結構力學極限荷載

1、結 構 力 學（2）第17章 結構的極限荷載彈性設計： 利用彈性計算的結果，以許用應力為依據來確定截面尺寸或進行強度驗算的設計法。在計算中假設應力與應變?yōu)榫€性關系，結構在卸載后沒有殘余變形。其特點是通過計算彈性階段各桿件最大應力的方法進行強度驗算，確保不超過許用應力。塑性設計： 先確定結構破壞時所能承受的荷載(極限荷載)，然后將極限荷載除以荷載系數得到容許荷載并進行設計。其特點是通過計算極限荷載的方式確定結構破壞時所能承受的荷載。17-1概述2彈性設計法（許用應力法） 最大計算應力 材料許用應力 安全系數要點1.彈性分析計算（對于復雜結構采用矩陣位移法）2.確定每個構件的最大應力不超過許用應力

2、 屈服應力結構的彈性設計方法，是以只要結構上有一個截面的一點的應力達到材料的許用應力為標志的。即結構上任一點的應力都不許超過材料的許用應力。3彈性設計例必須滿足梁的驗算柱的驗算 .Ws: 彈性截面系數許用應力最大應力4彈性變形塑性變形5屈服應力（彈性極限應力）屈服應變（彈性極限應變）最大應力最大應變應變應力鋼材的應力-應變關系圖最大應變是屈服應變的100倍以上6鋼材的應力-應變關系圖應力應變ABo應變應力塑性階段（塑性流動階段）彈性階段簡化7屈服應力 yield stress （彈性階段最大應力）屈服應變 yield strain（彈性階段最大應變）理想彈塑性模型圖（P266 圖17-1）AB

3、CDo應變應力殘余應變 residual strain8o應變應力o應變應力理想彈性模型圖理想剛塑性模型圖理想彈性狀態(tài)下的變形（彈性變形）理想剛塑性狀態(tài)下的變形（塑性變形）局部彎曲強柱弱梁強梁弱柱10極限狀態(tài)下構件的變形由實驗可知理想剛塑性材料模型能較為準確反映結構極限狀態(tài)的變形。柱端的應變達到彈性極限時，彈性變形基本停止，塑性彎曲變形逐漸集中于應力較大的局部（柱端或梁端）。11理想彈性狀態(tài)下的變形（彈性變形）理想剛塑性狀態(tài)下的變形（塑性變形）強梁弱柱12塑性鉸塑性鉸（P267） 當截面彎矩達到極限彎矩時，兩個無限靠近的相鄰截面可產生有限的相對轉角，產生局部彎曲變形，這種情況與帶鉸的截面相似，

4、稱為塑性鉸。極限荷載極限彎矩（P266） 桿件截面所能承受的最大彎矩。極限荷載（P266） 結構破壞時所能承擔的的荷載。彎矩圖13基本假設(一般針對鋼材料) 1、材料為“理想彈塑性材料” 。 2、材料均勻，各向同性。 3、平面假定。即無論彈、塑性階段，都保持平截面不變。ABCDo塑性流動狀態(tài)屈服應力 yield stress （彈性階段最大應力）屈服應變 yield strain（彈性階段最大應變）殘余應變 residual strain17-2 極限彎矩、塑性鉸、極限荷載 、極限狀態(tài)塑性設計法的要點1.計算極限荷載2.極限荷載除以荷載安全系數得出容許荷載3.以此為依據進行設計, 判斷是否荷載

5、小等于容許荷載*必須先算桿件極限內力才可以計算結構極限荷載極限彎矩極限剪力極限軸力極限集中荷載極限分布(均布)荷載極限力偶極限分布力偶極限內力極限荷載17-2 極限彎矩、塑性鉸、極限荷載 、極限狀態(tài)a)hb)c)y0y0b 圖a）截面還處在彈性階段，最外纖維處應力達到屈服極限s ，截面彎矩為：Ms稱為彈性極限彎矩，或稱為屈服彎矩。MhMb1. 極限彎矩與屈服彎矩16 圖b）截面處于彈塑性階段，截面外邊緣處成為塑性區(qū)，在截面內部仍為彈性區(qū)。b)y0y0c) 圖c）截面處于塑性流動階段。在彈塑性階段，隨著M增大，彈性核高度逐漸減小最后y00。此時相應的彎矩為：Mu 是截面所能承受的最大彎矩，稱為極

