高等數(shù)學微積分教案

1、- .第一章：函數(shù)與極限1.1 初等函數(shù)圖象及性質1.1.1 冪函數(shù)函數(shù)m 是常數(shù)叫做冪函數(shù)；冪函數(shù)的定義域,要看 m 是什么數(shù)而定；例如,當 m = 3 時, y=x 3的定義域是 - ,+ ；當 m = 1/2 時,y=x 1/2 的定義域是 0,+ ；當 m = -1/2 時,y=x-1/2 的定義域是 0,+ ；但不管 m 取什么值,冪函數(shù)在 0,+ 內總有定義；最常見的冪函數(shù)圖象如以下圖所示：如圖 1.1.2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)|精. 函數(shù) y=a xa 是常數(shù)且 a0,a 1叫做指數(shù)函數(shù),它的定義域是區(qū)間- ,+ ；如圖 由于對于任何實數(shù)值 x,總有 a x 0,又 a

2、0=1,所以指數(shù)函數(shù)的圖形,總在 x 軸的上方,且通過點假設 a1,指數(shù)函數(shù) a x 是單調增加的；假設 0a0, a 1,叫做對數(shù)函數(shù)；|學. |習. |資. 指數(shù)函數(shù) y=a|料. * 它的定義域是區(qū)間0,+ ；對數(shù)函數(shù)的圖形與指數(shù)函數(shù)的圖形關于直線y = x 對稱圖 1-22； | * | y=log ax 的圖形總在y 軸上方,且通過點1,0； * | * 假設 a1,對數(shù)函數(shù)logax 是單調增加的,在開區(qū)間0,1內函數(shù)值為負,而在區(qū)間1,+ 內函數(shù)值為正； | |歡. 假設 0aN 時都有,我們就稱 a 是數(shù)列 的極限,或者稱數(shù)列 收斂,且收斂于 a,記為, a即為 的極限；數(shù)列極

3、限的幾何說明：以 a 為極限就是對任意給定的開區(qū)間,第 N 項以后的一切數(shù) 全部落在這個區(qū)間內；1.3 函數(shù)極限的概念設函數(shù) fx在點鄰近但可能除掉點本身有定義,設A 為一個定數(shù),假如對任意各定,肯定存在,使得當時,總有,我們就稱 A 是函數(shù) fx在點的極限,記作,這時稱 fx在點極限存在,這里我們不要求fx在點有定義,所以才有- .word.zl.第 1 頁,共 40 頁；例如：- x=1 點函數(shù)的極限存在,為2；.,當 x=1 時,函數(shù)是沒有定義的,但在1.4 單調有界數(shù)列必有極限單調有界數(shù)列必有極限,是判定極限存在的重要準那么之一,詳細表達如下：假如數(shù)列滿意條件,就稱數(shù)列是單調增加的；反

4、之那么稱為是單調削減的；在前面的章節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必有界；但也曾指出：有界的數(shù)列不肯定收斂；現(xiàn)在這個準那么說明：假如數(shù)列不僅有界,而且是單調的,那么其極限必定存在；|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 對這一準那么的直觀說明是,對應與單調數(shù)列的點只可能向一個方向移動,所以只有兩種可能情形：或者無限趨近某肯定點；或者沿數(shù)軸移向無窮遠由于不趨向于任何定點且遞增,已符合趨向無窮的定義；但現(xiàn)在數(shù)列又是有界的,這就意味著移向無窮遠已經不行能,所以必有極限；從這一準那么動身,我們得到一個重要的應用；考慮

5、數(shù)列,易證它是單調增加且有界小于3,故可知這個數(shù)列極限存在,通常用字母e 來表示它, 即；可以證明, 當 x 取實數(shù)而趨于或時,函數(shù)的極限存在且都等于e,這個 e 是無理數(shù),它的值是e = 2.90451.5 柯西 Cauchy極限存在準那么我們發(fā)覺,有時候收斂數(shù)列不肯定是單調的,因此,單調有界數(shù)列必有極限準那么只是數(shù)列收斂的充分條件,而不是必要的；當然,其中有界這一條件是必要的；下面表達的柯西極限存在準那么,它給出了數(shù)列收斂的充分必要條件； 柯西 Cauchy極限存在準那么 數(shù)列 收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù),存在著這樣的正整數(shù) N,使得當 mN ,nN 時,就有；必要性的證明

6、設,假設任意給定正數(shù),那么 也是正數(shù),于是由數(shù)列極限的定義,存在著正整數(shù)N,當 nN 時,有；同樣,當 mN 時,也有；因此,當 mN , nN 時,有所以條件是必要的；充分性的證明 從略；這準那么的幾何意義表示,數(shù)列 收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù),在數(shù)軸上一切具有足夠大號碼的點,任意兩點間的距離小于；柯西極限存在準那么有時也叫做柯西審斂原理；1.6 連續(xù)函數(shù)1.6.1 定義： 假設函數(shù) fx在 x0點的鄰近包括 x0點本身有定義,并且,那么稱 fx 在 x0點連續(xù), x0 為 fx的連續(xù)點； 如圖 1.6.2 充要條件： fx在 x0 點既是左連續(xù)又是右連續(xù)；初等函數(shù)如三角、反三

7、角函數(shù),指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是在自定義區(qū)間內的連續(xù)函數(shù)；1.6.3 三類不連續(xù)點：1第一類不連續(xù)點：fx0+0,fx 0-0存在但不相等；如圖 如圖 .word.zl.2其次類不連續(xù)點：fx0+0,fx 0-0中至少有一個不存在；- 第 2 頁,共 40 頁3第三類不連續(xù)點：- .fx0+0,fx 0-0存在且相等,但它不等于fx0或 fx在 x0點無定義； 如圖 1.7 一樣連續(xù)性的概念及它與連續(xù)的不同1.7.1 定義：對,可找到只與有關而與x 無關的,使得對區(qū)間內任意兩點x1,x2,當時總有,就稱 fx在區(qū)間內一樣連續(xù)；1.7.2 與連續(xù)的比擬：1連續(xù)可對一點來講,而一樣連續(xù)必需以區(qū)間為對象

