D9-4重積分的應(yīng)用課件

1、第四節(jié)一、立體體積 二、曲面的面積 三、物體的重心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的質(zhì)量 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 重積分的應(yīng)用 第九章 1. 能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從重積分定義出發(fā)建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫(huà)出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2. 用重積分解決問(wèn)題的方法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積 V . 解: 曲

2、面的切平面方程為它與曲面的交線(xiàn)在 xoy 面上的投影為(記所圍域?yàn)镈 )在點(diǎn)例1. 求曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *解法2利用三重積分換元法. 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無(wú)限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱(chēng)為面積元素)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

3、 結(jié)束 例4. 計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.解:設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法2 利用直角坐標(biāo)方程. 方法1 利用球坐標(biāo)方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的重心坐標(biāo)就近似該物體的重心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理可得則得形心坐標(biāo)：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6. 求位于兩圓和的重心. 解: 利用對(duì)稱(chēng)性可知而之間均勻薄片機(jī)動(dòng) 目

4、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例7. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線(xiàn)的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對(duì)稱(chēng)性可知重心在 z 軸上，采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為因此故自重, 求它的重心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類(lèi)似可得:對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例9.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五、物體的質(zhì)量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 提示:1、記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則(用極坐標(biāo)) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由題意知令得(小時(shí))因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).機(jī)動(dòng) 目