復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂PPT市公開課獲獎?wù)n件

1、第二章 解析函數(shù)1 解析函數(shù)概念2 函數(shù)解析充要條件3 初等函數(shù)1第1頁第1頁1 解析函數(shù)概念1.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分2.解析函數(shù)概念2第2頁第2頁1. 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分存在, 則就說 f (z)在z0可導(dǎo), 此極限值就稱為 f (z)在 z0i ) 導(dǎo)數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù) w=f (z)定義于區(qū)域D, z0為D中一點, 點導(dǎo)數(shù), 記作不出D范圍。假如極限3第3頁第3頁也就是說, 對于任給時, 有, 存在, 使得當應(yīng)當注意, 定義中任意, 定義中極限值存在要求與無關(guān), 也就是說, 當都趨于同一個數(shù)。若 f (z)在D內(nèi)處處可導(dǎo), 就說 f (z)在內(nèi)可導(dǎo)。(即)方式是方式在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于

2、z0時, 比值4第4頁第4頁因此例1 求 f (z)=z2 導(dǎo)數(shù)。解 由于5第5頁第5頁例2 問 f (z)=x + 2yi 是否可導(dǎo)？解設(shè)沿著平行于 x軸直線趨向于 z，因而這時極限6第6頁第6頁設(shè)沿著平行于 x軸直線趨向于 z，因而這時極限因此 f (z)=x + 2yi 導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)沿著平行于 y軸直線趨向于 z，因而這時極限7第7頁第7頁ii)可導(dǎo)與連續(xù)容易證實, 在z0點可導(dǎo)函數(shù)必定在z0點連續(xù)。事實上, 由在z0點可導(dǎo)定義，對于任給相應(yīng)地有一個令則, , 使得當時, 有8第8頁第8頁由此得因此即在連續(xù)。iii) 求導(dǎo)法則 與實函數(shù)相同, 復(fù)變函數(shù)也有類似求導(dǎo)公式與法則，羅列下列：

3、, 其中c為復(fù)常數(shù)。, 其中n為正整數(shù)。9第9頁第9頁, 其中c為復(fù)常數(shù)。, 其中n為正整數(shù)。，其中，其中w = f (z)與是兩個互為反函數(shù)單值函數(shù)，且。10第10頁第10頁iv) 微分概念小量, 而設(shè)函數(shù)w =f (z)在z0可導(dǎo), 則有其中因此, 假如函數(shù)在z0微分存在, 則稱函數(shù) f (z)在z0可微。是高階無窮線性部是函數(shù)w=f (z) 改變量分, 稱為函數(shù)w = f (z)在點z0微分, 記作11第11頁第11頁即由此可見, 函數(shù)w = f (z)在z0可導(dǎo)與在z0可微是等價。尤其, 當f (z) = z時, 得。于是上式可變?yōu)槿鬴 (z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微, 則稱 f (z)在D

4、內(nèi)可微。12第12頁第12頁2. 解析函數(shù)概念定義 假如函數(shù) f (z)在z0及z0鄰域內(nèi)處處可導(dǎo), 則稱 假如 f (z)在 z0不解析, 則稱 z0為 f (z)奇點f (z)在z0解析, 若 f (z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析, 則稱 f (z)在D內(nèi)解析, 或稱 f (z)是 D內(nèi)一個解析函數(shù)(全純函數(shù)或由定義可知, 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價。但是, 函數(shù)在一點處解析和在一點處可導(dǎo)不等價。即, 函數(shù)在一點處可導(dǎo), 不一定在該點處解析。函數(shù)在一正則函數(shù))點處解析比在該點處可導(dǎo)要求要高得多。13第13頁第13頁例3 研究函數(shù)解和解析性。由解析函數(shù)定義與前面例題可知，在復(fù)平面內(nèi)是解析