8、；|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 2連續(xù)函數(shù)對于某一點x0,取決于 x0和,而一樣連續(xù)函數(shù)的只取決于,與 x 值無關；3一樣連續(xù)的函數(shù)必定連續(xù)；例：函數(shù) y = 1/x ,當 x 0,1時非一樣連續(xù),當x C,1時一樣連續(xù) 4康托定理：閉區(qū)間a , b上的連續(xù)函數(shù)fx肯定在 a , b上一樣連續(xù)；其次章：導數(shù)與微分微分學是微積分的重要組成局部,他的根本概念是導數(shù)與微分,其中導數(shù)反映出自變量的變化快慢程度,而微分那么指明當自變量有微小變化時,函數(shù)大體上變化多少；2.1 導數(shù)的概念2.1.1 導

9、數(shù)的定義 ：設函數(shù) y=fx 在點 x0 的某個鄰域內有定義,當自變量x 在 x0處取得增量x點 x0+x 仍在該領域內時,相應地函數(shù)取得增量；假如與之比當時的極限存在,那么稱函數(shù)在處可導,并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù),記為, 即,也可記作；導數(shù)的定義式也可取不同的形式,常見的有和導數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述；2.1.2 求導舉例例 求函數(shù)n 為正整數(shù) 在處的導數(shù)解把以上結果中的換成得,即這就是冪函數(shù)的導數(shù)公式. 即更一般地 ,對于冪函數(shù)為常數(shù) ,有例 求函數(shù)的導數(shù)解這就是說 , 正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù) .用類似的方法,可求得就是說 ,余弦函數(shù)的導數(shù)是負的正弦函數(shù)；- .wo

10、rd.zl.第 3 頁,共 40 頁例 求函數(shù)- 時,因.,故有的導數(shù) . 解=即這就是指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式,特殊地 ,當例 求函數(shù)的導數(shù) . 解|精. =作代換即得處的切|品. |可. |編. |輯. |學. 這就是對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式,特殊地 ,當時,由上式得自然對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式:|習. |資. |料. * 2.1.3 導數(shù)的幾何意義 | * | 由導數(shù)的定義可知:函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上表示曲線在點 * | * | |歡. 線斜率,即,其中是切線的傾角 .如以下圖：|迎. |下. |載. 例 求等邊雙曲線y=1/x, 在點 1/2,2 處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程；解

11、 依據(jù)導數(shù)的幾何意義知道 ,所求切線的斜率為由于 ,于是 從而所求切線方程為 即 4x+y-4=0. 所求法線的斜率為 k 2-1/k 1=1/4, 于是所求法線方程為 2x-8y+15=0. 2.2 微分的概念2.2.1 微分的定義設函數(shù)在某區(qū)間內有定義,及在這區(qū)間內 ,假如函數(shù)的增量可表示為其中 A 是不依靠于的常數(shù) ,而是比高階的無窮小,那末稱函數(shù),即在點是可微的 , 而叫做函數(shù)在點相應于自變量增量的微分 ,記作例 求函數(shù) y=x2在 x=1 和 x=3 處的微分 . 解 函數(shù)- 在處的微分為,記作在或處的微分為.word.zl.函數(shù)在任意點的微分,稱為函數(shù)的微分,即第 4 頁,共 40

12、 頁- . xdx, .例如 , 函數(shù)的微分為函數(shù)的微分為通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作 dx,即.于是函數(shù)y=fx 的微分又可記作dy=f 從而有 x=3 就是說,函數(shù)的微分dy 與自變量的微分dx 之商等于該函數(shù)的導數(shù).因此,導數(shù)也叫做微商2.2.2 微分的幾何意義|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 設 y 是曲線 y=fx 上的點的縱坐標的增量,dy 是曲線的切線上的縱坐標的相應的增量, 當 x 很小時, y -dy 比 x 小得多,因此在 M 點的鄰近 ,我們可以用切線段來近似

13、代替曲線段. 第三章：中值定理與導數(shù)的應用上一章里, 從分析實際問題中因變量相對于自變量的變化快慢動身,引出了導數(shù)的概念,并爭論了導數(shù)的運算方法；本章中, 我們將應用導數(shù)來爭論函數(shù)以及曲線的某些性態(tài),并利用這些學問解決一些實際問題；我們將介紹微分學的幾個中值定理,他們是導數(shù)應用的理論根底 3.1 三個中值定理3.1.1 羅爾定理羅爾定理假如函數(shù) fx在閉區(qū)間 a , b上連續(xù), 在開區(qū)間 a,b內可導, 且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等,即 fa = fb ,那么在 a,b內至少有一點,使得函數(shù)fx 在該點的導數(shù)等于零：；3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理假如函數(shù)fx在區(qū)間 a,b上連續(xù),在

14、開區(qū)間a,b內可導,那么在a,b內至少有一點,使等式1成立；3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理假如函數(shù)fx 及 Fx在閉區(qū)間 a,b上連續(xù),在開區(qū)間a,b內可導,且Fx 在a,b內的每一點處均不為零,那么在a,b內至少有一點,使等式2成立；3.2 洛必達法那么3.2.1.洛必達法那么的概念.fx= gx=0; 可以是定義 :求待定型的方法與此同時;定理 :假設 fx與 gx在a,a+上有定義 ,且并且f x 與gx 在a,a+上存在 . 0 且=A 那么= =A,A. 證明思路 : 補充定義 x=a 處 fx=gx=0, 那么 a,a+ 上=,x；所以對于待定型 , 即 x時,x,于是= x

