高等數(shù)學同濟版第五章第六版教案

1、學習必備 歡迎下載授 課 教 案課程名稱：高等數(shù)學 授課專業(yè)：總 學 時：開課單位：制 定 人：審 核 人：制定時間：授課學時學習必備歡迎下載新授課教案2 學時課型教學內(nèi)容（章節(jié)）第五章定積分第 1 節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)（1）教學目標把握定積分的概念備注：教學重、難點把握定積分的概念教學方法及手段講練結(jié)合法 /板書教學教學預備教材,幫助教材教學過程：一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè) y f x 在區(qū)間 a b上非負、連續(xù)；由直線 x a x b y 0 及曲線 y f 所圍成的圖形稱為曲邊梯形 . 由于曲邊梯形的高是變動的 , 所以不能直接用矩形的面積公式進行運算 . 而如下考慮

2、: 將區(qū)間 ,a b 劃分為許多小區(qū)間 , 在每個小區(qū)間上用其中某一點處的高來近似的代替同一個小區(qū)間上的窄曲邊梯形的變高 , 那么 , 每個窄曲邊梯形就可以近似的看成這樣得到的窄矩形, 而將這些全部窄矩形的面積之和作為曲邊梯形面積的近似值 , 并把區(qū)間 a b 無限細分下去 , 使得每個區(qū)間的長度都趨于零 , 就這時全部窄矩形的面積之和的極限值就可定義為曲邊梯形的面積. 現(xiàn)將運算方法詳述如下 : 在 a b 中任意插入如干個分點a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,把區(qū)間 a b 分成 n 個小區(qū)間,其長度依次為 : x 1 x 1 x 0 ,x 2 x 2 x 1 , , x

3、 n x n x n 1 . 在每個小區(qū)間上 x i 1, x i 任取一點 i , 以 x i 1, x i 為底 , 為 f i 高的窄矩形近似地替代第 i 個窄曲邊梯形 , 這樣得到的 A 的近似值 , 即nAi1fix in 個窄矩形地面積之和作為所求曲邊梯形面積并記maxx 1,x 2,x n, 就0 當時 , 取上述和式的極限, 便得曲邊梯形的面積Alim 0inin1fixiSlim1viti學習必備 歡迎下載1、 變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,已知速度 v v t 是時間間隔 T 1,T 2 上 t 的連續(xù)函數(shù),且 v t 0,運算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s在 T

4、 1,T 2 內(nèi)任意插入如干個分點T 1 t 0 t 1 t 2 t i 1 t i t n T 2把 T 1,T 2 分成 n個小段 t 0, t 1 , t 1,t 2 , , t i 1 , t i , , t n 1 , t n 各小段時間長依次為t1t1t0,t2t2t1,tititi1,tntntn1,相應(yīng)各段的路程為ti1s 1,s 2,i,1s i,i,s n,以i時的速度vi來代替在 ti1,ti 上任取一個時刻titi,ti上各個時刻的速度,就得itii1,2,ns iv進一步得到設(shè)maxt1,s,v 1t1iv2t2vntnt2nitit0時,得=vi1,當,ntnsvl

5、im 0i1二、定積分定義定義 1 設(shè)函數(shù)fx在a,1b上有界,在a,b中任意插入如干個分點xna,xnb,把區(qū)間b分成 n 個小區(qū)間ax0 x 1x2,其長度依次為: x0,x 1,x 1,x 2,xn1,xn,學習必備歡迎下載各個小區(qū)間的長度依次為在每個小區(qū)間xi1,x 1x 1x0,x2xx2x 1,xnxnxn1. i作小區(qū)xi上任取一點ii1ixi,對應(yīng)函數(shù)值為f間長度ix 與fi的乘積fix ii,12 ,n ,并作出和nS f i x i . i 1記 max x 1 , x 2 , , x n ,假如 不論對 a , b 怎 樣分法 ,也不論 在小區(qū) 間 x i 1 , x i

6、 上點 i怎樣取法 ,只要當 1時,和式 S 總趨于確定的極限 I ,這時我們稱 這 個 極 限 I 為 函 數(shù) f x 在 區(qū) 間 a , b 上 的 定 積 分 簡 稱 積 分 , 記 作ba f x dx ,即b na f x dx = I = lim0 i 1 f i x i , 其中 f x 叫做被積函數(shù) , f x dx 叫做被積表達式 , x 叫做積分變量 , a 叫做積分下限, b 叫做積分上限 , a , b 叫做積分區(qū)間 .注 1 積分區(qū)間有限,被積函數(shù)有界； 2與“ 分法” 、“ 取法” 無關(guān)；f x 在a,b連續(xù)是 3定積分的值與積分變量的選取無關(guān)bfx dxbftdt

