高一數(shù)學必修一復習資料

1、:必修復習資Coca-cola standardization office ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18集合.關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性（組成元素不確定的如：我國的小河流）（2）互異性（3）無序性集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣（1）若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.例：已知 A=1, 1+d, l+2d, B=1, q, q2,若 A二B,求的，d, q 的值。解：d=I， q=.元素與集合的關(guān)索；（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belongto） A,記作（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（n

2、otbelongto） A,記作agA子集與真子集：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集 合B的子集，記作4口8或8 3 4.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P.記作若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的 真子集.Au8或8nA.子集與真子集的性質(zhì)：傳遞性：若4口8, BqC,則AqC空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.常用數(shù)集及其記法非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N或N.；整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實數(shù)集，記作R.集合的表示方法（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，

3、寫在大括號內(nèi)。如：1, 2, 3, 4, 5, x, 3x+2, 5y3-x, x+y）,；（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號:，內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。如：x x-32, （x, y） y=x2+l, 直角三角形，；（3）自然語言描述法：小于10的所有正偶數(shù)組成的集合。（2, 4, 6, 8）問：1、1, 3, 5, 7, 9）如何用自然語言描述法表示2、用例舉法表示集合A = xeNlx0, A=1, 3, 5, 7, 9, B=1, 4, 7, 10,且

4、XAA = 0,XnB = X,試求 p、q；8、已知集合A=a+2, (a+1)3, a2+3a+3,且1A,求實數(shù)a的值9、已知集合A=x x5x+6=0, B=(ximx+l=0, AUB二A,求實數(shù)m的值組成的集合。10、集合 A =x X-2IW2, xeR), B=y|y=-X2, 1WxW2,則 Cr(AAB)等于()x：xR, xW0C.0D.(空集)IK已知a, bcA,且A為a, b, c, d, e的真子集，則滿足條件的集合A的個數(shù)是 ()12、記函數(shù)f (x)=lg (2x-3)的定義域為集合M,函數(shù)g (x)=Jl一2的定義域為集合 N,求：(1)集合 M N； (2

5、)集合 mClN, MUN13、已知集合A=x x -B=x x5x+420,若AAB二中，則實數(shù)a的取值范圍是()函數(shù)函數(shù)概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系使對于集合A中 的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f A-B為 從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：支f(x), xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做 函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域區(qū)間：(1)、開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)、無窮區(qū)間；區(qū)間的數(shù)軸表示例1：已知函數(shù)f(x)=+

6、_,求函數(shù)的定義域。x + 2例2：設(shè)一個矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并寫 出定義域。函數(shù)的定義域小結(jié)：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實 數(shù)的集合(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都 有意義的實數(shù)集合.(即求各集合的交集)(5)滿足實際問題有意義.例3：下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等(D 尸(、公尸；(2)尸(V7); 2(3)產(chǎn)V? ; (4)

7、y x練習：1.求下列函數(shù)的定義域?(1 ), + X2 1- - 2 42-岡2_ylg?(|x|- =x+-(X)=X =x+-(X)=X：+ (X)=(X)= (x-) 2r(x)的定義域為(-1, 1),求函數(shù)F (x) =f (1-x) +f d)的定義域。x2.已知 A二1,2, 3, k, B=4, 7, a；, a:+3a, aN xA, yB, f： xf y=3x+l 是從定義域A到值域B的一個函數(shù)，求a, k, A, Bo解：a=2, k=5, A=1, 2, 3, 5, B=4, 7,16,10)映射：一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則/,使對

8、于集合 A中的任意一個元素,在集合B中都有唯一確定的元素)，與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)A f B為從集合A到集合B的一個映射.記作 “/： A-B”說明：(1)這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中/表示具 體的對應(yīng)法則，可以用多種形式表述.(2) “都有唯一”包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個 的意思.例：1.已知A=x, y, B=a, b, c,從集合A到集合B的所有不同的映射有()個。2.已知A=x, y, B=a, b, c,從集合B到集合A的所有不同的映射有()個。函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法練習：1.已知f (x-2)

9、 =2x:-9x+13,求f (x)配湊法答案：f (x) =2x2x+3.已知 f (依+1) =x + 2依，求 f (x+1) , f (x2)換元法答案：f (x+1) =x:+2x, (xNO) ； f (x:) =x1 1 (xW 1 或 xNl).已知f (x)是一次函數(shù)，且有f f (x) =9x+8,求f (x)待定系數(shù)法答案：f (x) =3x+2 或 f (x) =-3x-4.設(shè)f (x)滿足關(guān)系式f (x) +2f (-) =3x,求f (x)消元法X答案：f (x) x, xx xR, xWOx6,已知xWO,函數(shù)f (x)滿足f (x-)二六+=，則f (x)的表達

10、式為() xx27.已知函數(shù)f (x)=,、(f(x-l), (x若函數(shù) f (2x+l) x2x,則 f (3.已知函數(shù)f (x)=二，則f (1f(4) +f (；)的值為() 4.已知 f (二+1) =lgx,求 f (x).已知f(X)是二次函數(shù)，且f( 12.定義在(-1, 1)內(nèi)的函數(shù)f (x(x)的解析式.,那么f (5)的值為() 4)=0)+f(2)+f (b +f(3)+f (b + 230)=0, f (x+1) =f (x) +x+l,求 f (x)滿足：2f (x) f (x) =lg (x+1),求函數(shù) f函數(shù)的基本性質(zhì)增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y二f(x)的定義域為

