同濟大學高等數(shù)學第六版上導數(shù)的概念市公開課獲獎課件

1、導數(shù)概念 在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量改變速度。如物體運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學上都可歸結(jié)為函數(shù)改變率問題，即導數(shù)。 本章將通過對實際問題分析，引出微分學中兩個最主要基本概念導數(shù)與微分，然后再建立求導數(shù)與微分運算公式和法則，從而處理相關(guān)改變率計算問題。第1頁第1頁 導數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究進一步深化。導數(shù)反應是因變量相對于自變量改變快慢程度和增減情況，而微分則是指明當自變量有微小改變時，函數(shù)大體上改變多少。重點導數(shù)與微分定義及幾何解釋導數(shù)與微分基本公式四則運算法則復合函數(shù)求導鏈式法則高階導數(shù)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導難點導數(shù)實質(zhì)，

2、用定義求導，鏈式法則第2頁第2頁一、問題提出1.自由落體運動瞬時速度問題如圖,取極限得第3頁第3頁 上述求瞬時速度辦法對普通變速直線運動也同樣合用。設(shè)物體作變速直線運動，運動路程為s = s(t)，則物體在時刻 t 0 瞬時速度定義為速度反應了路程對時間改變快慢程度 第4頁第4頁2.切線問題割線極限位置切線位置播放第5頁第5頁 假如割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處切線.極限位置即如圖,某點處導數(shù)，即函數(shù)圖像在該點切線斜率第6頁第6頁二、導數(shù)定義定義第7頁第7頁即其它形式第8頁第8頁關(guān)于導數(shù)闡明： 導數(shù)概念是概括了各種各樣改變率而得出一個更普通、更抽象概念，它撇

3、開了變量所代表特殊意義，而純正從數(shù)量方面來刻畫改變率本質(zhì)第9頁第9頁第10頁第10頁單側(cè)導數(shù)1.左導數(shù):2.右導數(shù):第11頁第11頁第12頁第12頁第13頁第13頁三、由定義求導數(shù)（三步法）環(huán)節(jié):例1解第14頁第14頁例2解第15頁第15頁例3解更普通地比如,第16頁第16頁例4解尤其地第17頁第17頁例5解尤其地第18頁第18頁例6解第19頁第19頁四、導數(shù)幾何意義與物理意義1.幾何意義切線方程為第20頁第20頁法線（與切線垂直）方程為切線方程為法線方程為切線方程為法線方程為第21頁第21頁例7解由導數(shù)幾何意義, 得切線斜率為所求切線方程為法線方程為第22頁第22頁2.物理意義非均勻改變量瞬時改變率.變速直線運動:路程對時間導數(shù)為物體瞬時速度.交流電路:電量對時間導數(shù)為電流強度.非均勻物體:質(zhì)量對長度(面積,體積)導數(shù)為物體線(面,體)密度.第23頁第23頁五、可導與連續(xù)關(guān)系定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證第24頁第24頁注意: 該定理逆定理不成立.連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例0比如,第25頁第25頁比如,01第26頁第26頁比如,011/1/第27頁第27頁第28頁第28頁例8解第29頁第29頁六、小結(jié)1. 導數(shù)實質(zhì): 增量比極限;3. 導數(shù)幾何意義: 切線斜率;4. 函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5. 求導數(shù)