15、, x3.2.2 定理推廣 :由證明過程明顯定理條件x可推廣到可利用定理將分子、分母同時求導后再求極限；- .word.zl.第 5 頁,共 40 頁- .Sin或 Cos形式時 ,應謹慎考慮本卷須知 : 1.對于同一算式的運算中,定理可以重復多次使用；2.當算式中顯現(xiàn)是否符合洛必達法那么條件中f x 與gx 的存在性；向其他待定型的推廣；下轉化過程中描述引用的僅為記號. |精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 1. 可化為=,事實上可直接套用定理；2. 0=03. -=-,通分以后=；4.、取對數(shù)

16、0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0；3.3 泰勒公式及其誤差圖示來源 :實踐 ,常用導數(shù)進展近似運算. 由于時所以,因此范疇 :在直接求 fx困難 ,而在 x 鄰近 x0 處 fx0與 fx0較易時應用 .條件是 x 與 x0充分接近 ,可到達肯定的精度. 利用當為不同函數(shù)時 .有常用近似公式如下:|x| 很小時 Sinxx,tgxx,Ln1+xx. 泰勒公式來源 :上述公式在 |x| 很小時 ,于是即,p1=f0+f0與 fx在 x=0 處函數(shù)值相等,且一階導數(shù)相等.為進一步提高精度欲使與在二階導數(shù)處也相等.于是,. 得依此類推 :對于誤差 ,有定理 : 在 x=0 處有 n+1 階連續(xù)導數(shù)

17、 ,那么上式誤差在 x 與 0 之間 由定理 :此式為在 x=0 處的關于 x 的泰勒綻開公式.即 : 公式推廣 :一般地在 x=X 0鄰近關于 X 0 點的泰勒公式留意 :雖然泰勒公式是在x=鄰近 綻開 ,但是事實上x 可以取fx 定義域內任意值,只不過假設 |x-| 過大 即 x離過遠 時 ,相應變大 .即使用代替 fx的誤差變大 .可是 ,無論如何泰勒公式總是成立的,當固定后 ,不同的 x 將使發(fā)生變化 ,并使變化 ,從而影響對 fx的近似精度 . 3.4 函數(shù)圖形描畫例如定理 :假設 fx在a,b上連續(xù) ,a,b可導 .那么 fx在a,b單調上升 或單調下降 的充分必要條件為 a,b

18、或 , 推論 :假設 fx在a,b連續(xù) ,a,b可導 ,且 不變號 , 那么 或0. 解. |迎. |下. |載. 下面求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在運算這種積分的過程中,往往要用到一些三角恒等式. 例5 求 sin 3x dx. 解 sin 3x dx = sin 2x dx=- 1-cos2xdcosx=- dcosx+ 例 6 求 cos 2 x dx. cos 2xdcosx=-cosx+1/3cos3x+C. 解 . 類似地可得 sin 2 x dx=x/2-sin2x/4+C . 利用定理 1 來求不定積分 ,一般卻比利用復合函數(shù)的求導法那么求函數(shù)的導數(shù)要來的困難

19、,由于其中需要肯定的技巧,而且如何適當?shù)奶暨x變量代換 u= x 沒有一般途徑可循 ,因此要把握換元法 ,除熟識一些典型的例子 ,需多練習 . 4.2.2 其次類換元法定理 2 設 x= x 是單調的 、可導的函數(shù) , 并且 x. 又設 f t具有原函數(shù) ,那么有換元公式,所求積,其中x是 x= t 的反函數(shù) . sin 2t+cos 2t=1 來化去根式 . 例 7 求a0 解 求這個積分的困難在于有根式,但我們可以利用三角公式設 x=asint,- /2t /2, 那么,于是根式化為了三角式分化為. . 利用例 6 的結果得- .word.zl.第 10 頁,共 40 頁由于 x=asint

20、,- /2tb 的情形同樣成立；為便利起見,以后把 Fb Fa記成；公式 1叫做牛頓 Newton- 萊步尼茲 Leibniz公式,給定積分供應了一種簡便的運算方法,也稱為微積分根本公式；例 1 運算定積分；解；例 2運算- ；解；.word.zl.第 11 頁,共 40 頁|精. - ；.例 3運算；解；例 4運算正弦曲線y = sinx 在0,p 上與 x 軸所圍成的平面圖形的面積；解例 5求解易知這是一個型的未定式,我們利用洛必達法那么來運算；|品. 因此；|可. |編. |輯. 5.3 定積分的近似運算|學. |習. |資. 在應用問題中常遇到要求定積分的數(shù)值,但fx 的原函數(shù)根本不能

21、一般的初等函數(shù)表示出來；例如|料. * | * | 等,所以提出了積分的近似運算問題； * | * | |歡. 定積分近似運算公式的原理：求定積分就是求面積,近似運算公式是對面積的近似求法；此處介紹拋物線法|迎. |下. |載. 原理 ：實質上是用拋物線靠近曲線段,如圖由此可推出；此公式稱為辛卜生公式；近似運算方法很多,但實質上多是曲線靠近見數(shù)值分析；5.4 廣義積分的概念5.4.1 無窮限的廣義積分定義 1 設函數(shù) fx 在區(qū)間 a , +￥ 上連續(xù),取ba,假設極限 存在,那么稱此極限為函數(shù) fx 在無窮區(qū)間 a , +￥ 上的廣義積分,記作,即；1 這時也稱廣義積分 收斂；假設上述極限不

