高中數(shù)學(xué)競賽教材講義立體幾何

1、第十二章立體幾何一,基礎(chǔ)學(xué)問公理1 一條直線；上假如有兩個不同的點(diǎn)在平面；內(nèi)就這條直線在 這個平面內(nèi),記作：a a公理2 兩個平面假如有一個公共點(diǎn),就有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線,即如P,就存在唯獨(dú)的直線m,使得 =m,且P m；公理3 過不在同一條直線上的三個點(diǎn)有且只有一個平面；即不共線的三點(diǎn)確定一個平面推論l直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面推論2兩條相交直線確定一個平面推論3兩條平行直線確定一個平面公理4在空間內(nèi),平行于同始終線的兩條直線平行定義1異面直線及成角：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線過空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線,這兩條直線所成的角中,不超過90 的角叫做兩

2、條異面直線成角與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線,公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長度叫做兩條異面直線之間的距離定義2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外直線與平面相交和直線與平面平行 線與平面平行 統(tǒng)稱直線在平面外 直線與平面沒有公共點(diǎn)叫做直定義3 直線與平面垂直：假如直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直,就第 1 頁,共 17 頁直線與這個平面垂直定理1 假如一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,就直線與平面 垂直定理2兩條直線垂直于同一個平面,就這兩條直線平行定理3如兩條平行線中的一條與一個平面垂直,就另一條也和這個平面垂直定理4 平面外一點(diǎn)到平面的垂線段的

3、長度叫做點(diǎn)到平面的距離,如一 條直線與平面平行,就直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等,這個距離 叫做直線與平面的距離定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線由斜線 上每一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫這個點(diǎn)在平面上的射影全部這樣的 射影在一條直線上,這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影斜線與它的 射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角結(jié)論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)全部直線成角中最小的角定理4 三垂線定理 如d 為平面；的一條斜線,b 為它在平面a 內(nèi)的 射影,c 為平面a 內(nèi)的一條直線,如c b,就c a逆定理：如c a,就c b定理5 直線d 是平面a 外一條直線,如它與平面內(nèi)一條直線b 平

4、行,就它與平面a 平行 定理6 如直線；與平面 平行,平面 經(jīng)過直線a 且與平面a 交于直 線6,就a/b 結(jié)論2 如直線；與平面 和平面 都平行,且平面 與平面 相交于第 2 頁,共 17 頁b,就a/b 定理7 等角定理 假如一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且 方向相同,就兩個角相等定義6 平面與平面的位置關(guān)系有兩種：平行或相交沒有公共點(diǎn)即平 行,否就即相交定理 8 平面a 內(nèi)有兩條相交直線a,b 都與平面 平行,就 / . 定理 9 平面 與平面 平行,平面 =a, =b,就 a/b 定義 7 二面角 ,經(jīng)過同一條直線m 的兩個半平面 , 包括直線m,稱為二面角的棱 所組成的圖形叫二

5、面角,記作 m,也可記為 A m 一B, AB 等過棱上任意一點(diǎn)P 在兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP,BP,就APB 90 叫做二面角的平面角它的取值范疇是0 , 特別地,如APB90,就稱為直二面角,此時平面與平面的位置關(guān)系 稱為垂直,即 . 定理 10 假如一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,就這兩個平面垂直定理 11 假如兩個平面垂直,過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個平面的垂線在第一個平面內(nèi)定理12 假如兩個平面垂直,過第一個子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另一個平面垂直定義8 有兩個面相互平行而其余的面都是平行四邊形,并且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊 稱為側(cè)棱 都相互平行,由這些面所圍成的幾 何體叫做

6、棱柱兩個相互平行的面叫做底面假如底面是平行四邊形第 3 頁,共 17 頁就叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊 形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做長方體棱長都相 等的正四棱柱叫正方體定義9 有一個面是多邊形 這個面稱為底面 ,其余各面是一個有公共 頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影 是底面的中心的棱錐叫正棱錐定理13 凸多面體的歐拉定理 設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,棱數(shù)為E,面 數(shù)為F,就 V+F-E=2定義10 空間中到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是一個球 面球面所圍成的幾何體叫做球定長叫做球的半徑,定點(diǎn)叫做球心定理14 假如球心到平面的距

