立體幾何空間位置關(guān)系系統(tǒng)復(fù)習(xí)考試

1、 /13NH/1DC由M是AB的中點(diǎn)，NH/AM,-2-即AMNH為平行四邊形MN/AH由MN丘平面PAD,AHu平面PAD,Z.MN/平面PAD.(2)連接AC并取其中點(diǎn)為O,連接OM,ON,:.OM:.OM/丄BC,ONZ/丄PA,22所以ZONM就是異面直線PA與MN所成的角，且MO丄NO由MN=BC=4,PA=4/3,得OM=2,ON=2、R所以ZONM=300,即異面直線PA與MN成30的角.【點(diǎn)撥】已知中點(diǎn)，牢牢抓住中位線得到線線平行，或通過(guò)找平行四邊形得到線線平行，再通過(guò)線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過(guò)解三

2、角形而得222平面與平面平行的判定自主探究學(xué)習(xí)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面平行的判定，理解兩個(gè)平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)1面面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行用符號(hào)表示為：UPbC=P詢“=Pn卩/aa/a,b/aJ-垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.平面a上有不在同一直線上的三點(diǎn)到平面卩的距離相等，則a與卩的位置關(guān)系是平行或相交.【經(jīng)典例題】【例1】判斷下列命題的真假，真的打叫”,假的打“x”

3、TOC o 1-5 h z平面a內(nèi)有一條直線與平面P平行，則a與P平行()平面a內(nèi)有兩條直線與平面P平行，則a與P平行()平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面P平行，則a與0平行()平面a內(nèi)有兩條平行直線與平面0平行，則a與0平行()平面a內(nèi)任一條直線與平面0平行，則a與0平行()【分析】依據(jù)面面平行的定義與判定定理進(jìn)行判斷.【解】(1)(x)；(2)(x)；(3)(x)；(4)(x)；(5)(7)點(diǎn)撥】可借助于教室中的長(zhǎng)方體模型進(jìn)行面面平行的判斷.【例2】已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：QD求證：平面MNQ平面PB

4、C【分析】利用平面與平面平行的判定定理進(jìn)行證明,可尋找滿足定理的5個(gè)條件.【證明】.PM：MA=BN：ND=PQ：QDMQ/AD,NQ/BP,而BPu平面PBC,NQ9平面PBC,NQ/平面PBC.又：ABCD為平行四邊形，BC/AD,:.MQ/BC,而BCu平面PBC,MQ9平面PBC,.ZMQ/平面PBC.由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面MNQ平面PBC【點(diǎn)撥】由比例線段得到線線平行,依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行,證得兩條相交直線平行于一個(gè)平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行.一般證“面面平面”問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)自主探究學(xué)習(xí)通過(guò)直觀感知、

5、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.a/a即：aupa/b.名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)1.如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行2.直線和平面平行的判定定理及性質(zhì)定理在解題時(shí)往往交替使用證線面平行往往轉(zhuǎn)化為證線線平行，而證線線平行又將轉(zhuǎn)化為證線面平行循環(huán)往復(fù)直至證得結(jié)論為止.【經(jīng)典例題】【例1】（1）直線a/b,a/平面a,則b與平面a的位置關(guān)系是.（2）A

6、是兩異面直線a,b外的一點(diǎn)，過(guò)A最多可作個(gè)平面同時(shí)與a,b平行【分析】當(dāng)直線b在平面a外時(shí)，b/a；當(dāng)直線b在平面a內(nèi)時(shí)，bua.（2）因?yàn)檫^(guò)A點(diǎn)分別作a,b的平行線只能作一條，（分別稱a,b）經(jīng)過(guò)a,b的平面也是惟一的.所以只能作一個(gè)平面；還有不能作的可能，當(dāng)這個(gè)平面經(jīng)過(guò)或b時(shí)，這個(gè)平面就不滿足條件了.【解】（1）b/a或bua.（2）1.【點(diǎn)撥】考慮問(wèn)題要全面，各種可能性都要想到，是解答本題的關(guān)鍵【例2】如右圖，平行四邊形EFGH的分別在空間四邊形ABCD各邊上，求證：BDII平面EFGH.【分析】欲證BD/平面EFGH,須證BD平行于平面內(nèi)一條直線，顯然，只要證BD/EH即可.【證明】J

7、EH/FG,EHW平面BCD,FGu平面BCD,EH/平面BCD又JEHu平面ABD,平面BCD門平面ABD=BD,EH/BD又JEHu平面EFGH,BDW平面EFGH,BD/平面EFGH【點(diǎn)撥】證明線面平行的轉(zhuǎn)化思維鏈?zhǔn)恰坝梢阎€線平行-線面平行-線線平行-線面平行”2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)自主探究學(xué)習(xí)通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：a/卩,丫

