固體物理-第四章 能帶理論-3(新疆大學(xué)李強(qiáng)老師課件)

1、固體物理 Solid State Physics物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 李強(qiáng)2009. 1st termXinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似模型和微擾計(jì)算 電子受到粒子周期性勢場的作用,勢場的起伏較小。零級近似,用勢場的平均值代替離子產(chǎn)生的勢場。薛定諤方程周期勢場勢場平均值勢場起伏- 作為微擾處理Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(1) 零級近似下電子的能量和波函數(shù)零級哈密頓量薛定諤方程零級本征態(tài)波函數(shù)能量本征值周期邊界條件本征態(tài)波函數(shù)正交Xinjiang Univer

2、sity2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(2) 微擾下電子的能量和波函數(shù)哈密頓量哈密頓量微擾哈密頓量微擾下電子能量微擾下電子波函數(shù)Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(2) 微擾下電子的能量本征值微擾下電子能量(a) 一級能量修正(b) 二級能量修正矩陣元Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(2) 微擾下電子的能量本征值矩陣元引入積分變量易知因?yàn)?，Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由

3、電子近似(2) 微擾下電子的能量本征值(i) 當(dāng)則(ii) 當(dāng)上面的條件有一個(gè)不滿足，則Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(2) 微擾下電子的能量本征值因?yàn)?，?dāng)則當(dāng)否則為零此時(shí)Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(2) 微擾下電子的能量本征值當(dāng)當(dāng)二級能量修正微擾后，電子的能量Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(3) 微擾下的電子波函數(shù)微擾下電子波函數(shù)零級波函數(shù)波函數(shù)一級修正微擾下電子波函數(shù)- 為布洛赫

4、波Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(4) 簡并微擾 出現(xiàn)能隙微擾下，電子波函數(shù)電子能量當(dāng)時(shí), 波函數(shù)和能量發(fā)散。簡并微擾處理 簡并態(tài)波函數(shù)的能量：或出現(xiàn)能隙Xinjiang University2022/9/18倒格子空間4.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似簡并波函數(shù)的波矢或o三維晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值, 非簡并微擾不再適用, 導(dǎo)致出現(xiàn)能隙。布里淵區(qū)邊界Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似 以二維簡單正方晶格為例討論出現(xiàn)的簡并態(tài)波矢正格

5、子基矢相互影響的簡并態(tài)波矢:能量相同，即波矢的模相同；能夠相互影響的態(tài)的波矢必須滿足：倒格子基矢倒格子空間波矢空間中A和A點(diǎn)對應(yīng)的態(tài)出現(xiàn)簡并。Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似 以二維簡單正方晶格為例討論出現(xiàn)的簡并態(tài)波矢正格子基矢相互影響的簡并態(tài)波矢:能量相同，即波矢的模相同；能夠相互影響的態(tài)波矢必須滿足：倒格子基矢倒格子空間C1, C2, C3和C4點(diǎn)對應(yīng)的態(tài)出現(xiàn)簡并。Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似2 布里淵區(qū)和能帶在k空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面

6、畫出，k空間分割為許多區(qū)域，稱為布里淵區(qū)；每個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)Ek是連續(xù)變化的，形成能帶；而在布里淵區(qū)的邊界上能量E(k)發(fā)生突變，出現(xiàn)能隙。二維簡單正方晶格的布里淵區(qū)Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似2 布里淵區(qū)和能帶屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級構(gòu)成一個(gè)能帶；不同的布里淵區(qū)對應(yīng)不同的能帶；每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同, 為倒格子原胞的體積；每個(gè)布里淵區(qū)(能帶)所能容納的量子態(tài)數(shù)目為2N (計(jì)入自旋)。 一維晶格中，能帶彼此分開的。但三維晶格中，能帶可能發(fā)生重疊。Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子

7、運(yùn)動的近自由電子近似能帶的交疊 以二維簡單正方晶格為例說明能帶的交疊1011Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似能帶的交疊 第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)能帶的重疊Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似用簡約波矢表示電子能量和波函數(shù)波矢和簡約波矢的關(guān)系 用簡約波矢表示能量和波函數(shù)時(shí),必須同時(shí)指明所處的能帶。能量和波函數(shù)Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似3 幾種三維晶格的布里淵區(qū)(1) 簡單立方晶格正格子原胞基

8、矢倒格子原胞基矢倒格子仍為簡單立方格子簡單立方晶格的第一布里淵區(qū)Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(2) 體心立方晶格倒格子為面心立方格子第一布里淵區(qū)為正十二面體Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似體心立方第一布里淵區(qū)特殊點(diǎn)的標(biāo)記Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似(3) 面心立方晶格倒格子為體心立方格子第一布里淵區(qū)為截角八面體（8個(gè)正六邊形面，6個(gè)正方形面）Xinjiang University202

9、2/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似面心立方第一布里淵區(qū)特殊點(diǎn)的標(biāo)記布里淵區(qū)原點(diǎn)六方面中心L記為軸 - (111)方向四方面中心X記為軸 - (100)方向Xinjiang University2022/9/184.3 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似面心立方晶格軸的自由電子簡約能級圖又稱為空點(diǎn)陣簡約能級圖Xinjiang University2022/9/184.4 贗勢方法近自由電子模型中假定周期性勢場的起伏很小，可以將其看作是微擾，對一些金屬計(jì)算得到的能帶結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相符的。在實(shí)際的固體中，在原子核附近，庫侖吸引作用使周期性勢場偏離平均值很遠(yuǎn)，在離子實(shí)內(nèi)部勢場對電子波函數(shù)影響很大，其波函數(shù)變化劇烈。顯然勢場不能被看作是起伏很小的微擾勢場, 但近自由電子模型計(jì)算結(jié)果又與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常吻合，這樣的矛盾可以用贗勢方法來解決。Xinjiang University2022/9/184.4 贗勢方法近自由電子勢場模型nn+1n+2n-2n-1離子的勢能曲線離子