5、，而卻是處處不解析。下面研究解析性。由于14第14頁第14頁假如，那么當時，上式極限是零。假如，令沿直線趨于，由于k 任意性，不趨于一個擬定值。因此當極限不存在。時，因此，僅在 z = 0 處可導(dǎo)，而在其它點都不可導(dǎo)，由定義，它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。15第15頁第15頁例4 研究函數(shù)解解析性。由于w在復(fù)平面內(nèi)除點z=0外處處可導(dǎo)，且因此在除 z = 0外復(fù)平面內(nèi)，函數(shù)處處解析，而z = 0是它奇點。16第16頁第16頁所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析, 任何一個和,差,積,商(除去分母為零點)在D內(nèi)解析。2) 設(shè) h=g (z)在 z平面上區(qū)域 D內(nèi)解析, w =f (h) 在 h平面上區(qū)域 G

6、 內(nèi)解析。假如對D內(nèi)每一個點 z, g (z) 相應(yīng)值 h 都屬于G, 則復(fù)合函數(shù) w= f g (z)在D內(nèi)有理分式函數(shù) P (z)/Q( z)在不含分母為零點區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù), 使分母為零點是它奇點。依據(jù)求導(dǎo)法則可知：定理 1) 在區(qū)域D內(nèi)解析兩個函數(shù) f (z)與g (z)解析。17第17頁第17頁2 函數(shù)解析充要條件18第18頁第18頁在工程中, 往往是要用復(fù)變函數(shù)來處理實際問題。而實際問題中碰到復(fù)變函數(shù), 通常都是某個實變函數(shù)延拓而來。即, 假如本來有一個實變函數(shù) f (x)，自變量是實數(shù), 函數(shù)值也是實數(shù), 則將x用一個復(fù)數(shù)代替，就產(chǎn)生了一個自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)。事實上我

7、們只關(guān)懷這樣復(fù)變函數(shù)。比如說實變函數(shù)經(jīng)常就是實變函數(shù)中基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù)。, 則相應(yīng)延拓復(fù)變函數(shù)就是19第19頁第19頁件。設(shè) f (z) = f (x+iy)=u (x, y)+iv (x, y)定義在區(qū)域D內(nèi), 且在D內(nèi)一點z=x + iy可導(dǎo)。，有判斷一個函數(shù)是否解析，假如只依據(jù)解析函數(shù)定義，往往比較困難。因此，需要尋找判斷函數(shù)解析簡便辦法。先考察函數(shù)在一點可導(dǎo)(或可微)應(yīng)當滿足什么條其中則對于充足小20第20頁第20頁令。由上式得從而有由于，因此。因此得知 u(x, y)和 v (x, y) 在(x, y)可微，并且滿足方程21第21頁第21頁這就是函數(shù) f

8、(z) = f (x + iy) =u (x, y) +iv (x, y)在區(qū)域D內(nèi)一點z = x + iy可導(dǎo)必要條件。并且滿足方程方程稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程 。事實上，這個條件也是充足。且也有下面定理：22第22頁第22頁定理一 設(shè)函數(shù) f (z)= u (x, y)+ i v (x, y)定義在區(qū)域D內(nèi), 而 f (z)在D內(nèi)一點 z=x + iy可導(dǎo)充足必要條件是:u (x, y)與v (x, y)在點(x, y)可微, 并且在該點滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程 。證 條件必要性上面已經(jīng)證實, 下面證充足性。充足性由于23第23頁第23頁

9、這里充足性由于又由于u (x, y)與v (x, y)在點(x, y)可微，可知24第24頁第24頁因此依據(jù)柯西-黎曼方程因此25第25頁第25頁或最后兩項都趨于零。因此這就是說, 函數(shù) f (z)= u(x, y)+ iv(x, y)在點z=x + iy處可導(dǎo)由于，故當趨于零時，上式右端26第26頁第26頁依據(jù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析定義及定理一，就可得由定理一可得函數(shù) f (z) = u (x, y)+ iv (x, y) 在點z = x + i y 處導(dǎo)數(shù)公式：到判斷函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析一個充要條件。定理二 函數(shù) f (z)= u(x,y) + i v(x,y)在其定義域D內(nèi)解析充要條件是 u(x