7、; aa 4fx在a,b有界是fx在a,b可積的必要條件,在a,b上肯定fx 在a,b可積的充分條件；fx 接下來的問題是：函數(shù)f x 在a,b上滿意怎樣的條件,可積？以下給出兩個充分條件；留意： 積分與積分變量無關(guān),即：bfx dxbftdtbf uduaaa函數(shù)可積的兩個充分條件：定理 1 設(shè)f x 在a,b上連續(xù),就fx在a,b 上可積；定理 2 設(shè)fx在區(qū)間a,b學習必備歡迎下載f x在a,b上上有界,且只有有限個間斷點, 就可積；假如我們對面積賦以正負號,在 x 軸上方的圖形面積賦以正號,在 x 軸下方的b圖形面積賦以負號,就在一般情形下,定積分 f x dx 的幾何意義為：它是a介

8、于x軸、函數(shù)曲線 y f x 的圖形及兩條直線 x = a、 x = b 之間的各部分面積的代數(shù)和；練習設(shè)計 課后習題 9 教學反思 與同學一起做練習,邊講邊練注：1每 2 學時至少制定一個教案；2課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、試驗課等；3上新課和新上課的老師要求寫詳案；4要求老師上課必帶教案；5“ 備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）；6教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）；授課學時學習必備歡迎下載新授課教案2 學時課型教學內(nèi)容（章節(jié)）第五章定積分第 1 節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)（2）教學目標把握定積分的概念備注：教學重、難點把握定積分的概念教學方法及手段講練結(jié)合法 /板書教學教學預備教材

9、,幫助教材教學過程：三、定積分的性質(zhì)為了以后運算及應(yīng)用便利起見, 第一 , 我們作如下補充規(guī)定: xi 1. 當ab時, bfx dx=0; a 2. 當ab時, bfx dx=-afx dxab由上式可知 , 交換定積分上、下限時, 肯定值不變而符號相反. 假設(shè)以下性質(zhì)中所列出的定積分都時存在的. 性質(zhì) 1 bfx gxdx=bfxdxbgx dxaaa證明bfx gxdx = lim 0in1figixiann =lim 0i1fixilim 0i1gi=bfx dxbgx dxaa性質(zhì) 2 bkfx dx=kbfx dx k 是常數(shù) aa性質(zhì) 3 設(shè)acb,就bfx dx=cfx dx+

10、bfx dxaac,此等這個性質(zhì)說明定積分對積分區(qū)間具有可加性, 而且不論a ,c ,b的相對位置如何式總是成立的 . 性質(zhì) 4 假如在區(qū)間a,b上, fxb1,就b adx=b adx=a學習必備歡迎下載b上的最大值及最小值,性質(zhì) 5假如在區(qū)間a,b上, fx0,就bfx dx0 ab a推論 1假如在區(qū)間a,b上, fxgx,就bfx dxbg x dxab aa推論 2 bfx dxbfxdxabaa性質(zhì) 6 估值定理 設(shè) M及 m分別是函數(shù)fx在區(qū)間a,就m ba bfx dxM baaba據(jù)此性質(zhì) , 利用被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值 范疇 .,可以估量積分值的大致性質(zhì) 7

11、積分中值定理 假如函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ,就在積分區(qū)間a, b 上至少存在一個點 ,使下式成立 : ba f x dx f b a a b 這個公式叫做積分中值公式 . 1例 1 利用定積分幾何意義,求定積分值0 1 x dx 2解 上式表示介于 x 0 , x 1 , y 0 , y 1 x 2之間面積1 2所以0 1 x dx4例 2 證明 23 0 12 1x x 2 dx 122證明 2 x x2 9 x 1 在 0,1 上最大值為 9 ,最小值為 24 2 42 1 13 2 x x 2 22 1 1 13 02 x x 2 2練習設(shè)計 課后習題 9 教學反思 與