22、存在,稱為廣義積分 發(fā)散；類似地,假設極限 存在,那么稱廣義積分 收斂；設函數(shù) fx在區(qū)間 -￥ ,+ ￥ 上連續(xù),假如廣義積分 和 都收斂,那么稱上述兩廣義積分之和為函數(shù) fx在無窮區(qū)間 -￥ , +￥ 上的廣義積分,記作,也稱廣義積分 收斂；否那么就稱廣義積分 發(fā)散； 上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分；- .word.zl.第 12 頁,共 40 頁例 1 證明廣義積分a0當 p1 時收斂,當- .p 1時發(fā)散；證當 p = 1 時,當 p1 1時,因此,當 p 1 時,這廣義積分收斂,其值為 5.4.2 無界函數(shù)的廣義積分；當 p 1時,這廣義積分發(fā)散；現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為

23、無界函數(shù)的情形；|精. 定義 2 設函數(shù) fx 在a,b上連續(xù),而在點a 的右領域內無界,取,假如極限存在,那么|品. |可. |編. 稱此極限為函數(shù)fx在a,b上的廣義積分,仍舊記作,這時也稱廣義積分收斂；與|輯. |學. |習. |資. |料. * | * 類似地,設函數(shù)fx在 a,b上除點cacb 外連續(xù),而在點c 的領域內無界,假如兩個廣義積分 | * | * 都 收 斂 , 那 么 定 義； | |歡. |迎. |下. |載. 2 否那么,就稱廣義積分發(fā)散；q1 時發(fā)散；,例 2 證明廣義積分當 q 1 時收斂,當證當 q = 1 時,當 q 1 時,因此,當 q 1 時,這廣義積分

24、收斂,其值為 第七章：空間解析幾何與向量微分b-a 1-q/1-q ；當 q1 時,這廣義積分發(fā)散；在平面解析幾何中,通過坐標把平面上的點與一對有序實數(shù)對應起來,把平面上的圖形和方程對應起來,從而可以用代數(shù)方法來爭論幾何問題,空間解析幾何也是依據(jù)類似的方法建立起來的；7.1 幾種常見曲線：- .word.zl.第 13 頁,共 40 頁|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. - .7.2 曲面方程7.2.1 曲面方程的概念及一般方程假如曲面S與三元方程Fx, y, z=0 1,有下述關系：1.曲面

25、S上任一點的坐標都滿意方程1；不在曲面S上的點的坐標都不滿意方程1,那末,方程 1就叫做曲面S的方程,而曲面S 就叫做方程 1的圖形；7.2.2 平面方程的幾種形式一般形式： Ax+By+Cy+D=0,其中 A ,B,C 是平面法向,A2+B2+C2 0；點法式方程：；,截距式方程：三點式方程：平面過空間三點,那么平面方程為1.幾種特殊的曲面方程1.旋轉曲面方程設平面曲線l : 繞 z 軸旋轉 ,那么旋轉曲線方程為x 軸, 2.柱面方程母線平行與坐標軸的柱面方程為不完全的三元方程,如 Fy, z=0 就表示母線平行與準線為的柱面 . 二次曲面方程見第七章學問點37.3 空間曲線7.3.1 空間

26、曲線一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線；設 Fx, y, z=0 和 Gx, y, z=0 是兩個曲面的方程,它們的交線為 C如圖 ；由于曲線 C 上的任何點的坐標應同時滿意這兩個曲面的方程,所以應滿意方程組 1反過來,假如點 M 不在曲線 C 上,那末它不行能同時在兩個曲面上,所以它的坐標不滿意方程組1；因此,曲線 C 可以用方程組1來表示；方程組1叫做 空間曲線 C 的一般方程；- .word.zl.第 14 頁,共 40 頁- .1. 為空間曲線的一般方程,空間曲線的參數(shù)方程為 t 為參數(shù) . 1. 方程組 表示怎樣的曲線 . 方程組中第一個方程表示母線平行于 z 軸的圓柱面 ,其準

27、線是 xOy 面上的圓, 圓心在原點 O,半徑為 1；方程組中其次個方程表示一個母線平行于 y 軸的柱面, 由于它的準線是 zOx 面上的直線, 因此它是一個平面；方程組就表示上述平面與圓柱面的交線,如圖 ；2. 方程組 表示怎樣的曲線？|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O ,半徑為 a 的上半球面； 其次個方程表示母線平行于z 軸的圓柱面,它的準線是xOy 面上的圓,這圓的圓心在點a/2 ,0,半徑為 a/2 ；方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線；7.3

28、.2 空間曲線在坐標上的投影設空間曲線C 的一般方程為由上述方程組消去變量z,x,y 后所得的方程分別為：H x , y =0 R y , z =0 T x , z =0, 表示曲線 C 在 xOy 面上的投影 , 表示曲線 C 在 yOz 面上的投影 ,表示曲線 C 在 xOz 面上的投影；例 兩球面的方程為a 和 b 求它們的交線 C 在 xOy 面上的投影方程；解 先求包含交線 C 而母線平行于 z 軸的柱面方程； 因此要由方程 a , b消去 z,為此可先從 a式減去 b 式并化簡,得到 y + z = 1, 再以 z = 1 y 代入方程 a或 b即得所求的柱面方程為 x 2+2y

29、2-2y=0 易看出,這是交線 C 關于 xOy 面的投影柱面方程,于是兩球面的交線在 xOy 面上的投影方程是注：在重積分和曲線積分的運算中,往往需要確定一個立體或曲面在坐標面上的投影,這時要利用投影柱面和投影曲線；7.4 二次曲面我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面；為了明白三元方程F x , y ,z =0 所表示得的曲面的外形,我們通常采納截痕法；即用坐標面和平行于坐標面的平面與曲線相截,考察其交線 即截痕 的外形, 然后加以綜合,從而明白曲面的全貌；同學們可試用截痕法考察下面的二次曲面；7.4.1 橢球面方程所表示的曲面叫做橢球面,截痕法演示 ；7.4.2 拋物面方程p 和 q

