常微分方程的歐拉方法

1、常微分方程的歐拉方法第1頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三第8章 常微分方法的數(shù)值解法教學目的 1. 掌握解常微分方程的單步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性；多步法的穩(wěn)定性。教學重點及難點 重點是解常微分方程的單步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；難點是理解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性及多步法的穩(wěn)定性。第2

2、頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三第8章 常微分方法的數(shù)值解法科學技術與工程問題常常需要建立微分方程形式的數(shù)學模型，下面是這類問題的例子。設N（t）為某物種的數(shù)量， 為該物種的的出生率與死亡率之差， 為生物的食物供給及它們所占空間的限制，描述該物種增長率的數(shù)學模型是設Q是電容器上的帶電量，C為電容，R為電阻，E為電源的電動勢，描述該電容器充電過程的數(shù)學模型是第3頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三以上兩個例子是常微分方程初值問題，下面是一個兩點邊值問題的例子。 設一跟長為L的矩形截面的梁，兩端固定。E是彈性模量，S是端點作用力，I（x）是慣性矩，q是均

3、勻荷載強度，梁的橈度y（x）滿足如下方程針對實際問題建立的數(shù)學模型，要找出模型解的解析表達式往往是困難的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的數(shù)值解法，即計算解域內離散點上的近似值的方法。本章討論常微分方程數(shù)值解的基本方法和理論。第4頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三8.1 Euler 方法8.1.1 Euler 方法及其有關的方法考慮一階常微分方程初值的問題：設f（x,y）是連續(xù)函數(shù)，對y滿足Lipschitz條件，這樣初值問題的解是存在唯一的，而且連續(xù)依賴于初始條件。 為了求得離散點上的函數(shù)值，將微分方程的連續(xù)問題（8.1.1）進行離散化。一般是引入點列 ，

4、這里為步長，經?？紤]定長的情形，即 。記 為初始問題（8.1.1）的問題準確解 在 處的值，用均差近似代替（8.1.1）的導數(shù)得 第5頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三令 為 的近似值，將上面兩個近似寫成等式，整理后得（8.1.2）（8.1.3）從 處的初值 開始，按（8.1.2）可逐步計算以后各點上的值。稱（8.1.2）式為顯式Euler。由于（8.1.3）式的右端隱含有待求函數(shù)值 ，不能逐步顯式計算，稱（8.1.3 ）式為隱式Euler公式或后退Euler公式。如果將（8.1.2）和（8.1.3）兩式作算術平均，就得梯形公式。第6頁，共16頁，2022年，5月20日，

5、5點22分，星期三梯形公式也是隱式公式。以上公式都是由 去計算 ，故稱它們?yōu)閱尾椒ā?例8.1 取h=0.1，用Euler方法、隱式Euler方法和梯形方法解 解 本題有 如果用Euler方法，由（8.1.2）并代入h=0.1得 同理，用隱式Euler方法有（8.1.4）第7頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三用梯形公式有三種方法及準確解 的數(shù)值結果如表8-1所示。從表中看 到，在 處，Euler方法和隱式Euler方法的誤差 分別是 和 ，而梯形方法的誤差卻是 。 在例8.1中，由于f（x，y）對y是線性的，所以對隱式公式也可以方便地計算 。但是，當f（x，y）是y的非線

6、性函數(shù)時，如 ，其隱式Euler公式為 。顯然，它是 的非線性方程，可以選擇非線性方程求根的迭代求解 。以梯形公式為例，可用顯式Euler公式提供迭代初值 ，用公式第8頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三表8-1 Euler方法 隱式Euler方法 梯形法 準確解 0 1 1 1 10.1 1.000000 1.009091 1.004762 1.0048370.2 1.010000 1.026446 1.018549 1.018731 0.3 1.029000 1.051315 1.040633 1.040818 0.4 1.056100 1.083013 1.07009

7、6 1.070320 0.5 1.090490 1.120921 1.106278 1.106531 第9頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三反復迭式，直到其中，步長h成為迭代參數(shù)，它需要滿足一定的條件，才能收斂。若將（8.1.4）式減去該迭代公式，得假設f（x，y）關于y滿足Lipschiz條件，則有第10頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三這里，L是Lipschiz常數(shù)。當hL/21即h2/L時，迭代序列 收斂 。 對于隱式公式，通常采用估計-校正技術，即先用顯式公式計算，得到預估值，然后以預估值作為隱式公式的迭代初值，用隱式公式迭代一次得到校正值，

8、稱為預估-校正技術。例如，用顯式Euler公式作預估，用梯形公式作校正，即稱該公式為改進的Euler公式。它顯然等價于顯式公式為， （8.1.6）第11頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三也可以表示為下列平均化的形式例8.2 取h=0.1，用改進的Euler方法解解 按（8.1.5），改進的Euler方法解第12頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三由 得計算結果如表8-2。該初值問題的準確解為 。表 8-2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860

9、1.5525 1.6153 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6165 第13頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三8.1.2 局部誤差和方法的階 初值問題（）的單步法可以寫成如下統(tǒng)一形式（8.1.7）其中 與 有關。若 中不含 ，則方法是顯式的，否則是隱式的，所以一般顯式單步法表示為（8.1.8）例如，Euler方法中，有 對于不同的方法，計算值 與準確解 的誤差各不相同。所以有必要討論方法的截斷誤差。我們稱 為某一方法在 點的整體截斷誤差。顯然， 不單與 這步的計算有關，它與以前各步的計算也有關，所以誤差

10、被稱為整體的。分析和估計整體截斷誤差 是復雜的。為此，我們假設 處的 沒有誤差，即 ，考慮從 到 這一步的誤差，這就是如下的局部誤差的概念。第14頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三定義8.1 設 是初值問題（8.1.1）的準確解，則稱為單步法（8.1.7）的局部截斷誤差。 定義8.2 如果給定方法的 局部截斷誤差 ，其中 為整數(shù)，則稱該方法是p階的，或具有p階精度。若一個p階單步法的局部截斷誤差為則稱其第一個非零項 為該方法的局部截斷誤差的主項。 對于Euler方法，有Taylor展開有第15頁，共16頁，2022年，5月20日，5點22分，星期三對于隱式Euler方法，其局部截斷誤差為所以Eul