12、同學一起做練習,邊講邊練注：1每 2 學時至少制定一個教案；2課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、試驗課等；3上新課和新上課的老師要求寫詳案；4要求老師上課必帶教案；5“ 備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）；6教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）；授課學時學習必備歡迎下載新授課教案2 學時課型教學內(nèi)容（章節(jié)）第五章定積分其次節(jié)微積分基本公式備注：懂得積分上限函數(shù)的定義及有關(guān)運算教學目標把握牛頓 _萊布尼茲公式教學重、難點把握牛頓 _萊布尼茲公式教學方法及手段講練結(jié)合法 /板書教學教學預備教材,幫助教材教學過程：一、變速直線運動中位置函數(shù)于速度函數(shù)之間的關(guān)系由 第一節(jié) 知 , 物體在 時間 間隔

13、T 1, T 2 內(nèi) 經(jīng)過 的路程 可以 用速度 函數(shù) v t 在T 1 , T 2 上的定積分T 2T 1 v t dt來表達 ; 另一方面 , 這段路程又可以通過位置函數(shù) s t 在區(qū)間 T 1, T 2 上的增量s T 2 s T 1 T 2來表達 .由此可見 ,位T 1 v t dt 置函數(shù) s t 與速度函數(shù) v t 之間又如下的關(guān)系 : T 2T 1 v t dt = s T 2 s T 1 而 s t = v t ,即位置函數(shù) s t 是速度函數(shù) v t 的 原函數(shù) , 所以上述關(guān)系式表示 , 速度函數(shù) v t 在區(qū)間 T 1, T 2 上的定積分等于 v t 的原函數(shù) s t

14、在區(qū)間 T 1, T 2 上的增量s T 2 s T 1 上述問題在肯定條件下具有普遍性二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)設(shè)函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上連續(xù) , 并且設(shè) x 為 a, b 上的一點 , 就稱xa f t dt為積分上限 x的函數(shù) , 記為x x a f t dt a x b 此函數(shù)具有如下重要性質(zhì) : 定理 1 假如函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上連續(xù) , 就積分上限的函數(shù)x x a f t dt在 a, b 上可導 , 并且其導數(shù)是 x dx da xf t dt f x a x b 定理 2 原函數(shù)存在定理 假如函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上連續(xù) , 就函數(shù)x x a

15、f t dtf x a, bxx aftdt上的一個原函數(shù)學習必備歡迎下載就是fx 在a,b三、牛頓萊布尼茲公式定理 3 假如函數(shù)Fx是連續(xù)函數(shù)ffx 在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù),就證明已知函數(shù)Fbfx dxF b Fa 1 a x 的一個原函數(shù),又依據(jù)前面的定理知道,x是連續(xù)函數(shù)積分上限的函數(shù)也是fxxxftdt（第四章第一節(jié)） ,a的一個原函數(shù)； 于是這兩個原函數(shù)之差為某個常數(shù)即F x x C 2 在上式中令 x a,得 F a a C . 又由 x 的定義式及上節(jié)定積分的補充規(guī)x定知 a 0,因此,C F a . 以 F a 代入 2 式中的 C,以a f t dt 代入 2式中的 x

16、,可得xa f t dt F x F a ,在上式中令 x b,就得到所要證明的公式 1. 注 由積分性質(zhì)知, 1 式對 a b 的情形同樣成立 . 為便利起見,以后把bF b F a 記成 F x a；公式 1 叫做牛頓 Newton- 萊步尼茲 Leibniz 公式,它給定積分供應(yīng)了一種有效而簡便的運算方法,也稱為微積分基本公式；例 1運算定積分；解；例.2 運算11312dxx37學習必備歡迎下載1x解：1312dx=arctan1x12例 3 111 dx2 xlnxx1ln1ln2ln2解：dx2x2例.4 運算ysin在 ,上與 x 軸所圍成平面圖形的面積；解：A0sinxdxco

17、sx02例 5 求解易知這是一個0 型的未定式,我們利用洛必達法就來運算；0因此；練習設(shè)計課后習題6教學反思 與同學一起做練習,邊講邊練注：1每 2 學時至少制定一個教案；2課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、試驗課等；3上新課和新上課的老師要求寫詳案；4要求老師上課必帶教案；5“ 備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）；6教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）；授課學時學習必備歡迎下載新授課教案2 學時課型教學內(nèi)容（章節(jié)）第五章定積分第 3 節(jié) 定積分的換元法與分部積分法（1）教學目標把握定積分的換元法備注：教學重、難點把握定積分的換元法教學方法及手段講練結(jié)合法 /板書教學教學預備教材,幫助教材教學