6、限彎矩。彈性核17彈性階段的中性軸為形心軸，塑性階段的中性軸為等面積軸，滿足以下條件彈性階段彈塑性階段塑性流動階段MM中性軸的位置(P268)彈性核18極限彎矩與屈服彎矩之比=截面系數比MM對稱截面的形心軸與等面積軸重合，皆為對稱中心線。彎矩與轉角的關系曲線屈服彎矩極限彎矩彈塑性變形發(fā)展階段19彎矩M與曲率r的關系曲線例20軸向受力構件的荷載位移關系圖(材料截面同時屈服)彈塑性變形發(fā)展階段屈服荷載極限荷載受彎構件的荷載位移關系圖(材料截面不同時屈服，最外側先屈服，逐漸滲透至內部)對于矩形截面Fpu=1.5Fps屈服荷載極限荷載極限狀態(tài)2. 極限荷載和屈服荷載屈服荷載：彈性階段結構所能承受的最大

7、荷載，也稱彈性極限荷載。極限荷載：結構塑性破壞時對應的荷載，也稱塑性極限荷載。極限狀態(tài)：極限荷載所對應的狀態(tài)，位移(撓度)可以任意增加而承載力無法增加的狀態(tài)。例：梁屈服柱屈服橫向受力剛架的荷載位移關系圖屈服荷載極限荷載對受彎結構進行彈性分析的缺陷（1）彈性設計以屈服極限為基準，但最大應力達到屈服極限時，截面并未全部進入流動狀態(tài)，截面仍然存在承載能力；（2）超靜定結構某一局部應力達到屈服狀態(tài)時，結構并不破壞，結構仍然具有承載能力，極限荷載大于屈服荷載。在彈性范圍內，荷載與變形成比例。超過屈服荷載時，變形不再按比例放大，而是集中于某幾個局部(塑性鉸)。使得整體出現大的位移，而局部以外的桿件本身沒有

8、大的變形。彈性變形產生的位移遠小于塑性變形，塑性變形通常集中于局部（塑性鉸）塑性鉸: 達到極限彎矩的截面(p268)塑性鉸的特點（與機械鉸的區(qū)別） （1）機械鉸不能承受彎矩，塑性鉸能夠承受彎矩； （2）機械鉸雙向轉動，塑性鉸單向轉動； （3）實際的塑性鉸不是一個鉸點，而是具有一定的長度。對于純彎桿件，塑性鉸的理論長度等于桿件長度。通常忽略塑性鉸長度，將達到極限彎矩的截面稱為塑性鉸。 （4）機械鉸卸載時不消失；塑性鉸在卸載時消失。FPuMu破壞機構足夠多的塑性鉸的出現使原結構成為機構（一個自由度的幾何可變或瞬變體系），失去繼續(xù)承載的能力，該幾何可變或瞬變體系稱為破壞機構。(1)、不同結構在荷載作

9、用下，成為機構，所需塑性鉸的數目不同。(2)、不同結構，只要材料、截面積、截面形狀相同，極限彎矩一定相同。MuMuMuMu(3)、材料、截面積、截面形狀相同的不同結構，極限荷載qu不一定相同。Mu1Mu2Mu217-3 單跨梁的極限荷載FPl/2l/2FP對于靜定結構，荷載達到極限荷載時，塑性鉸出現在桿件彎矩最大截面。靜定單跨梁的極限荷載計算例(彎矩圖法)：靜力平衡條件極限荷載彎矩圖靜定單跨梁的極限荷載計算例（彎矩圖法）：先作彎矩圖，令絕對值最大彎矩等于極限彎矩，求極限荷載M圖M圖例 求靜定梁的比例加載時的極限荷載Fpu解：作彎矩圖AC段：CD段：所以可判定極限荷載為： 塑性鉸出現在截面B彎矩