30、 同號所表示的曲面叫做拋物面,截痕法演示 ；7.4.3 雙曲拋物面方程p 和 q 同號所表示的曲面叫做雙曲拋物面,截痕法演示 ；7.4.4 雙曲面方程所表示的曲面叫做單葉雙曲面,截痕法演示 ；- 方程所表示的曲面叫做雙葉雙曲面,截痕法演示 ；.word.zl.第 15 頁,共 40 頁- .第八章：多元函數(shù)微分在很多實際問題中,往往牽涉到多方面的因素,反映到數(shù)學上,就是一個變量依靠于幾個變量的情形,這就提出了多元函數(shù)微分和積分的問題,本章將在一元微分的根底上,爭論二元及二元以上的多元函數(shù)的微分；8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性8.1.1 定義 設函數(shù) fx,y在開區(qū)域或閉區(qū)域D 內有定義, P0

31、 x0,y0是 D 的內點或邊界點；假如對于任意給定的正數(shù) ,總存在正數(shù) ,使得對于適合不等式 的一切點 Px,y D,都有 |fx,y- A|0,取|編. |輯. |學. |習. |資. |料. * 那么當時,總有成立,所以A； | * | * | * | |歡. 我們必需留意,所謂二重極限存在,是指Px,y以任何方式趨于P0 x0,y0時,函數(shù)都無限接近于|迎. |下. |載. 定義設函數(shù) fx,y在開區(qū)域或閉區(qū)域D 內有定義, P0 x0,y0是 D 的內點或邊界點且P0 D；假如那么稱函數(shù)fx,y在點 P0 x0,y0連續(xù)；8.1.2 性質性質 1最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域 D 上

32、的多元連續(xù)函數(shù),在 D 上肯定有最小值和最大值；性質 2介值定理在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù),假如在 D 上取得兩個不同的函數(shù)值,那么它在 D 上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次；一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的；所謂定義區(qū)域,是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域；由多元初等函數(shù)的連續(xù)性,假如要求它在點P0 處的極限,而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內,那么極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值,即；8.2 偏導數(shù)的定義及運算法8.2.1 定義 設函數(shù) z=fx,y在點 x0,y0的某一鄰域內有定義,當 y 固定在 y0 而 x 在 x0 處有增量 x時,相應的函數(shù)有增量 fx0+ x,y0-fx

33、0,y0,假如 存在,那么稱此極限為函數(shù) z=fx,y 在點 x0,y0處對 x 的偏導數(shù),記作 或 f xx 0,y0；對于函數(shù) z=fx,y ,求時,只要把y 臨時看作常量而對y 求導；例 求 z=x2sin2y 的偏導數(shù)；解8.2.2 高階偏導數(shù)定理假如函數(shù) z=fx,y的兩個二階混合偏導數(shù)在區(qū)域 D 內連續(xù),那末在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數(shù)必相等；- .word.zl.第 16 頁,共 40 頁- .8.3 多元復合函數(shù)求導法那么及實例定理假如函數(shù) u= t t都在點 t 可導,函數(shù)z=fu,v 在對應點 u,v具有連續(xù)偏導數(shù),那么復合函數(shù)z=f t, t在點 t 可導,且其導數(shù)可用

34、以下公式運算：；例 設 z=eusinv,而 u = xy,v = x+y ；求；解8.4 隱函數(shù)的求導公式|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 8.4.1 一個方程的情形隱函數(shù)存在定理1 設函數(shù) Fx,y在點 Px0,y0的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù),且Fx0,y0=0, F yx0,y0 0 ,那么方程 Fx,y = 0 在點 x0,y0的某一鄰域內恒能唯獨確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y = fx ,它滿意條件y0 = fx 0,并有；上面公式就是隱函數(shù)的求導公式；隱函數(shù)存在定理2 設

35、函數(shù) Fx,y,z在點 Px0,y0,z0的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù),且Fx0,y0,z0 = 0, F zx0,y0,z0 0 ,那么方程 Fx,y,z = 0 在點 x0,y0,z0的某一鄰域內恒能唯獨確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)z = fx,y,它滿意條件z0 = fx 0,y0,并有；例 設 x2+y2+z2-4z = 0 ,求,解 設 Fx,y,z= x2+y2+z2-4z ,那么 Fx = 2x,Fz = 2z-4；應同上面公式,得；再一次對 x 求偏導數(shù),得；二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理 3 設 Fx,y,u,v、Gx,y,u,v在點 Px0,y0,u0,v0的某一鄰

36、域內具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù),又 Fx0,y0,u0,v0= 0,Gx 0,y0,u0,v0= 0,且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式或稱雅可比Jacobi式：在點 Px0,y0,u0,v0不等于零,那么方程組x0,y0,u0,v0的某一鄰域內恒能唯獨確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) 它們滿意條件 u0 = u x0,y0,v0 = v x0,y0,并有8.5 微分法在幾何上的應用 8.5.1 空間曲線的切線與法平面F x,y,u,v = 0,Gx,y,u,v= 0 在點 u = u x,y, v = v x,y,設空間曲線 的參數(shù)方稱為 x= t, y= t, z= t,這里假定上式的三個函數(shù)

37、都可導；插圖 1在曲線 上取對應于 t=t 0的一點 M x0, y0, z0；依據(jù)解析幾何,可得曲線在點 M 處的切線方程為- .word.zl.第 17 頁,共 40 頁- .；切線的方向向量稱為曲線的切向量；向量T= t0, t0, t0 就是曲線 在點 M 處的一個切向量；通過點而與切線垂直的平面稱為曲線 在點 M 處的法平面, 它是通過點 Mx0,y0,z0而以 T 為法向量的平面,因此這法平面的方程為 t0 x-x0 + t0y-y0 + t0z-z0= 0；8.5.2 曲面的切平面與法線 插圖 2設曲面 由方程 Fx,y,z= 0 給出, Mx0,y0,z0是曲面 上的一點,并設

