa459第9頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四問題1. 不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時 F1、 F2之關(guān)系。4560ABCDF1 F2FDFCME(F)=F2AE-F1sin60BE=0 注意： BE=AB；AE= AB 可解得： F2=.F12E 10第10頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四問題2: 三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量， 求A、B處的約束力。解: BC為二力桿; 外力只有力偶M, 以AC為軸寫投影方程可知， A處反力為FAy=0 ,

8、整體受力如圖所示。bMABacFB BFCFAxAMFAy=0FCFAFBA BbMcdaBAFF=BdFM=+-0有0(F)=AM又由可解得BF11第11頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四問題2再論: 不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBA BMdFAABFBA BFFBA BFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。12第12頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體： 2）研究BC，受力如圖。 求出FC即可。

9、MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，3個方程， 4個未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA13第13頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四討論：判斷下述分析的正誤。MA = M+Fa-2Pa 固定鉸的約束力作用于銷釘上。 多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx =F ; FAy =P ;MA = M ？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy14第14

10、頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F l MA ( F ) = 0 FB d - F 2l = 0FB=22F MB ( F ) = 0 FAy l +Fl = 0FAy=-FFx = 0FAx+FBcos = 0FAx=-2F15第15頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四第二種情形lllACBM=F lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F l考察BC桿的平衡: FCx= FBx

11、; FCy= FBy MB ( F ) = 0 : FCylBC+Fl = 02= - F 2 FCy= FBy再考察AB桿， 由 MA ( F ) = 0 可求得FBx16第16頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四由ABD桿的平衡有： MA ( F ) = 0 2 FBx= F 2 MB ( F ) = 0 FAy= 0 MC ( F ) = 0 :FAx= FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F l更簡單方法以整體為研究對象如何？FAxlllABDCM=F lFCxFAyFCy?BCM=F lFCxFBxllABDFBxFAx?17第17頁

12、，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四二、 靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題 - 未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù)ABCF30如例1 系統(tǒng)二根桿六個平衡方程； 約束三處鉸鏈六個反力，靜定。 若將BC視為二力桿， 則平衡方程減少二個， 但B、C處約束力未知量也減少了二個。18第18頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四本題作用于小車的是 平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng) 三個物體8個平衡方程；約束 固定端3；中間鉸2

13、；活動鉸、車輪接觸 處各1共8個反力， 是靜定問題。如例3系統(tǒng)三個物體9個方程， 反力只有8個。小車可能發(fā)生水平運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng) 約束力未知量數(shù)少于獨立的平衡方程數(shù)，有運動的可能。CABWP19第19頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四2）靜不定問題或超靜定問題 完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)獨立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3; m=4一次靜不定3n=3; m=6三次靜不定3n=3; m=4一次靜不定約束反力數(shù) m系統(tǒng)中物體數(shù) n 3n 靜不定問題靜不定的次數(shù)為： k=m-3n20第20頁，共65頁，2022年，5月20

14、日，2點36分，星期四MAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數(shù) m=8 物體數(shù) n=3 m3n 未完全約束 m=6 n=2 m=3n靜定結(jié)構(gòu) m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n靜定結(jié)構(gòu)60ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy21第21頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四第一次作業(yè)： 思考題：3-1， 習(xí)題：3-1，3-3，3-5，3-6。22第22頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.2 含摩擦的平衡問題摩擦給運動帶來阻力，消耗能量，降低效率； 利用摩擦可進行傳動、驅(qū)動、制動、自鎖。 摩擦是二物體接觸表面間有

15、相對運動（或運動趨勢）時的阻礙作用。接觸表面間只有相對滑動趨勢時的摩擦，是靜滑動摩擦。一、靜滑動摩擦AOmCP512DDdaABWPABFLFTAFLFTFNAFBFNAFFNBFF0FT靜止滑動FmaxFTC23第23頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四只要滑動未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。 摩擦力F也是被動力，它阻礙物體的運動，但不能完全約束物體的運動。 F作用在沿接觸面切向且指向與運動趨勢相反。APTNFVf是靜滑動摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動）摩擦力與法向反力的大小成正比，即 Fmax=f FNF0FT靜止滑動FmaxFTC

16、FT=0 , 靜止，無運動趨勢；F=00FTFTc , 運動狀態(tài)； 一般有 FTF1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy26第26頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例3.6 圖示懸臂可沿柱滑動, 摩擦系數(shù)為f。為保證 不卡住，試確定力F0的作用位置。解：1) F0向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài) x=xmax；有： Fx=FND-FNA=0； Fy=FA+FD-F0=0 MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0 及 FA=fFNA , FD= fFND 解得： FNA=FND=F0/2f, xmax=h/