7、離d 小于半徑R,那么平面與球相交所得的截面是圓面,圓心與球心的連線與截面垂直設(shè)截面半徑為r ,就 2 2 2d +r R過球心的截面圓周叫做球大圓經(jīng)過球面兩點(diǎn)的球大圓夾在 兩點(diǎn)間劣弧的長度叫兩點(diǎn)間球面距離定義11 經(jīng)度和緯度 用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截 面四周叫做緯線緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度用經(jīng)過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周 以兩極為端點(diǎn) 叫做經(jīng)線,經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的 半平面所成的二面角叫做經(jīng)度,依據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)定理15 祖 原理 夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于 這兩個平面的任意平面所截,假如截

8、得的兩個截面的面積總相等,那第 4 頁,共 17 頁么這兩個幾何體的體積相等. 定理16 三面角定理 從空間一點(diǎn)動身的不在同一個平面內(nèi)的三條射 線共組成三個角其中任意兩個角之和大于另一個,三個角之和小于0360 定理17 （面積公式）如一個球的半徑為R,就它的表面積為S 球面=4 R；如一個圓錐的母線長為 l ,底面半徑為r ,就它的側(cè)面積S 側(cè)= rl. 定理18 （體積公式）半徑為R的球的體積為V 球= 4 3R 3 ；如棱柱（或圓柱）的底面積為s,高h(yuǎn),就它的體積為V=sh；如棱錐（或圓錐）的底面積為s,高為h,就它的體積為V=1 sh. 3定理19 如圖12-1 所示,四周體ABCD中

9、,記BDC=,ADC=,ADB=,BAC=A,ABC=B,ACB=C；DH H；（1）射影定理：S ABD.cos =S ABH,其中二面角平面ABC于 D AB H 為 ；（2）正弦定理：sin sin sin . sin C sin A sin B （3）余弦定理：cos=coscos+sin sin cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos . （4）四周體的體積公式V 1DH.S ABC 3= 1 abc 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos 61 aa 1 d sin （其中d 是a1, a 之間的距離,是它們的夾角）63a S

10、ABD.S ACD.sin 其中 為二面角 2 B AD C 的平面角 ；二,方法與例題1公理的應(yīng)用；第 5 頁,共 17 頁例1 直線a,b,c 都與直線d 相交,且a/b,c/b 面；,求證：a,b,c,d 共 證明 設(shè)d 與a,b,c 分別交于A,B,C, 由于b 與d 相交,兩者確定一個平面,設(shè)為a. 又由于a/b ,所以兩者也確定一個平面,記為 ；因?yàn)锳,所以 A,由于 Bb,所以B,所以 d . 又過b,d 的平面是唯獨(dú)的,所以 , 是同一個平面,所以 a . 同理c . 即a,b,c,d 共面；例2 長方體有一個截面是正六邊形是它為正方體的什么條件？ 解 充要條件；先證充分性,設(shè)

11、圖 12-2 中PQRSTK 是長方體ABCD-A 1B1C1D1的正六邊形截面,延長PQ,SR設(shè)交點(diǎn) O,由于直線SR 為平面CC1D1D,又O直線SR,所以O(shè)平面CC1D1D,又由于直線PQ 平面A1B1C1D1,又O直線PQ,所以O(shè)平面A1B1C1D1；所以O(shè)直線C1D1,由正六邊形性質(zhì)知,ORQ= OQR=60,所以 ORQ為正三角形,由于CD/C1D1,所以 CR SR =1；所以R 是CC1中點(diǎn),同理Q 是B1C1的中C1 R RO 點(diǎn),又 ORC 1 OQC 1,所以C1R=C 1Q,所以CC 1=C1B1,同理CD=C1C,所以該長方體為正方體；充分性得證；必要性留給讀者自己證

