導數(shù)的基本公式及運算法則

1、導數(shù)的基本公式及運算法則第1頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三例1 求下列函數(shù)的導數(shù)：第2頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三定理2. 1設函數(shù) u(x)、v(x) 在 x 處可導，在 x 處也可導，(u(x) v(x) = u(x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);導數(shù)的四則運算且則它們的和、差、積與商第3頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三推論 1(cu(x) = cu(x) (c 為常數(shù)).推論 2乘法法則的推廣：第4頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三補充例題：

2、 求下列函數(shù)的導數(shù)：解根據(jù)推論 1 可得 (3x4) = 3(x4)，(5cos x) = 5(cos x)，(cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0，故f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)= 12x3 - ex - 5sin x .f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1又(x4) = 4x3，例 1設 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).第5頁，共28頁，2022年，5月20日，2點2

3、5分，星期三例 2設 y = xlnx ， 求 y .解根據(jù)乘法公式，有y = (xlnx)= x (lnx) + (x)lnx第6頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三解根據(jù)除法公式，有例 3設求 y .第7頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三教材P32 例2 求下列函數(shù)的導數(shù)：解： 第8頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三2.2.3 高階導數(shù)如果可以對函數(shù) f(x) 的導函數(shù) f (x) 再求導，所得到的一個新函數(shù)，稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導數(shù)，記作 f (x) 或 y 或如對二階導數(shù)再求導，則稱三階導數(shù)，記作 f (x)

4、 或 四階或四階以上導數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n)或 ， 而把 f (x) 稱為 f (x) 的一階導數(shù).第9頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三例3 求下列函數(shù)的二階導數(shù)解：二階以上的導數(shù)可利用后面的數(shù)學軟件來計算 第10頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三推論設 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可導，則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導，第11頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三以上法則說明：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).第12頁，共28

5、頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第13頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第14頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三 先將要求導的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商. 任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述復合函數(shù)的求導法則求出. 復合函數(shù)求導的關鍵: 正確分解初等函數(shù)的復合結構.求導方法小結：第15頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第16頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三例5：求下列函數(shù)的導數(shù)（1） （2）（3） （4）第17頁，共28頁，2022

6、年，5月20日，2點25分，星期三第18頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第19頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第20頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第21頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三 二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法求 對自變量 (或 )的偏導數(shù)時,只須將另一自變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導公式和四則運算法則進行計算.例1 設函數(shù)求解： 第22頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三例2 設函數(shù) 解：類似可得第23頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三*2.

7、2.8 二元函數(shù)的二階偏導數(shù)函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個偏導數(shù)一般說來仍然是 x , y 的函數(shù)， 如果這兩個函數(shù)關于 x , y 的偏導數(shù)也存在， 則稱它們的偏導數(shù)是 f (x , y)的二階偏導數(shù).依照對變量的不同求導次序，二階偏導數(shù)有四個：（用符號表示如下）第24頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三第25頁，共28頁，2022年，5月20日，2點25分，星期三其中 及 稱為二階混合偏導數(shù).類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導數(shù).注：當兩個二階導數(shù)連續(xù)時，它們是相等的 即 第26頁，共28頁，2022年，5月2