38、函數(shù) F x,y,z的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零；那么依據(jù)解析幾何,可得曲面上通過點 M 的一切曲線在點 M 的切線都在同一個平面上；這個平面稱為曲面 在點 M 的切平面；這切平面的方程是Fxx0,y0,z0 x-x0 +F y x0,y0,z0y-y0+F z x0, y0, z0z-z0= 0 |精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 通過點 Mx0,y0,z0而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線；法線方程是x=3 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量；向量 n = F xx0,y0,z

39、0,Fyx0,y0,z0,Fzx0,y0,z0 就是曲面 在點 M 處的一個法向量；8.6 多元函數(shù)極值的求法 8.6.1 多元函數(shù)的極值 二元函數(shù)的極值問題,一般可以利用偏導數(shù)來解決；定理 1必要條件設函數(shù) z = fx,y 在點 x0,y0具有偏導數(shù),且在點x0,y0處有極值,那么它在該點的偏導數(shù)必定為零：fxx0,y0 = 0 ,f yx0,y0 = 0 ；定理 2充分條件設函數(shù) z = fx,y 在點 x0,y0的某領域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),又fxx0,y0 = 0 ,fyx0,y0 = 0 ,令 fxxx0,y0 = A , fxyx0,y0 = B ,f yyx0,y0

40、= C,那么 fx,y在x0,y0處是否取得極值的條件如下：1AC-B 20 時具有極值,且當 A0 時有微小值；2AC-B 2 0 且在 D上連續(xù)；現(xiàn)在要運算該薄片的質量 M；由于面密度 x,y是變量,薄片的質量不能直接用密度公式M =S來運算；但 x,y是連續(xù)的,利用積分的思想,把薄片分成很多小塊后,只要小塊所占的小閉區(qū)域D s i 的直徑很小,這些小塊就可以近似地看作- .word.zl.第 18 頁,共 40 頁|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. - .勻稱薄片；在D s i這小閉區(qū)域的

41、面積也記作D s i上任取一點x i,h i,那么 x i,h iD s ii = 1 ,2, ,n可看作第 i 個小塊的質量的近似值插圖 1；通過求和, 再令 n 個小區(qū)域的直徑中的最大值記作 趨于零,取和的極限,便自然地得出薄片的質量M,即；再設有一立體,它的底是xOy 面上的閉區(qū)域D,它的側面是以D 的邊界曲線為準線而母線平行于z 軸的柱面,它的頂是曲面z = f x,y,這里 fx,y 0且在 D 上連續(xù)；這種立體叫做曲頂柱體；現(xiàn)在要運算上述曲頂柱體的體積V；由于曲頂柱體的高fx,y是變量,它的體積不能直接用體積公式來運算；但仍可采納上面的思想方法,用一組曲線網把D 分成 n 個小閉區(qū)

42、域D s 1 ,D s 2, , D s n,在每個 D s i 上任取一點 x i,h i,那么 fx i,h iD s ii = 1 , 2, , n可看作以fx i,h i為高而底為D s i 的平頂柱體的體積插圖 2；通過求和,取極限,便得出；上面兩個問題所要求的,都歸結為同一形式的和的極限；在其他學科中, 由很多物理量和幾何量也可歸結為這一形式的和的極限；因此我們要一般地爭論這種和的極限,并抽象出下述二重積分的定義；定義設 fx, y是有界閉區(qū)域D 上的有界函數(shù)；將閉區(qū)域D 任意分成 n 個小閉區(qū)域D s 1 ,D s 2, , D s n,其中 D s i表示第 i 個小閉區(qū)域,也

43、表示它的面積；在每個D s i 上任取一點 x i,h i,作乘積fx i,h i D s ii = 1, 2, n,并作和；假如當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時,這和的極限總存在 , 那 么 稱 此 極 限 為 函 數(shù)f x , y 在 閉 區(qū) 域D上 的 二 重 積 分 , 記 作, 即；其中 fx,y叫做被積函數(shù),fx,yds 叫做被積表達式,ds 叫做面積元素,x 與 y 叫做積分變量,D 叫做積分區(qū)域,叫做積分和；在二重積分的定義中對閉區(qū)域 D 的劃分是任意的,假如在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分 D,那末除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域

44、；設矩形閉區(qū)域 D s i的邊長為 D x j和 D y k,那么 D s = D x jD yk；因此在直角坐標系中,有時也把面積元素 ds 記作 dxdy,而把二重積分記作其中 dxdy 叫做直角坐標系中的面積元素；這里我們要指出,當 fx,y在閉區(qū)域 D 上連續(xù)時,*式右端的和的極限必定存在,也就是說,函數(shù) 9.1.2 二重積分的性質 二重積分與定積分有類似的性質：fx,y在 D 上的二重積分必定存在；性質 1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面,即k 為常數(shù)；性質 2 函數(shù)的和或差的二重積分等于各個函數(shù)的二重積分的和或差；例如；性質 3 假如閉區(qū)域 D 被有限條曲線分為有限個局

45、部閉區(qū)域,那么在 D 上的二重積分等于在各局部閉區(qū)域上的二重積分的和；例如 D 分為兩個閉區(qū)域 D 1 與 D2,那么；- .word.zl.第 19 頁,共 40 頁- .此性質表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性；性質 4 假如在 D 上, f x,y= 1, s 為 D 的面積,那么；此性質的幾何意義很明顯,由于高為1 的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積；|精. |品. |可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 性質 5 假如在 D 上, f x,y j x,y,那么有不等式；特殊地,由于- | f x,

