2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)

1、2020 普高等學(xué)校招生全統(tǒng)一考試（江卷）數(shù)學(xué)本試題分選擇題和選擇題部分 全卷 頁(yè)，選擇題部 1 2 頁(yè)非選擇 題部分 3 至 頁(yè)滿分 分考試用時(shí) 鐘.考生注：1題前，務(wù)必將自己姓名、考證號(hào)用黑字跡的字筆或鋼筆別填寫 在試題和答題紙規(guī)的位置 .2答題時(shí)請(qǐng)按照答題紙 “注意事 ”的求，在答紙相應(yīng)位置規(guī)范作， 在本試卷上的作答律無效參考公：如果事 斥么 ( A ) ( A) ( )如果事 A 互獨(dú)立，那P ( ( 如果事 在一次驗(yàn)中發(fā)的概率是 ， 那么 次立重復(fù)試驗(yàn)事件 好發(fā)生 k 的概率柱體的積公式 V 其中 表示柱體的面積， 示柱體高錐體的積公式 其中 表示錐體的面積， 示錐體高 球的表積公式

2、P ( ) C p (1 ) n ( 0,1,2, ) 臺(tái)體的積公式 V ( S S h其中 S , S 分表示臺(tái)的上下底面， 1 2 表示臺(tái)體的高球的體公式 3其中 表示球的半徑選擇題分（共 40 ）一、選題：本大題 小題，每小題 分，共 分在每小題給出四個(gè)選 中，只一項(xiàng)是符合目要求 .已集合 = 4，Q =（ ）A. 2B. | 2 | 3 4 4【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集定義求解【詳解】 (2,3)故選：【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)已 a ， 2)ii為虛數(shù)單位是實(shí)數(shù)，則 a=（ ） D. 2【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)列式求解即可【詳解】因

3、為( a a i為實(shí)數(shù)，所以 ，故選：點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)【若數(shù) ，y 滿約條件 x x y ，則 z=2x+y 的值范圍是（ ）( 44, C.5, ( 【答案】【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定目標(biāo)函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小 值從而確定目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：y x ，其中 z 取得最大值時(shí)，幾何意義表示直線系在 y 軸的截距最大 z 得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系 軸的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn) 處得最小值，聯(lián)立直線方程： x x y ，可得點(diǎn)

4、A 的標(biāo)為： ，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：且目標(biāo)函數(shù)沒有最大.z min故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是 故選：【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù) zby(ab的值，當(dāng) b ，直線過可行域且在 上截距最大時(shí)， 最大，在 y 軸距最小時(shí)，z 值小；當(dāng) b ，直線過可行域且在 y 軸截距 最大時(shí)， 最小，在 y 軸截距最小時(shí)，z 值函 x+sinx 在區(qū)間，的象大致為（ ） C.【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在 x 的數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖 象.【詳解】因?yàn)閒 sin ，則f ，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱， 據(jù)此可知選項(xiàng) CD 錯(cuò)；且 ，y ，據(jù)此可知選項(xiàng)

5、 錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手從函數(shù)的定義域，判斷圖的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷象的變化趨勢(shì)(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性從函數(shù)的特點(diǎn)，排除不合要求的圖象利用上述方法排除、 篩選選項(xiàng)某何體的三視圖（單位）如圖所示，則該幾何體的體積（單位）是（ ）A.B.C. D. 【答案】 【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計(jì)算公式，計(jì)算出幾何體的體.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱， 且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為 ，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為 ，所以

6、幾何體的體積為： 故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ).已空間中不過同一點(diǎn)的三條直線 nl，則m，l 的（ ）在同一平面是m，l兩兩相交 充分不必要條件C. 充必要條件 必不充分條件 既充分也不必要條件【答案】【解析】【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條【詳解】依題意 n l是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，, nn n 1 , nn n 1 2n4 4 當(dāng) n l在同一平面時(shí)，可能 /n /l，故不能得出, , l兩兩相當(dāng) n l兩兩相交時(shí)，設(shè) A, m l l ，根據(jù)公理 可 確一個(gè)平面 ， m ，根據(jù)公理可知，直線即l ，所以 m n, l