10、, y)與 v(x, y)在D內(nèi)可微, 并滿足柯西-黎曼方程。27第27頁第27頁這兩個定理是本章主要定理。不但提供了判斷函數(shù) f (z)在某點是否可導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)是否解析慣用辦法，并且給出了一個簡練求導(dǎo)公式。是否滿足柯西-黎曼方程是定理中主要條件。假如 f (z)在區(qū)域D內(nèi)不滿足柯西-黎曼方程，那么，f (z)在D內(nèi)不解析；假如在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程, 且u和v含有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么, f (z)在D內(nèi)解析。對于f (z)在一點z = x + iy可導(dǎo)性，也有類似結(jié)論。28第28頁第28頁例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：解不可導(dǎo), 處處不解析。1) 由于可知柯西-黎曼方程不滿

11、足, 因此在復(fù)平面內(nèi)處處29第29頁第29頁2) 由于柯西-黎曼方程成立, 由于上面四個偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù), 因此 f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo), 處處解析, 且有從而解例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：30第30頁第30頁3) 由容易看出，這四個偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，但僅當x=y=0時，, 得, 因此才滿足柯西-黎曼方程，因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo)，但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析。解例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：31第31頁第31頁1) 由于時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當解例 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：上處處可導(dǎo)，而在復(fù)平面上處處不解析。32第32頁第3

12、2頁2) 由于時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當解例 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：上處處可導(dǎo)，而在復(fù)平面上處處不解析。33第33頁第33頁例2 設(shè)函數(shù) 問常數(shù)a, b, c, d 取何值時, f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解 由于 從而要使只需因此, 當內(nèi)處處解析, 這時時, 此函數(shù)在復(fù)平面34第34頁第34頁例 設(shè)函數(shù) 問常數(shù)a, b, c 取何值時, f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解 先求 從而要使只需，因此, 因此，有35第35頁第35頁例 設(shè)解析函數(shù) 實部解 由于 又函數(shù)解析，則有即對求v關(guān)于y偏導(dǎo)數(shù)，得積分得，那么求 f (z)。則即因此有36第36頁第36頁

13、例3 假如因此u=常數(shù), v=常數(shù), 因而 f (z)在D內(nèi)是常數(shù)。證 由于在區(qū)域D處處為零, 則 f (z)在D內(nèi)為故一常數(shù)。37第37頁第37頁例4 假如 f (z) = u + iv為一解析函數(shù)，且 f (z)0，則曲線族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2為證 由于假如在曲線交點處 uy與 vy都不為零，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族中任一條曲線斜率分別為利用柯西-黎曼方程得和故 uy與 vy不全為零。常數(shù)。38第38頁第38頁例4 假如 f (z) = u + iv為一解析函數(shù)，且 f (z)0，則曲線族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交

14、，其中c1, c2為因此，二曲線族互相正交。假如uy與vy其中有一個為零，則另一個必不為零, 此時易知交點切線一條是垂直, 一條是水平,仍然正交。常數(shù)。證利用柯西-黎曼方程得39第39頁第39頁3 初等函數(shù).指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).乘冪與冪函數(shù).三角函數(shù)與雙曲函數(shù).反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)40第40頁第40頁1.指數(shù)函數(shù)內(nèi)也能定義一個函數(shù) f (z)含有ex三個性質(zhì):i) f (z)在復(fù)平面內(nèi)解析;前面例題中已經(jīng)知道, 函數(shù)是一個在復(fù)平面處處解析函數(shù), 且有時, f (z)=ex。f (z)稱為指數(shù)函數(shù)。記作實函數(shù)中指數(shù)函數(shù)是很特殊, 希望能夠在復(fù)平面ii) f (z)= f (z);iii) 當I

15、m(z)=0時, f (z)=ex, 其中x=Re(z)。, 當y=041第41頁第41頁等價于關(guān)系式：為整數(shù))由上式可知事實上, 設(shè)z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定義有跟ex同樣, exp z也服從加法定理：42第42頁第42頁鑒于exp z滿足條件iii)，且加法定理也成立，為了以便，往往用ez代替exp z。但必須注意，這里ez 沒有冪意義，僅僅作為代替exp z符號使用，因此就有由加法定理, 能夠推出exp z周期性。, 即尤其, 當x=0時, 有其中k為任何整數(shù)。這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)沒有。它周期是43第43頁第43頁2.對數(shù)函數(shù)因此和實變函數(shù)同樣，對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)