10、圖法2717-3 超靜定單跨梁的極限荷載 對于靜定結構，當一個截面（彎矩最大截面）出現一個塑性鉸時，結構就成了具有一個自由度的機構而破壞?？上茸鲝澗貓D，令絕對值最大彎矩等于極限彎矩，求極限荷載。 對于超靜定結構，出現一個塑性鉸可能不足以形成破壞機構。必須有足夠的塑性鉸才能使結構成為一個自由度破壞機構。塑性鉸首先出現在某根桿件的最大彎矩的截面，隨著荷載的增大，其他截面也可能出現新的塑性鉸直至結構變?yōu)榫哂幸粋€自由度的機構從而喪失承載能力為止。28MuMuFP 對于簡單的超靜定梁，可先判斷塑性鉸出現的位置，利用靜力平衡方程或虛功方程計算極限荷載。MuMu彈性狀態(tài)下的彎矩圖極限狀態(tài)下的彎矩圖FP彈性狀

11、態(tài)下的變形圖極限狀態(tài)下的變形圖（破壞機構圖）29幾種單跨超靜定梁的破壞機構MuMuMuMuMuMuMuMuMu30例 求單跨梁的極限荷載,截面極限彎矩為Mu（P269）解： 結構在A、C截面出現塑性鉸。1）靜力法(作彎矩圖)：FPCl/2l/2ABFPMuCABMu利用靜力平衡方程求極限荷載的方法稱為靜力法（彎矩圖法）。利用虛功方程求極限荷載的方法稱為虛功法。1. 單跨超靜定梁的極限荷載計算例極限狀態(tài)彎矩圖31令機構產生虛位移，使C截面豎向位移和荷載FP同向，大小為2）虛功法(作破壞機構圖)外力虛功：內力虛功：由 We=Wi 得：FPCABMuMu紅線為變形后的桿件，蘭點為塑性鉸32例 求梁的

12、均布荷載極限值，已知極限彎矩為Mu。外力虛功內力虛功由We=Wi，得極限均布荷載qACBMuMuMu解：由于對稱，中點C出現塑性鉸ACBql/2l/233 計算復雜超靜定結構的極限荷載的關鍵是確定真實的破壞形態(tài)，以及塑性鉸的數量及位置。當塑性鉸的位置不易確定時，可先排除不可能出現塑性鉸的位置。塑性鉸可能出現在集中力作用點、支座、變截面、剛結點、或分布荷載的某處，不可能出現在其他無荷載作用處（純彎除外）34超靜定結構極限荷載計算特點(P270) 1. 無需考慮結構彈塑性變形的發(fā)展過程，只需考慮最后的破壞機構. 2. 無需考慮變形協調條件，只需考慮靜力平衡條件 3. 極限荷載不受溫度變化、支座移動

13、的影響極限受力狀態(tài)應滿足的條件(1）平衡條件(2）內力局限條件或塑性條件 彎矩的絕對值不能超過極限彎矩(3）單向機構條件，形成單向一個自由度體系17-4 比例加載時判定極限荷載的一般定理比例加載1）結構上全部荷載按同一比例增加2）荷載單調增加，不卸載。1）對任一單向破壞機構，用平衡條件求得的荷載值稱為可破壞荷載，記為 ,滿足(1)和(3)條件定義2）如果在某個荷載作用下，能找到一種內力狀態(tài)與之平衡，且結構各截面的內力都不超過其極限值，則該荷載值稱為可接受荷載，記為 ,滿足(1)和(2)條件3）極限荷載FPu同時滿足極限狀態(tài)三個條件，因此, FPu既是可破壞荷載，也是可接受荷載。1）基本定理可破

14、壞荷載 恒不小于可接受荷載 ，即定理證明：取任一可破壞荷載，對于相應的單向機構位移列出虛功方程：上式中，n是塑性鉸數目。取任一可接受荷載 ，相應的彎矩圖稱為 圖。令此荷載及內力在上述機構位移上作虛功，虛功方程為：根據內力局限條件2）唯一性定理極限荷載FPu是唯一確定的。對于任一荷載FP ，如果存在一個內力分布，能同時滿足平衡條件、屈服條件和單向機構條件，則該荷載就是唯一的極限荷載FPu 。證明：設存在兩種極限內力狀態(tài)，相應的極限荷載分別為FPu1 和FPu2 。因為極限荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載，可把FPu1看作 ， FPu2 看作 ，則有：同時滿足上述兩種狀態(tài)反之，把FPu2看作 ，