7、在同一平面.綜上所述， n, l在同一平面是 n, l兩兩相交”的必要不充分條.故選：【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公 和理 的用，屬于中檔已等差數(shù) 前 n 項(xiàng) S ，差 0， 列等式不可能成立的是（ ） 記 =S ， = ， n 下 a =a + =b +C. a b b 2 【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，b a n n 2 2 ，而b a 1 2 1 ，即可表示出題中b , b , b b 2 4 ，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立【詳解于 為列n列以根據(jù)等差數(shù)的下標(biāo)和性質(zhì) 2 可得， 2 6， 正；對(duì)于 ，題意可知，b a ， a n n 2 2 1

8、2 1 2， b a ， ， b a ， b 2 4 4 8 11 16 a 4 7 8，b 2 3 根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由3 7,4 可得b =2 2 4 12 7 4， 正確；對(duì)于 ， a 8 1 a 1，當(dāng)a 時(shí)， a ，C 確； 2 y 2 y 對(duì)于 ， b d d d ，b b 2 15161 1 12，b 4 2a d 1 當(dāng) d 時(shí)，a d ， 3 a 1 1 即 b b 8；當(dāng) 時(shí)，a d1， a 1 即b 2 b 8，所以b 2 b ，D 不確故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題已點(diǎn) O0，02點(diǎn) P 滿PA PB， P 為數(shù) y 4 圖像上的點(diǎn)，則

9、|=（ ）A.222B. 710【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知 P 在雙曲線的一支上在數(shù) y 坐標(biāo)，得到 OP 的2的圖象上可出點(diǎn) P 的【詳解】因?yàn)?PB | ，所以點(diǎn) P 以 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 2，焦距為 的雙曲 線 的 右 支 上 ， 由c 2, a 可 得 ，b ， 即 雙 曲 線 的 右 支 方 程 為2 3，而點(diǎn) P 還函數(shù) 4 2 的象上，所以， 由 3 2，解得 3 ，即 OP 故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題已 a，bR 且 ，(xa)()(b0 在 x 上成立，則（ ）A. 0 【答案】

10、【解析】【分析】對(duì) a 分 a 與 a 兩情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答【詳解】因?yàn)?ab ，所以 且 b ， ( x x x )，則f ( x)零點(diǎn)的為x , b, a 1 2 當(dāng) 時(shí)，則x 2 ， ，要使 x) ，必有 a，且 b ，即 b ， b ，以 0 ；當(dāng) 時(shí)則x ， ，使 f ( ) 2 ，必有 0 綜上一定有 b 故選：【點(diǎn)晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想，是一道 中檔題10.設(shè)合 ， N*， N*， 至少有兩個(gè)元素，且 S，T 滿足：對(duì)于任意 x， ， ，都有 xy 對(duì)于任意 x， ，若 x，則yxS；下列命題正確的是（ ） 若

11、 S 有 元素，則 S 7 元素 若 S 有 4 個(gè)素，則 有 6 個(gè)素C. 若 元素，則 有 4 個(gè)素 若 S 3 個(gè)素，則 ST 有 5 個(gè)素 【答案】【解析】【分析】3 4 3 2 1 4 1 3 4 3 2 1 4 1 分別給出具體的集合 和集合 T用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)后明剩余選項(xiàng)的正確性即 【詳解】首先利用排除法：若取 4 個(gè)元素，排除選項(xiàng) D；若取 ，包含 5 個(gè)元素，排除選項(xiàng) ；若取 8,16,32,64,128 2,4,8,16,32,64,128 元素，排除選項(xiàng) ；下面來說明選項(xiàng) A 正確性：設(shè)集合 p , 2 p 2 3 ，p p , p 3 *，則p 1 4，且p , p

12、 1 2 2 ，則4 1， p p p 同理 ， ， S ， 3 S ， 2 p p2 2 1 1，若p 1，則p 2，則 p3 p ，故 p p2 2即 23 2，又 p p p 4 ，故 4 p p p 22 2，所以 4 ，故S p3 p 2 T , ， p 42S，矛盾，舍.若p 21，則 p2 3 p ， 3 , 2 p p p p1 1 1即p , p ，又 p p 4 ， 4 p 31 2 1，所以p 4 1，故S , p3 4 6 , 7 1 1 1 若 ， 則 1，故 1 p i i 4 1，故q i , i 1,2,3, 4，即 p , p 6 , 7 , 5 p p7 1