18、過程：一、定積分的換元法定理假設(shè)函數(shù)fx 在區(qū)間a,fb上連續(xù) , 函數(shù)xt滿意條件1 a,b; 上具有連續(xù)導數(shù), 且其值域Ra,b, 就有2 t在,或者,bfx dx= t t dtat 時, 積分限也要換成相應(yīng)于新變此公式叫定積分的換元公式. x代換成新變量注1 用xt把原先的變量量 t 的積分限 ; 2 求出 f t t 的一個原函數(shù) t 后, 不必要再把 t 變換成原先變量x 的函數(shù) , 而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 t 相減就可以了 . a 2 2例 1 運算 a x dx a 0 0解 設(shè) x a sin , 就 dx a cos tdt , 且當 x 0 時 , t 0

19、 ; 當 x a 時, t , 于是有20 aa 2x 2dx a 20 2 cos tdt 2= a2 20 2 1 cos 2 t dta 21 2 a 2= t sin 2 t =2 2 0 4例 2 運算0 2 cos 5x sin xdx解0 2 cos 5x sin xdx = 0 2 cos 5xd cos x =6 cos x2= 011學習必備歡迎下載6066在例 2 中, 假如我們不明顯地寫出新變量t , 那么定積分的上、下限就不要變更. 例 3 運算0sin3xsin5x dx. 33解0sin3xsin5x dx=2sin2xcosxdx+2sin2x cosx dx0

20、33 =2sin2xdsinx-2sin2xdsinx 0 =2sin5x2-2sin5x220255 =2255=4 5假如忽視cosx在2,上非正 , 而按3sin3xsin5xsin2xcosx運算 , 將導致錯誤 . 例4 證明 : 1如函數(shù)函數(shù)fx在區(qū)間a,a上連續(xù)且為偶函數(shù), 就afx dx=2afx dxa0上連續(xù)且為奇函數(shù), 就 2如函數(shù)函數(shù)f x 在區(qū)間a,aafx dx=0. a證afx dx=0fx dx+afx dxaa0tdt=afx dx對積分0fx dx作代換xt, 就得a0fx dx=-0ftd t=-afaa00所以 =fxafx dx=afx dx+afx

21、dxa00a 0 fx ffx dx1 如為偶函數(shù) , 就x fxfx=2所以afx dx2afx dxa0學習必備 歡迎下載所以2 如fxafx dx=2afx dxa0為奇函數(shù) , 就fxfx=0 所以afx dx=0 , 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分. a利用本例 , 常可簡化運算奇函數(shù)練習設(shè)計課后習題2教學反思 與同學一起做練習,邊講邊練注：1每 2 學時至少制定一個教案；2課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、試驗課等；3上新課和新上課的老師要求寫詳案；4要求老師上課必帶教案；5“ 備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）；6教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）；授課學時學習必備歡迎下載新授課教

22、案2 學時課型教學內(nèi)容（章節(jié)）第五章定積分第 3 節(jié) 定積分的換元法與分部積分法（2）教學目標把握定積分的換元法備注：教學重、難點把握定積分的換元法教學方法及手段講練結(jié)合法 /板書教學教學預備教材,幫助教材教學過程：一、定積分的換元法定理假設(shè)函數(shù)fx 在區(qū)間a,fb上連續(xù) , 函數(shù)xt滿意條件1 a,b; 上具有連續(xù)導數(shù), 且其值域Ra,b, 就有2 t在,或者,bfx dx= t t dtat 時, 積分限也要換成相應(yīng)于新變此公式叫定積分的換元公式. x代換成新變量注1 用xt把原先的變量量 t 的積分限 ; 2 求出 f t t 的一個原函數(shù) t 后, 不必要再把 t 變換成原先變量x 的函數(shù) , 而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 t 相減就可以了 . 例 1 設(shè)函數(shù)解f x =xex2,x01x02. 1x,1cos運算4fx2dx. 4時, t1令x2dxdt, 且t, 就當x1時, t1; 當x于是4f x2dx =2f t dt12tet2dttan11e4111 =0dtx+110cos =tan t 201et22 =20222例 2 2 coscos xxdx1cos x學習必備歡迎下載2 xdx0 x2 2 sin2 sin2例 3 x2 cosx4 cos1xdsin x2 arctan sin x222 sin0201x