12、明；2異面直線的相關(guān)問題；例3 正方體的12 條棱互為異面直線的有多少對？ 解 每條棱與另外的四條棱成異面直線,重復(fù)計(jì)數(shù)一共有異面直線12 4=48 對,而每一對異面直線被運(yùn)算兩次,因此一共有 48 24 對；2例4見圖12-3,正方體,ABCDA1B1C1D1棱長為1,求面對角線A1C1與AB1所成的角；第 6 頁,共 17 頁 解 連結(jié)AC,B1C,由于A1A/ B1B/ C1C,所以A1A/ C1C,所以A1ACC 1為平行四邊形,所以A1C1/ AC；所以AC與AB1所成的角即為A1C1與AB1所成的角,由正方體的性質(zhì)0 0AB1=B1C=AC,所以B1AC=60；所以A1C1與AB1

13、所成角為60；3平行與垂直的論證；例5 A ,B,C,D 是空間四點(diǎn),且四邊形ABCD 四個角都是直角,求證：四邊形ABCD 是矩形； 證明 如ABCD 是平行四邊形,就它是矩形；如ABCD 不共面,設(shè)過A,B,C 的平面為 ,過D 作 于D1,見圖12-4,連結(jié)AD1,CD1,因DD1為AB AD1,又由于DD 平面 ,又AB ,所以DD1 AB,所以AB 平面ADD 1,所以AB AD1；同理BCCD1,所以ABCD 1為矩形,所以AD1C=90,但AD1AD,CD 1CD,所以 AD+CD=AC= AD 2 2 212CD 12,與 AD 12CD 12AD 2+CD 2沖突；所以ABC

14、D 是平面四邊形,所以它是矩形；例6 一個四周體有兩個底面上的高線相交；證明：它的另兩條高線也相交； 證明 見圖12-5,設(shè)四周體ABCD的高線AE 與BF 相交于O,由于AE 平面BCD,所以AE CD,BF 平面ACD,所以BF CD,所以CD 平面ABO,所以CD AB；設(shè)四周體另兩條高分別為CM,DN,連結(jié)CN,由于DN平面ABC,所以DN AB,又AB CD,所以AB 平面CDN,所以AB CN；設(shè)CN 交AB 于P,連結(jié)PD,作CM PD 于M ,由 于AB 平面CDN,所以AB CM ,所以CM 平面ABD,即CM 為四周體的高,所以CM 與CM 重合,所 以CM,DN為 PCD

15、的兩條高,所以兩者相 交；第 7 頁,共 17 頁例7 在矩形ABCD中,AD=2AB,E 是AD中點(diǎn),沿BE 將 ABE折起,并使AC=AD,見圖12-6；求證：平面ABE 平面BCDE； 證明 取BE 中點(diǎn)O,CD中點(diǎn)M,連結(jié)AO,OM,OD,OC,就OM/BC,又CD BC,所以O(shè)M CD；又由于AC=AD,所以AM CD,所以CD平面AOM,所以AO CD；又由于AB=AE,所以AO BE；由于EDBC,所以BE 與CD不平行,所以BE 與CD是兩條相交直線；所以AO 平面BC-DE；又直線AO 平面ABE；所以平面ABE 平面BCDE；4直線與平面成角問題；例8 見圖12-7 ,正方

16、形ABCD 中,E,F 分別是AB,CD 的中點(diǎn),G 為0BF 的中點(diǎn),將正方形沿EF 折成120 的二面角,求AG 和平面EBCF所成的角； 解 設(shè)邊長AB=2,由于EF/ AD,又 AD AB；所以EF AB,所以BG= BF 1 1 5 ,又AE EF,BE EF,所以AEB=120；過A 作AM BE 02 2于M,就AEM=60,ME=1 AE 1,AM=AEsin60= 0 3 . 由余弦定理2 2 22 2MG=BM+BG-2BM.BGcosMBG= 3 52 3 5 1 9 5 32 2 2 3 5 4 4 2=2,所以MG= 2 . 由于EF AE,EF BE,所以EF 平面