13、 1，此時(shí)S T 2 , p , , p , 1 1 1 即T中有 元.n 3 5 5 1 1 n 3 5 5 1 1 故 A 正.故選：A.【點(diǎn)睛“新定義主是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以新題”不一定“難 題，握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法非選擇部分（共 分）二、填題：本大題 小題，共 分多空題每小 分，單空題每題 4 分.11.已數(shù)列 足【答案】 = ，則 S =_【解析】【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列，即可求出 【詳解

14、】因?yàn)?a n 2，所以 a 1 即 10 3 1 故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題12.設(shè) 2 x3 x 1 2 【答案】 【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即.5，則 =_； +a + a =_【詳解】 x的通項(xiàng)為Tr r5(2 )r r r 5xr，令 r ，T 4 C x x，故a 80 ； 5C 153C 355C 55122故答案為：；122【點(diǎn)晴】本題主要考查利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.13.已tan，則 _ ) 4【答案】【解析】【分析】3 15 利用二倍角余弦公式以及弦化

15、切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】 2222222 2 2 3 ， 2 2 tan tan( ) 1 3，故答案為： , 【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力， 屬基礎(chǔ)題.14.已圓錐展開圖的側(cè)面積 2為圓，則底面半徑為【答案】 【解析】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為 r ，線為l，則 ，解得 r l .2 故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)15.設(shè)線l : ( ，圓 : 2 ，C : x y ，若直線l與 C ，1 都相切，則 k ；=_【答案】33 2 33【解

16、析】【分析】由直線與圓 , 1 2相切建立關(guān)于 k，b 方程組，解方程組即可.【詳解】由題意， 1 2到直線的距離等于半徑，即 b |k 2 ， 4 k 2 ，所以 4k ，所以 （）或者 ，解得 2 3 . 3故答案為： 2 3; 3【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)16.一盒子里有 1 個(gè)紅 個(gè) 黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為 ， (0) _； E () _【答案】13 【解析】【分析】先確定 對(duì)事件，再求對(duì)應(yīng)概率得結(jié)果；第二空，先確定隨機(jī)變量，再求對(duì)概率，最 后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)【詳解】因?yàn)?對(duì)事件為第一次拿

17、紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以 ，隨機(jī)變量 ， 1 1 1 4 3 2 3， 1 1 3 ，所以 1 1 故答案為： ;1 【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解能 力，屬基礎(chǔ).2 2 17.設(shè) ， 為位向量，滿足 | e 2 ， ，b 1 1 1 ，設(shè) ， 的角為，則 最值_【答案】【解析】【分析】2829利用復(fù)數(shù)模的平方等于復(fù)數(shù)的平方化簡(jiǎn)條件得 1 再據(jù)向量夾角公式求 數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最【詳解】 ， 2， e 34， 2( a a (4 e 21 (2 e ) 1 ) 1 5 1 2 28 ) (1 ) 5 3 1 2故答案為：28

18、29【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最 值，考查綜合分析求解能力，屬中檔.三、解題：本大題 小題，共 74 分解答應(yīng)寫文字說、證明過程演算步 驟18.在角 ，角 ， 的邊分別為 ，b，且 A （I）求角 B；（II求 cosAC 的值范圍3 【答案） II 3【解析】3 3,2 3 23 2 2 3 23 2 2 【分析】（I）首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊的三角函數(shù)值即可確定 的大??；（II結(jié)(1)結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有A 三角函數(shù)式，然后由三角 形為銳角三角形確定 的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求得 A B C的取

19、值范圍.【詳解）由 2 A 3 結(jié)正弦定可得： 2sin B sin sin , sin B 為角三角形，故B 3（II結(jié)合(1)的結(jié)論有：cos cos C A cos 3 3 1 1 cos A 2 2 sin 6 由 2 0 3 0 A 2 2 可得： ， A 6 6 3，則 3 1 3 sin , 即 A B C 的取值范圍是 , 【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)邊化角，二是利用余弦定理實(shí)角化邊；最值也是一種常見類，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等 式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最19.如，三棱臺(tái) DEF 中，面 面 ABC，ACD

