快速學(xué)習(xí)奈氏圖判斷穩(wěn)定性

1、快速學(xué)習(xí)奈氏圖判斷穩(wěn)定性1第1頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三一、幅角定理(Kauthy 幅角定理) 幅角定理又稱(chēng)映射定理，它是建立在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上的。由于奈氏判據(jù)是以幅角定理為依據(jù)的，因此有必要先簡(jiǎn)要地介紹幅角定理。 設(shè)有一復(fù)變函數(shù) 稱(chēng)之為輔助函數(shù)，其中 是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù).通?？蓪?xiě)成如下形式 式中 是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，將式（4-106）代入式（4-105）得 比較式（4107）和式（4106）可知， 輔助函數(shù) 的零點(diǎn) 即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程 的根。因此，如果輔助函數(shù) 的零點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。2

2、第2頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 假設(shè)復(fù)變函數(shù) 為單值，且除了S平面上有限的奇點(diǎn)外，處處都為連續(xù)的正則函數(shù),也就是說(shuō) 在S平面上除奇點(diǎn)外處處解析， 那么，對(duì)于S平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，在 平面上必有一點(diǎn)（稱(chēng)為映射點(diǎn)）與之對(duì)應(yīng)。 例如，當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 則其輔助函數(shù)是 除奇點(diǎn) 和 外，在S平面上任取一點(diǎn)，如 則（一）S平面與 平面的映射關(guān)系 3第3頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 如圖437所示，在 平面上有點(diǎn) 與S平面上的點(diǎn) 對(duì)應(yīng), 就叫做 在 平面上的映射點(diǎn)。 圖4-37 S平面上的點(diǎn)在F（S）平面上的映射4第4頁(yè)，共24頁(yè)，202

3、2年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 如圖438所示，如果解析點(diǎn) 在S平面上沿封閉曲線(xiàn) （ 不經(jīng)過(guò) 的奇點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化一周，那么輔助函數(shù) 在 平面上的映射也是一條封閉曲線(xiàn) ，但其變化方向可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的，這要依據(jù)輔助函數(shù)的性質(zhì)而定。 圖4-38 S平面到F(s)平面的映射5第5頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三（二）幅角定理（映射定理） 設(shè) 在S平面上，除有限個(gè)奇點(diǎn)外，為單值的連續(xù)正則函數(shù)，若在S平面上任選一封閉曲線(xiàn)s，并使s不通過(guò) 的奇點(diǎn)，則S平面上的封閉曲線(xiàn)s 映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線(xiàn)F。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針?lè)较蜓豷 變化一周時(shí)

4、，則在 平面上， F 曲線(xiàn)按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)的周數(shù)N等于封閉曲線(xiàn)s內(nèi)包含F(xiàn)(s) 的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z之差。即 N=P-Z （4108） 式中，若N0，則F按逆時(shí)針?lè)较蚶@F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；若Nm時(shí)， （4-121）s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐標(biāo)原點(diǎn)（圖443（b）。奈氏軌跡s 在GH平面上的映射 稱(chēng)為奈奎斯特曲線(xiàn)或奈氏曲線(xiàn)。(4-120)(4-119)第15頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 2、當(dāng) 在S平面的虛軸上（包括原點(diǎn)）有極點(diǎn)時(shí)，由于奈氏軌跡不能經(jīng)過(guò)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，s必須避開(kāi)虛軸上的所有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。增加第4部分曲線(xiàn)，如圖4-44所示。其中（1）（2）

5、和（3）部分的定義與圖442相同. 第（4）部分的定義是：表明s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小的右半圓弧上逆時(shí)針變化（ ）。這樣， s 既繞過(guò)了 原點(diǎn)上的極點(diǎn)， 又包圍了整個(gè)右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點(diǎn)，亦可采用同樣的方法，將s 繞過(guò)這些虛軸上的極點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （4-122）其中v稱(chēng)為無(wú)差度，即系統(tǒng)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或位于原點(diǎn)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。當(dāng) 時(shí)， (4-123)16第16頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 式(4-123)表明， s 的第（4）部分無(wú)窮小半圓弧在 GH平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為 弧度。圖445（a）、（b）分

6、別表示當(dāng) v=1和v=2時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn)，其中虛線(xiàn)部分是s 的無(wú)窮小半圓弧在GH平面上的映射。圖4-44 虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 時(shí)的奈氏軌跡圖4-45 時(shí)的奈氏曲線(xiàn)s17第17頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，可能會(huì)遇到下列三種情況： (i) 當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 的全部極點(diǎn)都位于S平面左半部時(shí)（P=0），如果系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn) 不包圍GH平面的 點(diǎn)（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的； （ii)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 有p個(gè)位于S平面右半部的極點(diǎn)時(shí)，如果系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn) 逆時(shí)針包圍 點(diǎn)的周數(shù)等于位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)（

7、N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的； (iii) 如果系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn) 順時(shí)針包圍 點(diǎn)（N0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N0）。 （iv）當(dāng) 曲線(xiàn)恰好通過(guò)GH平面的 點(diǎn)（注意不是包圍），此時(shí)如果系統(tǒng)無(wú)位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 綜上，奈氏曲 線(xiàn) 是否包圍GH平面的 點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)。18第18頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三五、奈氏判據(jù)的應(yīng)用 例46 試用奈氏判據(jù)分析例41系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 其對(duì)應(yīng)的頻率特性是 當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn)如圖 4-46所示。該系統(tǒng)的兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 和 均在

8、S平面左半部，即S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，由圖4-46可知，系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn) 不包圍 點(diǎn)（N=0），根據(jù)奈氏判據(jù)，位于S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù) Z=PN=0， 該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的確定幅相曲線(xiàn)起點(diǎn)和終點(diǎn)，正確作出幅相曲線(xiàn)對(duì)于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要!。19第19頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三圖4-46 例4-6奈氏曲線(xiàn)20第20頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 例47 試用奈氏判據(jù)分析例43系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻率特性是當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的奈氏曲線(xiàn)如圖 448所示。由于系統(tǒng)含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)（v=1），當(dāng) 對(duì)應(yīng)奈氏曲線(xiàn)為順時(shí)針環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)的無(wú)窮大半圓（圖448中虛線(xiàn)所示）。21第21頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三圖4-48 例4-7奈氏曲線(xiàn)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)右半S平面的極點(diǎn)，即P=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值 的大小，當(dāng) 時(shí)， 不包圍 點(diǎn)，即N=0圖4-48（a），系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) 時(shí),奈氏曲線(xiàn) 順時(shí)針包圍 點(diǎn)兩周，即 ,圖4-48（b），系統(tǒng)不穩(wěn)定。22第22頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)22分，星期三 例48已知反饋控制