8、a二a,Y卩=bna/b其它性質(zhì)：a/卩,luanl/卩；a/卩,l丄anl丄卩；夾在平行平面間的平行線段相等.【經(jīng)典例題】【例1】已知三個(gè)平面a,卩，y，a卩丫，a,b是異面直線，a與a，卩，y分別交于A，B，C三點(diǎn)，b與a，卩，丫分別交于D，E,F三點(diǎn)，連接AF交平面卩于G,連接CD交平面卩于H,則四邊形BGEH必為.【分析】由a卩丫，a與AF相交于A有：BGu面ACF，:.BGIICF同理有：HECF，BGHE.同理BHGE，四邊形BGEH為平行四邊形.解】平行四邊形點(diǎn)撥】面面平行的性質(zhì)有三條，均應(yīng)熟記.【例2】如圖，已知正方體ABCD-ABCD中，面對(duì)角線AB，11111F，且BE=C

9、F求證：EF平面ABCD【分析】證明線面平行的根本問(wèn)題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，此時(shí)常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動(dòng)、補(bǔ)形等方法，本題可以用平行四邊形找平行線，也可以用面面平行的性質(zhì)定理【證明】證法一：過(guò)E，F(xiàn)分別作AB，BC的垂線，EM，F(xiàn)N分別交AB，BC于M，N，連接MN.BC上分別有兩點(diǎn)E、1A1EAMBBB丄平面ABCD，BB丄AB，BB丄BC，EM/BB、,BC上分別有兩點(diǎn)E、1A1EAMBFN/BB、，:EM/FN,/AB1=BC1，B1E=C1F,AAE=BF,又ZBAB=ZCBC=45,:.RtAAMERtABNF,EM=FN四邊形MNFE是平行四邊形，

10、EFMN又MNu平面ABCD,EF平面ABCD證法二：過(guò)E作EG/AB交BB1于G,連接GF,1=1,BE=CF,BA=CB，:-1-=1,FGBCBCBABB1111CBBB111_1_11又.EGhFG=G,ABBC=B,平面EFG平面ABCDb又EFu平面EFG,EF平面ABCD【點(diǎn)撥】在熟知線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)之后，空間平行問(wèn)題的證明，緊緊抓住“線線平行o線面平行o面面平行”之間的互相轉(zhuǎn)化而完成證明.23直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)231直線與平面垂直的判定自主探究學(xué)習(xí)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的判定，掌握

11、直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用定義和判定定理證明直線與平面垂直的關(guān)系掌握線面角的定義及求解1如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面a互相垂直，記作l丄a.l是平面a的垂線，a是直線l的垂面，它們的唯一公共點(diǎn)P叫做垂足.2直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直.符號(hào)語(yǔ)言表示為：若l丄m，l丄n，mAn=B,mua,nua,則l丄a名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)斜線和平面所成的角，簡(jiǎn)稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角.求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過(guò)解直角三角

12、形求解，可以簡(jiǎn)述為“作（作出線面角）-證（證所作為所求）-求（解直角三角形）”.通常，通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.斜線和平面所成的角的范圍是（xI0a90。.【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐PABC中，PA丄BC，PB丄AC，PO丄平面ABC,垂足為O,求證：O為底面ABC的垂心.【分析】可證O為三角形ABC的兩條高線的交點(diǎn).【證明】連接OA、OB、OC,：PO丄平面ABC,PO丄BC,PO丄AC又：PA丄BC，PB丄AC，BC丄平面PAO，AC丄平面PBO，得AO丄BC，BO丄AC,O為底面ABC的垂心.【點(diǎn)撥】此例可以變式為“已知PA丄BC,PB丄A

13、C，求證PC丄AB”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到OC丄AB后進(jìn)行證明.三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，也可按同樣的思路證出.SC丄平面AEFG.【例2】如圖，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD,過(guò)A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分別于點(diǎn)E,F,G，求證：AE丄SB，AGSC丄平面AEFG.【分析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想由于圖形的對(duì)稱性，所以兩個(gè)結(jié)論只需證一個(gè)即可欲證AE丄SB，可證AE丄平面SBC，為此須證AE丄BC,AE丄SC，進(jìn)而轉(zhuǎn)化證明BC丄平面SAB,【證明】：SA丄平面ABCD,BCu平面ABCD,SA丄BC.又：ABCD為正

14、方形BC丄AB.BC丄平面ASB：AEu平面ASBBC丄AE.又：SC丄平面AEFGSC丄AE.AE丄平面SBC.又：SBu平面SBC，AE丄SB，同理可證AG丄SD.【點(diǎn)撥】（1）證明線線垂直，常用的方法有：同一平面內(nèi)線線垂直、線面垂直的性質(zhì)定理，三垂線定理與它的逆定理，以及與兩條平行線中一條垂直就與另一條垂直.（2）本題的證明過(guò)程中反復(fù)交替使用“線線垂直”與“線面垂直”的相互聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化思想的優(yōu)越性2.3.2平面與平面垂直的判定自主探究學(xué)習(xí)通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面垂直的判定，正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個(gè)平面互相垂

15、直”的概念；理解平面與平面垂直的判定定理并會(huì)用判定定理證明平面與平面垂直的關(guān)系，會(huì)用所學(xué)知識(shí)求兩平面所成的二面角的平面角的大小.定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.記作二面角a-AB卩.(簡(jiǎn)記PABQ)二面角的平面角：在二面角al卩的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面a,卩內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的ZAOB叫做二面角的平面角.定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作a丄卩.判定：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)1.