20、=45， （I）證明；（II求 DF 與 DBC 成角的正弦值【答案）證明見解析）33【解析】【分析】（I作 DH 交 AC 于 H 連 BH 由意可知 DH 平面 即有 ，根據(jù)勾股定理可證得 BC BH 面 ，即證得 EF DB ；又 EF / / 可得 ，BH EF 即得 EF 平（II由 DF / ，所以 與面DBC所成角即為與平面DBC所成角，作HG BD 于 ，接 即可知 HCG 即所求角，再解三形即可求出 DF 與平面DBC所成角的正弦值【詳解） AC交于 H ，接 BH 平面 ADFC 平面，而平面ADFC平面ABC ， 面ADFC， 面 ABC ， BC 面 ABC ，即有 D

21、H ACB ，CD 2 2 CH BC 在CBH 中 CH 2 45 2 ，有 BH2BC2CH 2 ， BC由棱臺(tái)的定義可知，EF / / ，以 DH EF ， BH EF ，而 H， EF 面 ， BD 面 BHD EF （）因?yàn)?DF / / ，所以 與面DBC所成角即為與平面DBC所成角作 HG 于 G，連接 CG ，（）可知， 平 ，因?yàn)樗云矫?面 ，而平面平面 BD ，n n n n n n n n n n n n HG 平面 BHD ，HG 平面BCD即在平面DBC內(nèi)的射影為 CG ， HCG即為所求角在 中，設(shè) BC ，則 CH 2a ， HG BH 2a 2 BD 3a 3

22、， sin HCG HG CH 3 3故 DF 與平面DBC所成角的正弦值為33【點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面 所成的角的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題20.已數(shù) ，a b b ( *)（）若數(shù) 等比數(shù)列，且公比 且 b b ，求 a 的項(xiàng)公式；（）若數(shù) 等差數(shù)列，且公差 ，證明： c 【答案） q 1 , a 2 3.）證明見解析【解析】【分析】（I）根據(jù) b ，求得 ，而求得數(shù)列n式，利用累加法求得n通項(xiàng)公式.（II利用累乘法求得數(shù)列n，合裂項(xiàng)求和法證不等式成【詳解）依題意b b , b 3，而 b ，1 ，由于

23、 ，所以n n 1 1 n bn n n n 1 1 n bn n 解得 ，所以 1所以 n 故 n 2n 1 n n所以數(shù)列 公比為 4的等比數(shù)列，2n 所以 nn 所以 4 （n 2, N*）所以 4 3.（II依題意設(shè)b c ，由于 ， c n 所以c b n n c b n N *故c c c n c n n c c b 3 c b b 2 1 n n 2 4 3 1 1 1 1 2 b d d n n n 所以c 1 1 1 b n 1 由于 1 1 d 1 ，以 n 0 所以 即c n， * .【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔21.如知

24、橢圓 : 2 2 物C : y2 px ( 橢圓 與物線 C12的交點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線 l 交圓 于 ，交拋物線 于 M（，M 不于 1 22 2 2 2 （）若 ，求拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（）若存在不過原點(diǎn)的直線 l 使 M 為線段 AB 的點(diǎn)，求 的大值【答案）,0)）【解析】【詳解） 時(shí)， 的方程為 y 2 ，拋物線 的點(diǎn)坐標(biāo)為 ,0)；（）設(shè)A y I 1 0 ，由 2 y 2 ， y y x 2 2 ，由 在物線上，所以 2 4 2 2 ，又 2 px y2 p y ， y p ， 2 0 1 0 m， m .2 由 2 px x x p p 0 x 0 0 x 0 p p2 1 2 8 p 16 ，所以 4 18 ， 2 ， ，所以， 的大值為 10 5 ，此時(shí) A( . 法 2：設(shè)直線l : my 0, t 0)，A 0.將直線l的方程代入橢圓 : 2 得： ，所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為yMmt .將直線l的方程代入拋物線 : y 得：y pmy pt ，所以 yM，解得 2 p ，因此mx 02 m 2， 由 21 2 解得 m p m m ，所以當(dāng) m 2, t 105時(shí)， 取最大值為 .【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，涉及到求函數(shù)的最值，考查 學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道有一定難度的.22.已 ，函數(shù)f ，其中 e=2.71828為自然對(duì)