電磁場習(xí)題解答

1、第二章習(xí)題解答2.1 一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為P = -：，U0d43x43 ,式中陰9極板位于x =0 ,陽極板位于x = d ,極間電壓為U0。如果U0 =40V、d =1cm、橫截面S=10cm2,求：(1) x=0和x = d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q; (2) x = d/2和 x = d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q。d A解(1)Q= Pd.= (-4 ；0U0d3xN3)Sdx = 一 ；0U0S =-4.72 10解(1)093d(-4(-4 ；0U0d3x3)Sdx =d2 941_/1八-二（1 - 1 ） ；0U0S = -0.97 101c3d 3 22.2 一個體密度為P=

2、2.32M10，C/m3的質(zhì)子束，通過1000V的電壓加速后 形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑九 2mm ,束外沒有電荷 分布，試求電流密度和電流。 TOC o 1-5 h z 2719 .解 質(zhì)子的質(zhì)重m =1.7父10 kg、電重q=1.610 C。由2mv = qUv = , 2mqU =1.37 106 m. s J - Pv =0.318 A m2 I = J (d： 2)2 =10”AQ的電荷，球體以勻角速設(shè)球內(nèi)任一點P的位置矢一個半徑為aQ的電荷，球體以勻角速設(shè)球內(nèi)任一點P的位置矢解 以球心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸 量為r,且r與z軸的夾角為e,則P點的線

3、速度為v = r = e伊 r sin 二球內(nèi)的電荷體密度為二二 Q3 34 二 a4 二 a3 3 r sin 二-eRrsin 4 二 a32.4徑旋轉(zhuǎn),解一個半徑為a的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q,同樣以勻角速度與繞2.4徑旋轉(zhuǎn),解以球心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球面上任一點P的位置矢量為r ,且r與z軸的夾角為0 ,則P點的線速度為 v - r = e”t a sin 二球面的上電荷面密度為4 二 a2.Q - Q rJ S = v = e ; a sin 二-e sin -S4二 a24二 a兩點電荷q1 =8C位于z軸上z = 4處，q2 = -4c位于y軸上y = 4處,求(4

4、,0,0)處的電場強度。解 電荷qi在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為qir12 ex4 一04E1 二3 二一34n/ r -r；%(4爽)電荷q2在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為E q2r -r21 ex4 -ey424腌0 r -r2 3成0 (4物3故(4,0,0)處的電場為exey - ez232.2二；。2.6 一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷 H ,求垂直于圓平面的軸線上z = a處的 電場強度E (0,0, a),設(shè)半圓環(huán)的半徑也為a ,如題2.6圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元RdlJRad但在軸線上z = a處的電場強度為：i8,2二；0dE =4二；0 (. 2a)3：i8,2二；0dE

5、 =4二；0 (. 2a)3ez - (ex cosey sin ).d 在半圓環(huán)上對上式積分, 為：lE (0,0, a) = d E二 2二；0a :；2得到軸線上z = a處的電場強度ez - (ex cos eysin )d;Pi(ez二- ex2)8 J 2二；0a題2題2.7圖2.7三根長度均為L,均勻帶電荷密度分別為 片、%和地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)匕1 = 2% = 2耳3,計算三角形中心處的電場 強度。解 建立題2.7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為d =Ltan30 = L 則 TOC o 1-5 h z 26(cos30 -cos150) =ey-j4 二；0d

6、y2二;0LE2 =-(excos30 eysin30):J =-(ex13 ey)-jr 2二;0L8二;0LE3 = (excos30 -eysin30)13 =(q . 3 -ey)112二;0L8 二;0L故等邊三角形中心處的電場強度為E =E1 E2 E3 =ey之 m3 0)a(e、? ey)* e，念.8 點電荷+q位于(-a,0,0)處，另點電荷-2q位于(a,0,0)處，空間有沒有電場強度E =0的點？q ex(x a) ey/ /zq ex(x a) ey/ /zEi4則0 (x + a)2 + y2 +z232電荷-2q在(x, y, z)處產(chǎn)生的電場為2q ex(x-a

7、) eyy ezz TOC o 1-5 h z E2222,3 24 二；0 (x -a) y z (x,y,z)處的電場則為E=Ei+E2o令E =0,則有ex(x a) eyy ezz _ 2eX(x - a) eyy ezz7222T3T = 7222 42(x a) y z (x - a)y z 由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到22 2r3 2222r3 2(x a)(x -a) y z = 2(x - a)( x a) y z y(x - a)2 + y2 +z232 = 2y(x + a)2 + y2 + z232222 3 2222 3 2z( x - a) y z = 2z( x

8、 a) y z 當(dāng)y#0或z#0時，將式或式代入式，得a = 0。所以，當(dāng)y#0或 z#0時無解；當(dāng)y = 0且z = 0時，由式，有(x a)(x-a)3 =2(x-a)(x a)3解得x =(-3-2,2) a但x = -3a+2j2a不合題意，故僅在(-3a-2&a,0,0)處電場強度E =0。. 9 一個很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為 。證明：垂直于平面 的z軸上z=z0處的電場強度E中，有一半是有平面上半徑為J70的圓內(nèi)的電荷產(chǎn) 生的。解 半徑為r、電荷線密度為耳=dr的帶電細(xì)圓環(huán)在z軸上z=z0處的電場強度為d E =ed E =ezr。20 d r2；(r2 z2)32題2