15、FPu1看作 ，則有：所以上述兩種狀態(tài)是同一種狀態(tài)，即極限荷載值是唯一的。3）上限定理(極小定理)：可破壞荷載是極限荷載的上限; 極限荷載是可破壞荷載中的極小者。4）下限定理(極大定理) ：可接受荷載是極限荷載的下限; 極限荷載是可接受荷載中的極大者。 證明：因為極限荷載是可接受荷載，故由基本定理即得 證明：因為極限荷載是可破壞荷載，故由基本定理即得1）基本定理：可破壞荷載不小于可接受荷載2）唯一性定理：極限荷載是唯一確定的。3）上限定理：可破壞荷載是極限荷載的上限。4）下限定理：可接受荷載是極限荷載的下限。可破壞荷載可接受荷載極限荷載判定極限荷載的一般定理判定極限荷載載的基本方法2. 窮舉法

16、：基于上限定理 ，即窮舉全部可能的破壞機構，求出相應的可破壞荷載 ，其中最小的可破壞荷載 就是極限荷載FPu 1. 試算法：基于唯一性定理，選定一種破壞機構并求得相應的可破壞荷載，畫出結構彎矩圖，若各截面彎矩均小于極限彎矩，則該荷載是可破壞荷載，也是極限荷載FPu。3. 極小值法（微分法）：基于上限定理，當桿件上有分布荷載時，破壞機構不易預測。利用求微分求解可破壞荷載極小值的方法計算極限荷載FPu。對于超靜定結構對于靜定結構彎矩圖法：基于上限定理（極小定理）。靜定結構出現一個塑性鉸即形成破壞機構，塑性鉸出現在某桿件最大彎矩截面。先作彎矩圖，令各桿件最大彎矩絕對值等于極限彎矩求荷載值，所求的最小

17、荷載值為極限荷載。42例 求超靜定單跨梁的極限荷載Fpu，截面極限彎矩為MuABED4FP3FP2FPCABCDEMuMu解法1-試算法：選定破壞機構虛功方程：解得可破壞荷載：43ABCDEMuMu1.6MuMu1.15Mu4.6Mu/l作可破壞荷載 作用下的彎矩圖最大彎矩超過極限彎矩，不滿足內力局限條件，所以該可破壞荷載不是可接受荷載，試算失敗。44另選破壞機構ABCDMuEMuMuMuMu/23Mu/43Mu/lABCDMuEMu解得可破壞荷載 并作彎矩圖該彎矩圖滿足內力局限條件，所以該可破壞荷載是可接受荷載，試算成功。極限荷載虛功方程：45ABCDEMuMuABCDMuEMu解法2-窮舉

18、法：破壞機構1解得破壞機構2解得破壞機構3解得比較以上結果，Fpu2 為最小，所以極限荷載為ABCDEMuMu46例17-2 求圖示變截面梁的極限荷載(窮舉法)塑性鉸的可能位置：A、B、D。（無荷載作用的變截面B可能出現塑性鉸）解:ABCDAB段極限彎矩為 ，BC段極限彎矩為Mu 。47ABCDFPMuMuABCDFPMuMu破壞機構1）B、D截面出現塑性鉸。極限狀態(tài)彎矩圖極限狀態(tài)彎矩圖中，任何一個截面的彎矩都不可超過桿件的極限彎矩，否則假定的破壞機構不成立。由彎矩圖可知，只有當 時，此破壞形態(tài)才可能實現。48破壞機構2）A、D截面出現塑性鉸。ACDFPuMuABCDFPuMu極限狀態(tài)彎矩圖由彎矩圖可知，只 有當時，此破壞形態(tài)才可能實現。493）當 時，則前面兩種破壞形態(tài)均可能出現，則50可能破壞機構1) 荷載同向作用時, 連續(xù)梁只可能在各單跨形成破壞機構，不可能由相鄰跨聯合形成破壞機構。超靜定多跨連續(xù)梁的極限荷載計算（窮舉法）例51PPPPPP可能破壞機構2) 荷載異向作用時, 連續(xù)梁既可能在各單跨形成破壞