上海市上師大附中2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，弦過，若的內(nèi)切圓的周長為， 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ，則（ ）ABCD2定義在上的函數(shù)滿足,則不等式的解集為( )ABCD3對于實數(shù)x，符號x表示不超

2、過x的最大整數(shù)，例如=3，1.08=2，定義函數(shù)f（x）=xx，則下列命題中正確的是函數(shù)f（x）的最大值為1； 函數(shù)f（x）的最小值為0；方程有無數(shù)個根； 函數(shù)f（x）是增函數(shù)ABCD4在中，若，則此三角形解的個數(shù)為（）A0個B1個C2個D不能確定5（）A2B4C2D46已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（ ）ABCD7某同學(xué)將收集到的6組數(shù)據(jù)對，制作成如圖所示的散點(diǎn)圖（各點(diǎn)旁的數(shù)據(jù)為該點(diǎn)坐標(biāo)），并由這6組數(shù)據(jù)計算得到回歸直線 ：和相關(guān)系數(shù)現(xiàn)給出以下3個結(jié)論：；直線恰過點(diǎn)；其中正確結(jié)論的序號是（ ）ABCD8若，則的大小關(guān)系為ABCD9給出命題零向量的長度為零，方向是任

3、意的若，都是單位向量，則向量與向量相等若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線以上命題中，正確命題序號是（ ）ABC和D和10已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)和雙曲線A3B3C5D511執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（ ）ABCD12觀察下列各式：則（）A28B76C123D199二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若，則_14若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值_15化簡_16已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）（1）已知矩陣的一個

4、特征值為，其對應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個特征值.（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：的最小距離.18（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），為曲線上的動點(diǎn)，動點(diǎn)滿足（且），點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；（2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，已知面積的最大值為，求的值.19（12分）在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成

5、績在內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有3名選手進(jìn)入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望20（12分）已知復(fù)數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求；（2）若，求.21（12分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），且直線交曲線于，兩點(diǎn)（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并求時，的長度；（2）已知點(diǎn)，求當(dāng)直線傾斜角變化時

6、，的范圍22（10分）若的展開式中，第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列（1）求的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G連接AG，BG，GF1設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1r=，解得r=可得=|F1F1|，即可得出【詳解】由橢圓=1，可得a=5，b=4，c=2如圖所示，設(shè)ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G連接AG，BG，GF1設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1r=，解得r=則=|F1F1|，4a=|y1y1|1c，|y1y1|=故選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

7、程定義及其性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2、B【解析】由已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+lnx，求導(dǎo)，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可的解集【詳解】令g(x)=f(x)+lnx (x0) ，則g(x)= ，又函數(shù)滿足，g(x)= ，g(x)在單調(diào)遞增.，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，則不等式成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)綜合，一般采用構(gòu)造函數(shù)法，求導(dǎo)后利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)特殊值解出不等式所對應(yīng)的區(qū)間即可，屬于中等題.3、A【解析】本題考查取整函數(shù)問題，在解答時要先充分理解x的含義，

8、根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析可得結(jié)果【詳解】畫出函數(shù)f(x)=xx的圖象，如下圖所示由圖象得，函數(shù)f(x)的最大值小于1，故不正確；函數(shù)f(x)的最小值為0，故正確；函數(shù)每隔一個單位重復(fù)一次，所以函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，故正確；函數(shù)f(x)有增有減，故不正確故答案為【點(diǎn)睛】本題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解4、C【解析】判斷的大小關(guān)系，即可得到三角形解的個數(shù).【詳解】,即，有兩個三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷三角形解的個數(shù)問題，屬于簡單題型.5、A【解析】根據(jù)題意，先利用定積分性質(zhì)可得，然后利用微積分基本定理計算，利用定

9、積分的幾何意義計算，即可求出答案。【詳解】因為，所以，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用定積分的性質(zhì)、幾何意義以及微積分基本定理計算定積分。6、B【解析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因為當(dāng)時，所以當(dāng)時，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.7、A【解析】結(jié)合圖像，計算，由求出，對選項中的命題判斷正誤即可得出結(jié)果.【詳解】由圖像可得，從左到右各點(diǎn)是上升排列的，變量具有正相關(guān)性，所以，正確；由題中數(shù)據(jù)可得: ，所以回歸直線過點(diǎn)，正確；又，錯誤.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸分析，以及變量間的相關(guān)性，熟記

10、線性回歸分析的基本思想即可，屬于?？碱}型.8、A【解析】利用作差比較法判斷得解.【詳解】，故.，所以aab.綜上，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查作差比較法比較實數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知正確錯誤，由向量的表示方法可知錯誤，由共線向量的定義和四點(diǎn)共線的意義可判斷錯誤【詳解】根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；與向量互為相反向量，故錯誤；若與是共線向量，那么 可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故錯誤，故選A.【點(diǎn)