46、y | f x,y | fx, y| ,又有不等式；性質 6 設 M,m 分別是 fx,y在閉區(qū)域D 上的最大值和最小值,s 是 D 的面積,那么有；上述不等式是對二重積分估值的不等式；性質 7二重積分的中值定理設函數(shù) fx,y在閉區(qū)域D 上連續(xù), s 是 D 的面積,那么在D 上至少存在一點 x ,h 使得下式成立：；9.2 二重積分的運算法直角坐標,極坐標依據(jù)二重積分的定義來運算二重積分,對特殊簡潔的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說可行,但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域來說,這不是一種切實可行的方法；這里介紹一種方法,把二重積分化為兩次單積分即兩次定積分來運算；9.2.1 利用直角坐標運算二重積分下面用幾何

47、的觀點來爭論二重積分的運算問題；在爭論中我們假定fx,y 0 ；并設積分區(qū)域 D 可以用不等式j 1x y j 2x, a xb來表示 插圖 1,其中函數(shù)j 1x、 j 2x在區(qū)間a,b 上連續(xù)；我們應用“ 平行截面面積為的立體的體積的方法,來運算這個曲頂柱體的體積；為運算截面面積,在區(qū)間 a,b 上任意取定一點 x0,作平行于 yOz 面的平面 x=x 0；這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 j 1x0, j 2x0 為底、曲線 z = f x0,y為曲邊的曲邊梯形插圖 2中陰影局部 ,所以這截面的面積為；一般的,過區(qū)間 a,b 上任一點 x 且平行于 yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面

48、積為,于是,得曲頂柱體的體積為；這個體積也就是所求二重積分的值,從而有等式；1上式右端的積分叫做先對 y、后對 x 的二次積分；就是說,先把 x 看作常數(shù),把 fx,y只看作 y 的函數(shù),并對y 運算從 j 1 x到 j 2x的定積分；然后把算得的結果是 x 的函數(shù)再對 x 運算在區(qū)間 a,b 上的定積分；這個先對 y、后對 x 的二次積分也常記作；因此,等式 1也寫成, 1在上述爭論中,我們假定 f x,y 0 ,但實際上公式 1的成立并不受此條件限制；類似地,假如積分區(qū)域 D 可以用不等式 1y x 2 y, c yd- .word.zl.第 20 頁,共 40 頁|精. |品. |可.

49、|編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. - .來表示 插圖 3,其中函數(shù) 1 y、 2y在區(qū)間c,d 上連續(xù),那末就有；上式右端的積分叫做先對x、后對 y 的二次積分,這個積分也常記作；因此,等式 2也寫成, 2這就是把二重積分化為先對x、后對 y 的二次積分的公式；我們稱圖9-2-1 所示的積分區(qū)域為X-型區(qū)域,圖9-2-3 所示的積分區(qū)域為Y-型區(qū)域；對不同的區(qū)域,可以應用不同的公式；假如積分區(qū)域D 既不是 X-型的,也不是Y-型的,我們可以把D 分成幾個局部,使每個局部是X-型區(qū)域或是 Y-型區(qū)域；假如積分區(qū)域D 既

50、是 X-型的,又是Y-型的,那么由公式1及2就得；上式說明,這兩個不同次序的二次積分相等,由于它們都等于同一個二重積分；二重積分化為二次積分時,確定積分限是一個關鍵；而積分限是依據(jù)積分區(qū)域D 的類型來確定的；例 1 運算,其中 D 是由直線 y = 1 、x = 2 及 y = x 所圍成的閉區(qū)域；解法 1 第一畫出積分區(qū)域D插圖 4；D 是 X-型的, D 上的點的橫坐標的變動范疇是區(qū)間1,2；在區(qū)間 1,2上任意取定一個x 值,那么 D 上以這個x 值為橫坐標的點在一段直線上,這段直線平行于y軸,該線段上點的縱坐標從y = 1 變到 y = x；利用公式 1得解法 2 把積分區(qū)域D 看成是

51、 Y-型的；同學們可作為練習,驗證解出的答案是否與解法1 的相一樣；對于較復雜的積分區(qū)域,在化二重積分為二次積分時,為了運算簡便,需要挑選恰當?shù)亩畏e分的次序；這時,既要考慮積分區(qū)域 D 的外形,又要考慮被積函數(shù) f x,y的特性；例 2 求量各底圓半徑都等于 R 的直交圓柱面所圍成的立體的體積；解 設這兩個圓柱面的方程分別為 x 2 + y 2 = R 2及 x 2 + z 2 = R 2 利用立體關于坐標平面的對稱性,只要算出它在第一卦限局部 插圖 5的體積 V1,然后再乘以 8 就行了；所求立體在第一卦限局部可以看成是一個曲頂柱體,它的底為,如 圖 9-2-5 b 所 示 ； 它 的 頂

52、 是 柱 面； 于 是 ,； 利 用 公 式 1 得從而所求立體體積為；9.2.2 利用極坐標運算二重積分有些二重積分, 積分區(qū)域 D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比擬便利,且被積函數(shù)用極坐標變量r, 比擬簡潔；這時,我們就可以考慮利用極坐標來運算二重積分；.word.zl.- 第 21 頁,共 40 頁按二重積分的定義有D 內部的射線與- .,下面將推導出這個和的極限在極坐標系中的形式；假定從極點O 動身且穿過閉區(qū)域D 的邊界曲線相交不多于兩點；我們用以極點為中心的一族同心圓： r=常數(shù),以及從極點動身的一族射線：=常數(shù),把 D 分成 n 個小閉區(qū)域 插圖 6；除了包含邊界點的一些|精. 小

53、閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面積D s i 可運算如下：,該點的直角坐標設為x i,其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值；在這小閉區(qū)域內取圓周上的一點|品. h i,那么由直角坐標與極坐標之間的關系有；于是；|可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * ,即 | * | * | 由于在直角坐標系中也常記作,所以上式又可寫成 * | |歡. |迎. |下. |載. ； 4這就是二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式,其中rdrd 就是極坐標系中的面積元素；公式4說明,要把二重積分中的變量從直角坐標變換為極坐標,只要把被積函數(shù)中的x、y 分別換成rcos 、 ,并把直角坐標系中的面積元素