17、2f.懸臂不卡住，應(yīng)有 xmaxh/2f而與F0無關(guān)。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA27第27頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例3.6 圖示懸臂可沿柱滑動, 摩擦系數(shù)為f。為保證不 卡住，試確定力P的作用位置。解：2) F0向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài) x=xmax；有： Fx=FNB-FNC=0； Fy=F0-FB-FC=0 MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0 及 FB=fFNB , FC= fFNC 同樣解得： FNB=FNC=F0/2f xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA懸臂不卡住，應(yīng)有 xmaxh/

18、2f，而與F0無關(guān)；與上下滑無關(guān)。28第28頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四含摩擦的平衡問題的分析方法：研究對象 受力分析 平衡方程求解先回憶靜力平衡問題的一般方法：（此時F=Fmax） 可滑動的臨界情況分析摩擦力沿滑動面切向，指向與運動趨勢相反。加摩擦方程 Fmax=fFN解有一個區(qū)間范圍WaFTBA29第29頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設(shè)主動力之合力FA的作用線與法向夾角為a，若ar若ar, 則無論FA多小，物體都不能保持平衡。30第30頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四 2.夾緊裝置如圖。夾

19、緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑 3. 破碎機軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計） 1. 木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為 ，試問a為多大時木楔打入后才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問題：31第31頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四1. 木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為 ，試問a為多大時 木楔打入后才不致退出？aa 不計重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對稱性)。臨界狀態(tài)有： a=r; 自鎖條件為： a rFR1F1maxF2maxr

20、FR2FN132第32頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四問題： 2. 夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在P力除去 后工件不松，求偏心距e.自鎖條件： a tga=e/(d/2) tg=f得: ef d/2aFROAFA 3. 破碎機軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計） 二力平衡必共線。臨界狀態(tài): tga=f(D+d)cosa/2=256 解得：d34mmfa1Cosa=(1+f ) 2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa33第33頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四討論二：皮帶傳動的摩擦力 皮

21、帶在輪O上，包角。緊邊FT2，松邊FT1，輪O逆時針轉(zhuǎn)動。研究皮帶微段。 法向壓力dFN，摩擦力dF，二端拉力為FT+dFT和FT。在臨界狀態(tài)下，dF=fdFN。FT1oMbFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮帶受力。 接觸面法向分布壓力FN、摩擦力F都是的函數(shù)。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程： Fx=FTcos(d/2)+fdFN -(FT+dFT)cos(d/2)=0 Fy=dFN-FTsin(d/2) -(FT+dFT)sin(d/2)=034第34頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四注意d是小量，有sin(d/2

22、)=d/2, cos(d/2)=1；略去二階小量 dFTd；得到： fdFN=dFT 和 dFN=FTd; 再消去dFN， 即得： dFT/FT=fd 積分,注意=0時，F(xiàn)T=FT1；=時，F(xiàn)T=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到： Fx=FTcos(d/2)+fdFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0 Fy=dFN-FTsin(d/2) -(FT+dFT)sin(d/2)=0可見：1)若f=0，即光滑接觸，有FT1=FT2，輪O不能傳遞扭矩。2)摩擦存在時，有扭矩M作用在輪上，且 M=FT2-FT1r=FT2r1-exp(-f ).3)摩擦系數(shù)f 越大，皮帶包角越大，輪徑r越

23、大， 可傳遞的扭矩M越大。35第35頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.3 平面桁架橋梁結(jié)構(gòu)節(jié)點： 桿件間的結(jié)合點。桁架： 桿組成的幾何形狀不變的框架。平面桁架: 桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。36第36頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四平面桁架的 基本假設(shè): 2) 載荷都在桁架平面內(nèi)，且作用于桁架的節(jié)點處， 或可作為集中載荷分配到節(jié)點處。故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點處受力 的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。1) 桿均為無重直桿， 節(jié)點均為鉸接點。3) 桁架只在節(jié)點處受到約束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB37第

24、37頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四無余桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個節(jié)點均為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個約束，m+3=2n，是靜定問題。 基本三角形有三根桿和三個節(jié)點，其余(n-3)個節(jié)點各對應(yīng)二根桿，故無余桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點數(shù)n應(yīng)當(dāng)滿足：m=3+2(n-3), 即 m=2n-3顯然，無余桿桁架是靜定桁架。有余桿桁架（m2n-3）則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件： 以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個節(jié)點就增加二根桿件。38第38頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四F討論下列桁架