11、睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個向量方向相同或相反，這兩個向量對應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以不在一條直線上，實際上共線向量就是平行向量10、A【解析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得到雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用m=a2【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，則雙曲線的右焦點(diǎn)為2,0，則m=22【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線、雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】讀懂流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，當(dāng)時，得到的值.【詳解】根據(jù)流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，輸入，因為2019除以4余3，經(jīng)過多次循環(huán)后，再經(jīng)過一次循環(huán)后滿足的條件，輸出【點(diǎn)睛】流

12、程圖的簡單問題，找到循環(huán)規(guī)律，得到的值，得到輸出值.屬于簡單題.12、C【解析】試題分析：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1，3，4，7，11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第十項繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十項為123，即考點(diǎn)：歸納推理二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】去括號化簡，令虛部為0，可得答案.【詳解】，故答案為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)為實數(shù)的等價條件.14、【解析】設(shè)復(fù)數(shù),由可得,即.將轉(zhuǎn)化為和到拋物線動點(diǎn)距離和,根據(jù)拋物線性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù) 即

13、 整理得: 是以焦點(diǎn)為的拋物線.化簡為:轉(zhuǎn)化為和到拋物線動點(diǎn)距離和.如圖.由過作垂線,交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn).交拋物線于點(diǎn)根據(jù)拋物線定義可知, ,根據(jù)點(diǎn)到直線,垂線段最短,可得: 的最小值為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查與復(fù)數(shù)相關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題,解本題的關(guān)鍵在于確定出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡,利用數(shù)形結(jié)合思想求解,考查分析問題的和解決問題的能力.15、.【解析】分析：利用，逆用二項式定理求和，再根據(jù)展開式特點(diǎn)結(jié)合棣莫弗定理求值.或者構(gòu)造和的二項式展開式求和，再利用和周期性解決問題. 詳解：方法一：因為 展開式中所有有理項的和，又因為，所以展開式中所有有理項的和為，因此.方法二：原式= +可得： 點(diǎn)睛：展

14、開式的應(yīng)用：可求解與二項式系數(shù)有關(guān)的求值，常采用賦值法.有關(guān)組合式的求值證明，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項式，并將它展開進(jìn)行分析判斷. 16、6【解析】這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列其中中間的兩個數(shù)為4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x6，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，填6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2） .【解析】（1）由矩陣運(yùn)算，代入可求得或，即求得另一個特征值。（2）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，實現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化?！驹斀狻浚?）由得：， 矩陣的特征多項式為，令，得，解得或所以矩陣的另一個特征值為 （2）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系因為，所以

15、， 將其化為普通方程，得 將曲線：化為普通方程，得 所以圓心到直線的距離 所以到直線的最小距離為【點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。18、（1）見解析；（2）2【解析】分析：（1）設(shè)，根據(jù)，推出，代入到，消去參數(shù)即可求得曲線的方程及其表示的軌跡；（2）法1：先求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再求出直線的普通方程，再根據(jù)題設(shè)條件設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值；法2：將，代入，即可求得，再根據(jù)三角形面積公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值.詳解：（1）設(shè)，由得.在上即（為參數(shù)），消

16、去參數(shù)得.曲線是以為圓心，以為半徑的圓.（2）法1：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.直線的普通方程為，即.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時，的最大值為.法2：將，代入并整理得：，令得.當(dāng)時，取得最大值，依題意，.點(diǎn)睛：本題主要考查把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在引進(jìn)參數(shù)和消去參數(shù)的過程中，要注意保持范圍的一致性；在參數(shù)方求最值問題中，將動點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件列出三角函數(shù)式，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求最值，注意求最值時，取得的條件能否成立.19、（1），82；（2）見解析【解析】（1）由頻率分布直方圖面積和為1，可求得取每個矩形的中點(diǎn)與概率乘積和求得平均數(shù)（2）由二項分布求得分布列與數(shù)學(xué)期望【詳解】

17、1由題意：，估計這200名選手的成績平均數(shù)為2由題意知， X B (3,1/3)，X可能取值為0，1，2，3，所以X的分布列為 ：X的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立性檢驗，意在考查離散型隨機(jī)變量的分布列期望和獨(dú)立性檢驗等基礎(chǔ)知識的掌握能力，考查學(xué)生基本的運(yùn)算推理能力.20、（1）；（2）或1-2i.【解析】分析：（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義得到，解不等式組即得a的值.(2)由題得，解之得a的值，再求.詳解：（1）若是純虛數(shù)，則，所以（2）因為，所以，所以或.當(dāng)時，當(dāng)時，.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2) 復(fù)數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b0漏掉了.21、 (1)(2)【解析】分析：（1）聯(lián)立直線和橢圓方程得到，由點(diǎn)點(diǎn)距離公式得到AB的長度；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到t的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到范圍.詳解：（1）曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），曲線的普通方程為 當(dāng)時，直線的方程為， 代入，可得，.；（2）直線參數(shù)方程代入，得 設(shè)對應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)睛：這個題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，以及極坐標(biāo)中極徑的幾何意義，極徑代表的是曲線上的點(diǎn)到極點(diǎn)的距離，在參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中，能表示距離的量一個是極徑，一個是t的幾何意義，其中極