17、AEB,所以EF AM,又AM BE,所以AM 平面BCE；所以AGM為AG與平面EBCF所成的角；36；所以AG 與平面EBCF 所成的角為6. 而tan AGM=2 244arctan 例9 見圖12-8 ,OA 是平面 的一條斜 角,AB 于B,C 在 內(nèi),且AC OC,AOC= ,AOB=,BOC= ；證明：cos=cos.cos. 第 8 頁,共 17 頁 證明 由于AB ,AC OC,所以由三垂線定理,BC OC,所以O(shè)Acos =OB,OBcos =OC,又 RtOAC 中,OAcos=OC,所以 OAcoscos =OAcos,所以 cos=cos.cos. 5二面角問題；0

18、0例10 見圖12-9 ,設(shè)S 為平面ABC 外一點(diǎn),ASB=45,CSB=60,二面角A SBC 為直角二面角,求 ASC 的余弦值； 解 作CM SB 于M,MN AS 于N,連結(jié)CN,由于二面角A SB C為直二面角,所以平面ASB 平面BSC；又CM SB,所以CM平面ASB,又MN AS,所以由三垂線定理的逆定理有CN AS,所以SC.cosCSN=SN=SC.cosCSM.cos ASB,所以cosASC=cos45cos60 = 2；4例11 見圖12-10 ,已知直角 ABC 的兩條直角 AC=2,BC=3,P 為斜邊邊AB 上一點(diǎn),沿CP 將此三角形折成直二面 A CP B,

19、當(dāng)AB= 7 時,角求二面角P AC B 的大?。?解 過P 作PD AC 于D,作PE CP 交BC 于E,連結(jié)DE,由于A CP B 為直二面角,即平面ACP 平面CPB,所以PE 平面ACP,又PD CA,所以由三垂線定理知DE AC,所以PDE為二面角PACB 的平面角；0設(shè)BCP=,就cosECD=cos .cos90 - =sincos,由余弦定2 理cosACB= 22 3721 ,所以sin cos= 1,所以sin2 =1. 22322a,PE=a. 所以tan 又02 ,所以 = ,設(shè) 4CP=a,就PD= 22PDE= PE PD 2. 所以二面角PACB 的大小為arc

20、tan 2；第 9 頁,共 17 頁6距離問題；例12 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,求對角線AC 與BC1的距 離；1BB1 解 以B 為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系如圖 12-11 所示；設(shè)P,Q 分別是BC1,CA上的點(diǎn),且BP 1 BC 1 ,CQ 1 CA ,各點(diǎn),各向量的坐標(biāo)分別為3 3Aa,0,0,B0,0,0,C0,a,0 ,PQ BQ BP BC 1CA 1BC1 BC 1BA 1BC 1BC 1BB1 1BC 1BA 3333333331 1 a, a, 3 3 1a , 所以| PQ | 3a,所以PQ BC1 1a a+ 1 3a a=0, 333PQ CA 1a

21、a- 1 3a a=0. 所以PQ BC1 , PQ BC1CA；所以PQ為AC 與3的公垂線段,所以兩者距離為3a. 3例13 如圖12-12 所示,在三棱維S ABC 中,底面是邊長 為4 2 的正三角形,棱SC 的長為2,且垂直于底面,E,D 分別是BC,AB 的中點(diǎn),求CD 與SE 間的距離； 分析 取BD 中點(diǎn)F,就EF/CD,從而CD/ 平面SEF,要求CD 與SE 間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C 到平面SEF 間的距離； 解 設(shè)此距離為h,就由體積公式運(yùn)算可得S SEF=3,S CEF 3. 所以h 2 3 . 37凸多面體的歐拉公式；例14 一個凸多面體有32 個面,每個面或是三角形或

22、是五邊形,對于V 個頂點(diǎn)每個頂點(diǎn)均有 T 個三角形面和 P 個五邊形面相交,求100P+10T+V； 解 因F=32,所以32-E+V=2,所以E=V+30；由于T+P 個面相交于 每第 10 頁,共 17 頁個頂點(diǎn),每個頂點(diǎn)動身有T+P 條棱,所以2E=VT+P. 由此得VT+P=2V+30 ,即VT+P-2=60. 由于每個三角形面有三條棱,故三角形面有VT 個,類似地,五邊形有VP 個,又由于每個面或者是三角形3 5或者是五邊形,所以 V T P =32,由此可得3T+5P=16,它的唯獨(dú)正整3 5數(shù)解為T=P=2,代入VT+P-2=60 得V=30,所以100P+10T+V25；8與球