25、及問題的靜定性桿數(shù)m=7 節(jié)點數(shù)n=5m=2n-3 靜定桁架約束力3 靜定問題 靜定桁架，反力4一次靜不定問題 桿數(shù)m=6 節(jié)點數(shù)n=4m-(2n-3)=1 靜不定桁架約束力3 一次靜不定 m-(2n-3)=2 靜不定桁架，約束力4 三次靜不定問題 F39第39頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.3.1 節(jié)點法用節(jié)點法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：1)研究整體，求約束反力。求反力FAx、FAy 由A節(jié)點平衡求F1、F2 由D節(jié)點求F3、F4 由 C節(jié)點求F5、F6 3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點開始， 逐一列平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負，則是壓力。2)選取節(jié)點，

26、畫受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF2F3F4CFCF1F3F6F540第40頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.3.2 截面法2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對象，畫受 力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。截面法求解桁架問題時，不需逐個節(jié)點分析， 其分析方法可歸納為：3)列平衡方程求解。因為作用在研究對象上的是平 面一般力系，可以求解三個未知量。1)研究整體，求約束反力。41第41頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例3.11 求圖示桁架中各桿內(nèi)力。解：1)由整體求得： FAx

27、=0; FAy=FE/3; FB=2FE/32)截取上部研究，受力如圖。 有 Fx=0 F2=0 MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0 F3=-2FE/3 Fy=-FE-F3-F1=0 F1=-FE/3綜合應(yīng)用截面法和截點法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789FEa/2a/2aaa333FBFAxFAyCD456FEF3F2F13)研究節(jié)點D，可求得 F4、F6；4)研究節(jié)點C，可求得 F5、F6； 5)研究節(jié)點B，可求得 F8、F9； 6)研究節(jié)點A，可求得 F7、F9；DF6F4F1CF6F5F3BF8F9F3FBF9F7F1FAxFAyA42第42頁，共65頁，202

28、2年，5月20日，2點36分，星期四討論1：求桁架指定截面內(nèi)力。FAB123aaaaa4FF1ABF2F3F41AB23aFaaaFFFF1F2F343第43頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四AKEBDCJF討論2：廣告牌由桿系支撐，風(fēng)載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？思考：零桿是否可以不要？KEDCJF FCB=0D FCD=0EKCJF44第44頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四第二次作業(yè)： 思考題：3-4 習(xí)題：3-13, 3-14, 3-16(b)，3-17(b)。 45第45頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.4 空間力系

29、的平衡問題 力F 為Fz、Fxy； Fxy Fx、Fy；顯然有： F=Fx+Fy+Fz；且各分力為：由定義知后者正是力在各軸上的投影。故正交坐標系中，投影和分力大小相等。二次投影法：先投影到坐標面，再投影到軸上。1. 力在空間坐標軸上的投影AAabxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空間中力的投影及力對軸之矩46第46頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四物體繞軸轉(zhuǎn)動效果的度量。以門繞Z軸的轉(zhuǎn)動為例來討論。 顯然有：Mz(F1)=0； Mz(F2)=02.力對軸之矩 將力F分解成Fz和Fxy，可見 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy) 力F對軸z之

30、矩Mz(F)等于力在垂直于z軸之平面內(nèi)的分量Fxy對軸z與該平面交點O之矩。 正負用右手螺旋法確定，（圖中為正）。力與軸相交或平行，對軸之矩為零故力F對軸z之矩可寫為：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh zF1FF2 yhOxFxyFz47第47頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四例: 試寫出圖中力F在軸上的投影及對力軸之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40 NFZ=(3/5)F=30 NMx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 N.m My(F)=-FZx=-6 N.m Mz(F)=Fyx=8 N.m利用合力矩定理，進一步有： Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(

31、Fy)+Mz(Fz)=Fxy+ FyxOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mAF=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ48第48頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四二、力偶矩的矢量表示故：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。 力偶矩矢是自由矢，可平行移動。 空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和進行。力偶矩矢 M：矢的長度-力偶矩的大??； 矢的指向-力偶作用平面的法向； 轉(zhuǎn)向由右手螺旋規(guī)則確定。1）力偶矩矢：空間力偶對剛體的作用效果取決于 力偶矩的大??； 力偶作用平面； 力偶的轉(zhuǎn)動方向。F xyzF M49第49頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，

32、星期四2）空間中力對點之矩與力對軸之矩間的關(guān)系如圖，力F對O點之矩矢MO垂直于OAB平面且大小為： MO=MO(F)=Fh=2OABAzBOMOFh另一方面：力F 對軸z之矩等于其在垂直于軸 z之的平面內(nèi)的分量F 對交點O之矩，即：故可知：力對某點之矩矢在過該點任一軸上 的投影等于力對該軸之矩。Mz(F)=M0(F )=2Oab=2OABcos= MOcosF abMzg50第50頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四三、空間一般力系的簡化和平衡1.空間中力的平移力F平移到A點，得到力F 和作用于Abc面以力偶矩矢表示的力偶M?？臻g匯交力系空間力偶系主矩MO力偶矩矢 表示主矢