16、函數(shù)反函數(shù)。將滿足方程函數(shù)w = f (z)稱為對數(shù)函數(shù)。令, 則由于Arg z為多值函數(shù)，因此對數(shù)函數(shù) w = f (z)為多因此值函數(shù)，并且每兩個值相差整數(shù)倍,記作44第44頁第44頁假如要求上式中Arg z取主值arg z，則Ln z為一單值函數(shù)，記作ln z, 稱為Ln z主值, 因此有表示。對于每一個固定k，上式為一單值函數(shù), 稱為Ln z一個分支。而其余各值可由尤其, 當z= x 0時, Ln z主值ln z=ln x, 就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)。45第45頁第45頁例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它們相應(yīng)主值。解 由于, 因此它主值就是ln2。而(k為整數(shù)), 因此它主值是 。不再

17、成立。并且正實數(shù)對數(shù)也是無窮多值。 在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù), 此例闡明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)利用幅角性質(zhì)不難證實，復(fù)變數(shù)對函數(shù)函數(shù)保持了實變數(shù)對數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)：46第46頁第46頁例 求Ln (-i), Ln(-3+4i)以及它們相應(yīng)主值。解 由于因此它主值就是而(k為整數(shù)), 因此它主值是, 47第47頁第47頁但應(yīng)注意，與第一章中關(guān)于乘積和商輻角等式體是相同，還應(yīng)注意是，等式：不再成立，其中n為不小于1正整數(shù)。同樣，這些等式也應(yīng)理解為兩端也許取函數(shù)值全對數(shù)函數(shù)解析性 就主值ln z而言, 其中l(wèi)n|z|除原點外在其它點都是連續(xù)，而arg z在原點與負實軸上都不連續(xù)。48第48頁第48頁因此除去原

18、點與負實軸，在復(fù)平面內(nèi)其它點，lnz處處由于若設(shè) z = x+iy, 則當 z 0)時, 由于ab含有q個值, 即當k=0,1,.,(q-1)時相應(yīng)各個值。除此而外, 普通而論ab含有無窮多個值。52第52頁第52頁例2 求和值。解由此可見,是正實數(shù)，它主值是53第53頁第53頁例 求和值。解54第54頁第54頁例 求和值。解55第55頁第55頁時是與 an 次冪及an 次根定義是完全一致。應(yīng)當指出，定義，當b為正整數(shù)n及分數(shù)i) 當b 為正整數(shù)n 時，依據(jù)定義(指數(shù)n項)(因子n個)(因子n個)ii) 當b為分數(shù)時，有由于56第56頁第56頁ii)當b為分數(shù)時，有其中因此，假如 a = z為

19、一復(fù)變數(shù)，就得到普通冪函數(shù)，當b=n與時，就分別得到通常冪函數(shù)及zn 在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù), 且(zn)=nzn-1.57第57頁第57頁對數(shù)函數(shù)Ln z各個分支在除去原點和負實軸復(fù)平面內(nèi)是解析, 因而各個分支在除去原點和負實軸復(fù)平面內(nèi)也是解析，且有冪函數(shù)是一個多值函數(shù)，含有n個分支，又值函數(shù)，當b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，是無窮多值。同樣道理，它各個分支在除去原點和負實軸復(fù)平面冪函數(shù)(除去b=n與兩種情況外)也是一個多內(nèi)也是解析，并且有58第58頁第58頁4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值情形, 定義當z為實數(shù)時, 顯然這與上式完全一致。由歐拉公式有將這兩式相加與相減, 分別得到59第59頁第59頁為周期周期函數(shù), 因此cos z和sin z以由于ez是以也容易推出cos z是偶函數(shù), sin z是奇函數(shù)：又由