23、有關(guān)的問題；例15 圓柱直徑為4R,高為22R,問圓柱內(nèi)最多能裝半徑為 R 的球多少個？ 解 最底層恰好能放兩個球,設(shè)為球O1和球O2,兩者相切,同時與圓柱相切,在球O1與球O2上放球O3與球O4,使O1O2與O3O4相垂直,且這4 個球任兩個相外切,同樣在球O3與球O4上放球O5與球O6,直到不能再放為止；先運(yùn)算過R2O3O4與過O1O2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為2 3R 2R；設(shè)共裝K 層,就22- 2 Rh. 證明 不妨設(shè)A 到面BCD 的高線長AH=h,AC與BD 間的距離 為d,作AF BD 于點(diǎn)F,CNBD 于點(diǎn)N,就CN/HF,在面BCD內(nèi)作矩形CNFE,連AE,由于BD

24、/CE,所以BD/ 平面ACE,所以BD 到面ACE 的距離為BD與AC間的距離d；在 AEF 中,AH為邊EF 上的高,AE 邊上的高FG=d,作EM AF 于M,就由EC/ 平面ABD 知,EM 為點(diǎn)C 到面ABD 的距離（因EM 面ABD）,于是EM AH=h；在RtEMF與Rt AHF 中,由EM AH得EF AF；又由于 AEH FEG,所以hAH AE AF EF 2；所dFG EF EF 以2dh. 注：在前面例題中除用到教材中的公理,定理外,仍用到了向量法,體積法,射影法,請讀者在解題中認(rèn)真總結(jié)；三,基礎(chǔ)訓(xùn)練題1正三角形ABC 的邊長 為個. 4,到A,B,C 的距離都是1 的

25、平面有2空間中有四個點(diǎn)E,F,G,H,命題甲：E,F,G,H 不共面；命題第 12 頁,共 17 頁乙：直線EF 和GH 不相交,就甲是乙 的條件；3動點(diǎn)P 從棱長為a 的正方體的一個頂點(diǎn)動身,沿棱運(yùn)動,每條棱至多經(jīng)過一次,就點(diǎn)P 運(yùn)動的最大距離為；+ 4正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F 分別是面ADD 1A1,面ABCD的中心,G 為棱CC1中點(diǎn),直 線C1E,GF 與AB 所成的角分別是 ,；就 =；5如a,b 為兩條異面直線,過空間一點(diǎn) 個；O 與a,b 都平行的平面有6CD是直角 ABC斜邊AB 上的高,BD=2AD,將 ACD繞CD旋轉(zhuǎn)使 二0 面角ACD B 為60 ,就

26、異面直線AC 與BD 所成的角為；7已知PA 平面ABC,AB 是O 的直徑,C 是圓周上一點(diǎn)且AC=1AB,2就二面角A PC B 的大小為；. . 8平面 上有一個 ABC,ABC=105,AC=262 ,平面 兩側(cè)各有一點(diǎn)S,T,使得SA=SB=SC=41,TA=TB=TC=,5就ST= 9在三棱錐S ABC 中,底面ABC,二面角A SB C 為直二面 SA 角,如BSC=45,SB=a,就經(jīng)過A,B,C,S 的球的半徑為10空間某點(diǎn)到棱長為1的正四周體頂點(diǎn)距離之和的最小值為. 11異面直線a,b 中意a/ ,b/ ,b/ ,a/ ,求證： / ；12四周體SABC 中,SA,SB,S