54、dxdy 換成極坐標系中的面積元素rdrd ；極坐標系中的二重積分,同樣可以化為二次積分來運算；在插圖 7,二重積分化為二次積分的公式為；5上式也寫成；50, 2 = 特殊地,假如積分區(qū)域D 是插圖 8所示的曲邊扇形,那末相當于圖9-2-7a中 1 這時閉區(qū)域D 可以用不等式0 r , 來表示,而公式5成為；假如積分區(qū)域 D 如圖 插圖 9所示,極點在 D 的內部,那末相當于圖 9-2-8 中 = 0 、 = 2 ；這時閉區(qū)域 D 可以用不等式 0 r , 0 2 來表示,而公式5成為；由二重積分的性質 4,閉區(qū)域 D 的面積 s 可以表示為；在極坐標系中,面積元素 ds = rdrd ,上式

55、成為；- .word.zl.第 22 頁,共 40 頁|精. - ；.假如閉區(qū)域D 如圖 9-2-7a所示,這由公式 5有特殊地,假如閉區(qū)域D 如圖 9-2-8 所示,那么1 0, 2 = ；于是；例 3 運算,其中 D 是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域；解 在極坐標系中,閉區(qū)域D 可表示為 0 r a, 0 2 ；由公式4及 5有|品. 例 4 求球體 x2+y2+z2 4a 2圓柱面 x 2+y2=2axa0所截得的含在圓柱面內的局部立體的體積插圖 10；|可. |編. |輯. |學. |習. |資. 解 由對稱性,其中 D 為半圓周及 x 軸所圍成的閉區(qū)域；|料. * |

56、* | * | 在極坐標系中,閉區(qū)域D 可用不等式0 r 2acos , 0 來表示；于是 * | |歡. |迎. |下. |載. ；9.3 二重積分的應用實例在二重積分的應用中,由很多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理；假如所要運算的某個量對于閉區(qū)域 D具有可加性就是說,當閉區(qū)域 D 分成很多小閉區(qū)域時,所求量 U 相應地分成很多局部量,且 U 等于局部量之和,并且在閉區(qū)域 D 內任取一個直徑很小的閉區(qū)域 d 時,相應的局部量可近似地表示為 fx, y d的形式,其中 x,y在 d 內；這個 fx,y d稱為所求量 U 的元素而記作 dU,以它為被積表達式,在閉區(qū)域 D 上積分：9.3.

57、1 曲面的面積,這就是所求量的積分表達式；設曲面 S由方程 z = f x,y給出, D 為曲面 S在 xOy 面上的投影區(qū)域,函數(shù) fx,y在 D 上具有連續(xù)偏導數(shù)fxx, y和 fy x,y；我們要運算曲面 S 的面積 A；在閉區(qū)域 D 上任取始終徑很小的閉區(qū)域 d 這小閉區(qū)域的面積也記作 d ；在 d上取一點 P x,y,對應地曲面 S上有一點 Mx,y,fx,y,點 M 在 xOy 面上的投影即點 P；點 M 處曲面 S的切平面設為 T插圖 1；以小閉區(qū)域 d的邊界為準線作母線平行于 z 軸的柱面,這柱面在曲面 S上截下一小片曲面,在切平面 T 上截下一小片平面；由于 d 的直徑很小,

58、切平面 T 上的那一小片平面的面積 dA 可以近似代替相應的那一小片面積的面積；設點 M 處曲面 S上的法線指向朝上于 z 軸所成的角為 ,那么；由于,所以；這就是曲面 S 的面積元素,以它為被積表達式在閉區(qū)域 D 上積分,得；上式也可寫為；這就是運算曲面面積的公式；設曲面的方程為x=gx,y或 y=h z,x,可分別把曲面投影到xOy 面上投影區(qū)域記作D yz或 zOx 面上投- .word.zl.第 23 頁,共 40 頁影區(qū)域記作D zx,類似地可得- ,或.；例 1 求半徑為 a 的球的外表積；解：取上半球面的方程為,那么它在xOy 面上的投影區(qū)域D 可表示為 x2+y2a 2；由,得

59、；|精. 由于這函數(shù)在閉區(qū)域D 上無界,我們不能直接應用曲面面積公式；所以先取區(qū)域D 1：x 2+y2b20ba 為積分區(qū)域,算出相應于D 1上的球面面積A1后,令 ba 取 A1的極限,就得半球面的面積；|品. ,利用極坐標,得；|可. |編. |輯. |學. |習. |資. |料. * | * 于是 | * | * | |歡. |迎. |下. 這就是半個球面的面積,因此整個球面的面積為A = 4 a 2；|載. 9.3.2 平面薄片的重心設有一平面薄片,占有xOy 面上的閉區(qū)域D ,在點 x,y處的面密度 x,y,假定 x, y在 D 上連續(xù)；現(xiàn)在要找該薄片的重心的坐標；在閉區(qū)域 D 上任

60、取始終徑很小的閉區(qū)域 d 這小閉區(qū)域的面積也記作 d ,x,y是這小閉區(qū)域上的一個點；由于 d 的直徑很小,且 x,y在 D 上連續(xù),所以薄片中相應于 d 的局部的質量近似等于 x,y d ,這局部質量可近似看作集中在點x,y上,于是可寫出靜矩元素 dMy及 dMx：dMy = x x,y d ,dMx =y x,y d ；以這些元素為被積表達式,在閉區(qū)域 D 上積分,便得；又由第一節(jié)知道,薄片的質量為；所以,薄片的重心的坐標為；假如薄片是勻稱的,即面密度為常量,那么上式中可把 提到積分記號外面并從分子、分母中約去,這樣便得均勻薄片重心的坐標為 1其中 為閉區(qū)域 D 的面積；這時薄片的重心完全