16、二面角al卩的大小二面角al卩的大小是用它的平面角來(lái)度量的，以點(diǎn)O為垂足，在半平面a,卩內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,在做二面角的平面角時(shí)，一定要有“OA丄l”,OB丄l；ZAOB的大小與點(diǎn)O在1上位置無(wú)關(guān).當(dāng)二面角的平面角是直角時(shí)，這兩個(gè)平面互相垂直.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，它們所成的角與二兩角的平面角互補(bǔ).【經(jīng)典例題】【例1】已知兩條不同直線m,l,兩個(gè)不同平面a,0，給出下列命題：若l垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，則l丄a；若la，則l平行于a內(nèi)的所有直線；若mua,lu0且l丄m，則a丄0；若lu0,l丄a,則a丄0；若mua,lu0且a0，則ml；其中正確命題的序號(hào)是.(

17、把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)【分析】若l垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，貝丄a，正確；若la，貝”平行于a內(nèi)的所有直線，1與a還有可能異面；若mua,lu0且l丄m，則a丄0,a與0還有可能平行或不垂直的相交；若lu0,l丄a,則a丄0，正確；若mua,lu0且a0，則ml,m與1還有可能異面;解】【點(diǎn)撥】根據(jù)線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷.【例2】如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E是CC的中點(diǎn),11111求證：平面ABD丄平面BED.1【分析】可證兩個(gè)平面所成的二面角是直角.【證明】連接AC,交BD于F,連接AF,EF,AE,AC1111由正方體ABCD-ABCD，易得AD=AB,

18、ED=EB,F是BD的中點(diǎn)，所以111111AF丄BD,EF丄BD，得到ZAFE是二面角A-BD-E的平面角.111設(shè)正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為2,貝VTOC o 1-5 h z1111LIAF2=AA2+AF2=2+(丟=6,EF2=CE2+CF2=12+(丟=3,11_AE2=AC2+CE2=(22)2+12=9111AF2+EF2=AE2，即AF丄EF，所以平面ABD丄平面BED【點(diǎn)撥】要證兩平面垂直,證其二面角的平面角為直角,這也是證兩平面垂直的常用方法此題由幾何圖形的特征，作出待證的兩個(gè)垂直平面所成二面角的平面角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵233直線與平面垂直的性質(zhì)自主探究學(xué)習(xí)通過(guò)直觀感知

19、、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)，掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理；能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；了解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)1線面垂直性質(zhì)定理的符號(hào)語(yǔ)言：a丄a,b丄ana/b2如果兩個(gè)平面都和一條直線垂直，那么這兩個(gè)平面平行【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐P-ABC中，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，PO丄平面ABC,垂足為O,求證：O為底面ABC的內(nèi)心.【分析】可證點(diǎn)O到底面ABC的三邊的距離相等.【證明】作PD丄AB于D,PE丄BC于E,PF丄AC于F,JPO丄平面ABC,PO丄O

20、D,PO丄OE,PO丄OF,PO丄AB,PO丄BC,PO丄AC又JPD丄AB,PE丄BC,PF丄AC,AB丄平面PDO,BC丄平面PEO,AC丄平面PFO得OD丄AB,OE丄BC,OF丄AC,ZPDO,ZPEO,ZPFO為三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角的平面角即得ZPDO=ZPEO=ZPFO,JPO邊公共，APDO=ZPEO=ZPFO，得OD=OE=OF,又JOD丄AB,OE丄BC,OF丄ACO為底面ABC的內(nèi)心.【點(diǎn)撥】這里用到了證明垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想，即“線線垂直-線面垂直-線線垂直”.上述結(jié)論對(duì)于一般棱錐也成立，即棱錐的各側(cè)面與底面所成二面角均相等，或棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊的距離相等，貝頂點(diǎn)在

21、底面上的射影為底面多邊形的內(nèi)切圓的圓心【例2】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄平面ABCD,PD=DC,E是PC中點(diǎn)，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA/平面EDB；證明：PB丄平面EFD；PB求二面角C-PB-D的大小.PB【分析】(1)用線面平行的判定定理，在平面EDB中找與PA平行的直線；(2)用線面垂直的判定定理，在平面EFD中找與PB垂直的兩條相交直線；(3)先依據(jù)二面角的定義找出二面角C-PB-D的平面角，再證明并求出來(lái).【解】(1)證明：連接AC交BD于O,連結(jié)EO.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn).在APAC中，EO是中位線，所以PA/E0.而EOu平面EDB且PA乞平面EDB，PA/平面EDB.(2)因?yàn)镻D丄底面ABCD且DCu底面ABCD，.PD丄DC，又PD二DC，APDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線,.DE丄PC同理可得PD丄BC.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，有DC丄BC，PBBC丄平面PDC.PB而DEu平面PDC，.BC丄DE由和推得：DE丄平面PBC.而PBu平面PBC，.PB丄DE，又EF丄PB且DEEF二E，.PB丄平面EFD.(3)由(2)知PB丄DF,故ZEFD是二面角C-PB-D的平面角.由(2)知DE丄EF，PD丄DB.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則PD=DC=a，BD=、：2a,P