復變函數(shù)第四講市公開課獲獎?wù)n件

1、 1. 指數(shù)函數(shù) 2. 對數(shù)函數(shù) 3. 乘冪與冪函數(shù) 4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 5. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)23 初等函數(shù)第1頁第1頁 23 初等函數(shù)本節(jié)將微積分初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)情形，給出基本初等函數(shù)定義，研究這些基本初等函數(shù)性質(zhì)，并闡明它解析性。由此能夠得到初等函數(shù)相關(guān)性質(zhì)。第2頁第2頁1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)定義 2.3.1指數(shù)函數(shù)概念第3頁第3頁(3) 當I m (z)=0，即z=x R時，注 此性質(zhì)表明復指數(shù)函數(shù)是實指數(shù)函數(shù)推廣，因此我們能夠簡記注 由此性質(zhì)可得到Euler公式：第4頁第4頁例1例2例3 周期性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有。第5頁第5頁2. 對數(shù)函數(shù)定義2.3.2 指

2、數(shù)函數(shù)反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，對數(shù)概念注 由定義知Ln z與 互為反函數(shù)。另一方面由周期性可知Ln z是多值函數(shù) 。對數(shù)表示式第6頁第6頁證實對數(shù)主值支 對于多值函數(shù)，通常研究辦法是將其分支化，引入主值概念。第7頁第7頁 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)注 由此性質(zhì)可知，對數(shù)主值 是實對數(shù)推廣。 各個分支與主值 相差常數(shù)2i整數(shù)倍，因此只須將 性質(zhì)弄清楚，就掌握了 各個分支性質(zhì)。下面僅討論 性質(zhì)。第8頁第8頁 對于多值函數(shù)，復對數(shù)函數(shù) 保持實對數(shù)一些運算性質(zhì)：值得注意是下列式子并不成立:例4負數(shù)在復變函數(shù)中能夠求對數(shù),但是零不能求對數(shù)第9頁第9頁3. 乘冪與冪函數(shù) 乘冪定義2.3.3 多值普通為多值第10頁第10

3、頁 q個值例第11頁第11頁解第12頁第12頁 (2) 當b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a n次根意義一致。 (1) 當b=n(正整數(shù))時，乘冪ab與a n次冪意義一致。第13頁第13頁 冪函數(shù)定義2.3.4冪函數(shù)性質(zhì) w=zn 在整個復平面上或去掉原點復平面是單值解析函數(shù).單值性和多值性第14頁第14頁w=zn反函數(shù)解析性第15頁第15頁4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)定義2.3.5 定義三角函數(shù)下列： 定義雙曲函數(shù)下列：第16頁第16頁正弦與余弦函數(shù)性質(zhì)第17頁第17頁 用定義能夠驗證上述加法定理以及其它三角恒等式，如倍角公式、誘導公式等等，并由此能夠得到下列性質(zhì)。第18頁第18頁雙曲正弦與雙曲余弦函數(shù)性質(zhì)雙曲函數(shù)含有完全類似于三角函數(shù)性質(zhì)。第19頁第19頁 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)不再含有有界性。實雙曲函數(shù)不含有周期性。第20頁第20頁5. 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù) 以反余弦函數(shù)為例進行討論，其余反函數(shù)研究方式完全類似。反余弦函數(shù)概念定義2.3.6反余弦函數(shù)表示式 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)含有周期性，因此它們反函數(shù)一定是多值函數(shù)。第21頁第21頁其它反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)第22頁第22頁 以上給出了5類基本初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)、常數(shù)通過有限次四則運算和有限次復合運算，由一個數(shù)學式子表示函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù) 單值初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)；多