27、C 兩兩垂 直,ABC, SBC, SCA, SAB的面積,求證：S0,S1,S2,S3分別表示2 S 2 S 2 S S 2. 13正三棱柱ABCA1B1C1中,E 在棱BB1上,截面A1EC側(cè)面AA1C1C,（1）第 13 頁,共 17 頁求證：BE=EB 1；（2）如AA1=A1B1,求二面角EC-A1-B 1C1的平面角；四,高考水平訓(xùn)練題1三棱柱ABC-A 1B1C1中,M 為A1B1的中點(diǎn),N為B1C與BC 1的交點(diǎn),平面AMN交B1C1于P,就B P = . PC1 2. 空間四邊形ABCD中,AD=1,BC= 3,且 ADBC,BD= 13 ,AC= 2 3 ,2就AC 與BD

28、 所成的角為. 3平面 平面 , =直線AB,點(diǎn)C,點(diǎn)D,BAC=45,00BAD=60,且CD AB,就直線AB與平面ACD所成的角為. 4 單位正方體ABCD A1B1C1D1中,二面角A BD1 B1大小為. 5如圖12-13 所示,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A 在二面角 MN 的棱MN 上,點(diǎn)B,C,D 都在 上,且AB=2AD,DAN=45,BAD=60,如ABCD 在半平面 上射影為為菜,就二面角 MN = . 6已知異面直線a,b 成角為 ,點(diǎn)M,A 在a 上,點(diǎn)N,B 在b 上,MN 為公垂線,且MN=d,MA=m,NB=n；就AB 的長度為. 7已知正三棱錐S ABC 側(cè)棱長

29、為4,ASB=45,過點(diǎn)A 作截面與側(cè)棱SB,SC分別交于M,N,就截面 AMN 周長的最小值為. 8l 1 與l 2 為兩條異面直線,l 1 上兩點(diǎn)A,B 到l 2 的距離分別為a,b ,二面角Al2B 大小為 ,就l 1 與l 2 之間的距離為. 9在半徑為R 的球O 上一點(diǎn)P 引三條兩兩垂直的弦PA,PB,PC,就第 14 頁,共 17 頁P(yáng)A+PB+PC= . 10過 ABC 的頂點(diǎn)向平面 引垂 線就BAC與B1A1C1的大小關(guān)系是AA1,BB1,CC 1,點(diǎn)A1,B1,C1,. 0 0 011三棱錐ABCD中ACB=ADB=90,ABC=60,BAD=45,二面角A CD B 為直角

30、二面角；（1）求直線AC 與平面ABD 所成的角；（2）如M 為BC 中點(diǎn),E 為BD 中點(diǎn),求 AM與CE 所成的角；（3）二面角 M AE B 的大小；12四棱錐P ABCD 底面是邊長 為4的正方形,PD底面ABCD,PD=6,M,N 分別是PB,AB 的中點(diǎn),（1）求二面 角MDNC 的大小；（2）求異面直線CD 與MN 的距 離；13三棱錐SABC 中,側(cè)棱SA,SB,SC 兩兩相互垂直,M 為 ABC 的重心,D 為AB 中點(diǎn),作與SC 平行的直 線DP,證明：（1）DP 與SM相 交；（2）設(shè)DP 與SM 的交點(diǎn)為D,就D 為三棱錐S ABC 外接球球 心；五,聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

31、1現(xiàn)有邊長分別為3,4,5 的三角形兩個,邊長分別為4,5,41 的三角形四個,邊長分別為52 ,4,5 的三角形六個,用上述三角形為6面,可以拼成個四周體；2一個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a 的正三角形,這兩個多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個既約分?jǐn)?shù)m ,那么 nmn=；3已知三個平面 , 每兩個平面之間的夾角都是02,第 15 頁,共 17 頁且=a, b, c ,命題甲：3；命題乙：a,b,c 相交于一點(diǎn)；就甲是乙的條件；4棱錐M ABCD 的底面是正方形,且MA AB,假如 AMD 的面積為1,就能放入這個棱錐的最大球的半徑為. 5將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起,恰得到一個全部二面角都相等的六面體,并且該六面體的最短棱長為2,就最遠(yuǎn)兩個頂點(diǎn)間距離為；6空間三條直線a,b,c 兩兩成異面直線