9、.10題2.10圖故整個導(dǎo)電帶電面在z軸上z = z0處的電場強度為cQ TOC o 1-5 h z 匚丁 ；r%dr仃百 1三E 叭%”2)32 -WT2。z2樂而半徑為 后z的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z = z0處的電場強度京 z0rr%dr_仃 z01_ 仃 1 LE -% J % / 2+ 232 - -ez Q z2 + 2x12- e 小 - o E0 2%(r z0)2% (r Z0) 047 22.10 一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q,當(dāng)球體以均勻角速度仍繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題 2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強度B。解球面上的電荷面密度為Q當(dāng)球體以均勻角速度 繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，

10、球面上位置矢量 r=ea點處的電流 面密度為JS = ov 父r =aez xera =-Qsin.Qd I = JS dl =Qd I = JS dl =sin 二 d 二 Sdl =adB細(xì)圓環(huán)的電流為4 二細(xì)圓環(huán)的半徑為b = asinH ,圓環(huán)平面到球心的距離d=acos9 ,利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式,則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為軸線上的磁場公式,則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為ezez0b2dIez 2(b2 d2)320Qa2sin36 d6ez 8n (a2 sin2 g +a2 cos2 6)3 2故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為2.11兩個半徑為故整個球面電流

11、在球心處產(chǎn)生的磁場為2.11兩個半徑為b、同軸的相同線圈,0 Qsin r0 QB =ez nd i - ez08 二 a6 二 a各有N匝，相互隔開距離為d ,如題2.11圖所示。電流題2.11圖所示。電流I以相同的方向流過這兩個線圈。(1)求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度 B = exBx ；證明：在中點處dBx/dx等于零；22求出b與d之|可的關(guān)系，使中點處d Bx/dx也等于零。(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度_(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度_0Ia2B=e z2(a2 z2)32得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為B a hNIb2x (bd2 4)32d2d2 B

12、x150NIb2x230NIb2=:十(2)兩線圈的電流在其軸線上x (0 x ,Fr =3 Plp24 二；0r4(sin n sin 出 cos - 2cos,cos*)式中 xr,0 xr, P2 ,4是兩個平面(r, r)和(r, p2)間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？ 偶極子Pi在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為E邛-馬4二；0 r r所以R與P2之間的相互作用能為We - - P2L E1 i 3( Pi r)(P2 Lr) p ,P2因為 e xr, ra, % xr, P2A,則p l_r = arcosp2 |_r = p2 r cos12又因為小是兩個平面

13、(r,)和“,P2)間的夾角，所以有2(r pj)|_(r p2)=r p1P2sinsin 12cos另一方面，利用矢量恒等式可得(r Pi山r P2) H( r Pi) r_6 =r2( Pi LP2) -(r_pi)(rLp2)r2pi -(r|_pi)rP2 =R p2 cos? cosu2,1(Pi LP2) = (rPi)L(rP2) - (rJpi)(rLp2)lrp1P2 sinsin 12 cos一-.RP2于是得到We3 (sin w sin % cos - 2coscos%)4 二；0r故兩偶極子之間的相互作用力為Fr J二 rpip2. c . d , 1、q fons

14、t =(sin W sin2 cos - 2coscos)()=4 ；0dr r3Plp (sinsin%cos - 2coscos2)4二；0r由上式可見，當(dāng)W =e=0時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14兩平行無限長直線電流Ii和I2, 的安培力F m。相距為d ,求每根導(dǎo)線單位長度受到解 無限長直線電流Ii產(chǎn)生的磁場為直線電流I2每單位長度受到的安培力為iFmi2 =.ezBidz - -ei20：0I 11 2式中皿是由電流Ii指向電流12的單位矢量.單位長度受到的安培力為同理可得，直線電流Ii每單位長度受到的安培力為匚=_匚 WkF m21 F m12 ei2 八,2二

15、 d一根通電流Ii的無限長直導(dǎo)線和一個通電流I2的圓環(huán)在同一平面上,圓心與導(dǎo)線的距離為d ,如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力 為Fm = J0I1I2(sec： -1)這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。解 無限長直線電流I1產(chǎn)生的磁場為圓環(huán)上的電流元12 d I2受到的安培力為d Fm =I2d I2 B1 =d 12 ey-0-22 二 x由題2.15圖可知d 12=(-exsin 由題2.15圖可知所以J0aI1I 20所以J0aI1I 20 2 二(d a cos)(-ez sin【-ex cos i)d =J0aI1I2cos 二0 (d acosi)-0aI-0aI 11 2a a . d2 -a2)=-exjolil2(sec： -1)故得到j(luò),)E(故得到j(luò),)E(r)證明在不均勻的電場中，某一電偶極子 P繞坐標(biāo)原點所受到的力矩為 r x( pV)E +px