33、FR匯交于O空間一般力系向某點 O平移2.空間力系的簡化力F向A點平移F 和M, FM x yzOFbAcF M=MO(F)51第51頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四當(dāng)主矢和主矩都等于零時，空間力系為平衡力系?？臻g一般力系向某點 O平移主矢FR主矩MO若FR 0，MO=0；為一合力，且 FR=FR空間力系簡化的最終結(jié)果：若FR=0，MO0；為一合力偶且 M=MO2) MOFR，在MO、FR平面內(nèi)將矢量MO分解，得到力FR和與其平行的力偶矩矢MR，稱為力螺旋。1)MOFR，反向應(yīng)用力的平移定理，得到一合力。若FR 0，MO0；x yzOFRMOFRMOMRMLMROFR5

34、2第52頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四3.空間力系的平衡方程Fx=0； Fy=0； Fz=0Mx(F)=0； My(F)=0； Mz(F)=0空間一般力系由FR=0；MO=0 可寫出平衡方程為 將原點取在匯交點， 有 Mx(F)0, My(F)0; Mz(F)0平衡方程是： Fx=0； Fy=0； Fz=0空間匯交力系xyzA 取y軸與各力平行， 有 Fx0; Fz0; My(F)0 。 平衡方程是： Fy=0； Mx(F)=0； Mz(F)=0空間平行力系xzy53第53頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四四、空間平衡問題的求解 FAx FAy

35、FAz FBy FBz FCt FCr FDt FDr Fx Fy Fz Mx(F) My(F) Mz(F)例3.11 列傳動軸的平衡方程。解：畫受力圖。1. 直接求解法0 0 0 FByAB 0 0 -FCrAC 0 FDrAD 0 0 0 0 -FBzAB FCtAC 0 FDtAD 00 0 0 0 0 -FCtr1 0 FDtr2 00 0 FAz 0 FBz -FCt 0 -FDt 00 FAy 0 FBy 0 0 -FCr 0 FDrFAx 0 0 0 0 0 0 0 0 xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz 列表給出各力 在軸上的投影及對軸之矩。

36、54第54頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四 Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0 -(3) Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0 -(4) My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0 -(5) Mz(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6) 利用上述六個方程，除可求五個約束反力外，還可確定平衡時軸所傳遞的載荷。由表中各行可列出六個平衡方程為：xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz55第55頁，共65頁，2022年，5月20日，2

37、點36分，星期四2. 投影法空間平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平面力系，必為平衡力系。如由Axy平面力系可寫出平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) (Mz(F)=) MA(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6)xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABCD yxFCrFDrFByFAyFAx56第56頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四同理，由Axz平面力系可寫方程(1) (3) (5)； 由Ayz平面力系可寫出平衡方程(2) (3) (4)。 空間力系投影到三個

38、坐標平面上，即可轉(zhuǎn)化為平面力系的平衡問題。 優(yōu)點是圖形簡明，幾何關(guān)系清楚，工程常用。xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABDxzFDtFCtCFBzFAxFAzyzAFAyFByFAzFBzFCrFDtFDrFCt57第57頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四討論：試分析圖中鋼架各銷餃處的約束反力。Z方向無載荷作用，設(shè)各處Z方向反力為零。Fz=0 (自動滿足)Mz2(F)=0 FAy=F1;Fy=0 FBy=-FCy; Mx(F)=-150F1+50FCy-50FBy=0 FCy=3F1/2 Fx=FAx+FBx+FCx+F2=0My(F

39、)=-150F2-50FCx+50FBx=0剩余二個方程，不足以確定FAx、FBx、FCx三個未知量；需要考慮三鉸裝配時在 x方向的間隙情況。10050cm150cmABCcmz1x yz250cmCF1F2FCyFCxFByFBxFAyFAx58第58頁，共65頁，2022年，5月20日，2點36分，星期四五、重心起重機翻傾；船舶穩(wěn)定；旋轉(zhuǎn)機械振動重力 W=mg, 重心在質(zhì)量對稱軸上。重心是物體各部分所受重力之合力的作用點。2. 實驗法（利用力的平衡）垂吊法重心不一定在物體上。均質(zhì)物體的重心在其形心處。 形心在對稱點、軸、面上。1. 解析法物體重心的確定：o垂吊法ABCOWF稱重法W稱重法ABCFAFBLx59第59頁，共65頁，202