11、I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任 意兩個自變量x：,也，當xx二時，都有區(qū))紅(整)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 注意：(1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)必須是對于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量小,右；當xKx：時，總有風)(天).減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y二f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任 意兩個自變量x：, X2,當xKx,時，都有f(xjf(xj,那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函 數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性定義：如果函數(shù)尸f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y二f(x)在這一區(qū)間具有 (嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間

12、D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。例1:物理學中的玻意耳定律P二器(k為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時，壓強P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。(設(shè)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取 Xf, xD,且 Xi OB、x+y0C、x+y20D、x+yWO3、函數(shù)y=logg (4 + 3x-x:)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A. (一8, |) B.已 +8)c. (-1, ；) D.弓，4 ).下列函數(shù)中，一在區(qū)面(0,2)上為增函藪的是()=x+=Vx=x2 4x + =x.函數(shù)f (x)=3 (xeR)的值域是() l+x2

13、A. (0, 1) B, (0,1C. 0,1) D. 0, 1.已知函數(shù)f (x) ax2 + 2ax+l, x 3, 2的最大值為4,求其最小值.函數(shù)的奇偶性和周期性：函數(shù)的奇偶性定義：.偶函數(shù)：一般地,對于函數(shù)/*)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有/(-x) = /(x),那么/(X)就叫做偶 函數(shù).(學生活動)依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義.奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)/(X)的定義域的任意一個X,都有/(_x) = _/(x),那么/(X)就叫做奇函 數(shù).注意：函/是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于

14、定義域內(nèi)的任意一 個X,則-X也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.練習：1.已知函數(shù)f (x)是定義在(-8, +oo)上的偶函數(shù)，當x (8, 0)時，f(X)=X-X1,則當 x (0,+8)時,f (x)二.已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù).且在0, +8)上為增函數(shù)，若f (a) 2f (2),則實數(shù)a的取值范圍是：.函數(shù)f (x)對任意實數(shù)x滿足條件f (x+2) 4-，若f(1)二一5,則 f(X)f (f (5)=第二章基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)和指數(shù)塞的運算n次方根的含義一般

15、地，若則X叫做a的A次方根，其中且n次方根的寫法零的a次方根為零，記為強=。小結(jié)：正數(shù)的偶次方根有兩個，并且互為相反數(shù)：負數(shù)沒有偶次方根；零的任何次方根為 零?！纠?】寫出下列數(shù)的n次方根(1)16的四次方根；(2 ) 2 7的五次方根；(3)9的六次方根解：(1 ) V16 =2(2 ) -V27(3 ) 我=土“3、n次方根的性質(zhì)歸納：n次方根的運算性質(zhì)為(1 )麗)”=a(2 ) n為奇數(shù)，n為偶數(shù)，=山=心一a, a b)解：而才=一8；(2)J(Wq =10；=|3_乃| =萬_3；yj(a-b)2 = a-b = a-b.隨堂練習.求出下列各式的值7玳 3-3)、(心1)(3)gf

16、4 (al)解：(1) V(-2)7 =-2； (2) 3(3_3)3 =3-3.a - 3) = |3a - 3 = 3a-3【例3】：求值：分析：(1)題需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\算性質(zhì)；解：隨堂練習.若一2 +1 = 一 1,求亦取值范圍解：a 1.計算亦可+ #(3 2)4 -玳2 公尸解：-9+V3第二節(jié)1、分數(shù)指數(shù)累規(guī)定：(1)、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義為：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)鎏的意義與負整數(shù)鎏的意義相同.- 1 .即：a n = (a 0, m, n e N )(2)、0的正分數(shù)指數(shù)基等于0, 0的負分數(shù)指數(shù)幕無意義.2、分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)幕的運算性

17、質(zhì)，對于分數(shù)指數(shù)事同樣適用，B|J：(1)，/(1= ar+s(a 0,r,5 e (?)(/)$ =a(4(V,seQ)(ab)r = ab (a 0,b 0,r e Q )3、無理指數(shù)幕思考：若。0, P是一個無理數(shù)，則/該如何理解自主學習：學生閱讀教材第6 2頁中的相關(guān)內(nèi)容歸納得出：虎的不足近似值，從由小于虎的方向逼近點，拒的過剩近似值從大于點 的方向逼近虛。所以，當點不足近似值從小于應(yīng)的方向逼近時，5的近似值從小于 5。的方向逼近5。.當點的過剩似值從大于點的方向逼近3時，5的近似值從大于5的方向逼近5, (如課本圖所示)所以，50是一個確定的實數(shù).總結(jié)：一般來說，無理數(shù)指數(shù)嘉是一個無

18、理數(shù))是一個確定的實數(shù)，有理數(shù)指數(shù) 塞的性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)塞.這樣募的性質(zhì)就推廣到了實數(shù)范圍 練習：輕松過關(guān)1、下列式子中計算正確的是(D )A (x2 )4 = x1 B (x3) = xb C x3 x2 = x6 D(3a2= 9a42下列式子中計算正確的有(A )(1 ) aj-1= J-4 ;( 2 ) -jyly/a = a7 ( 3 )4=a + alA0B1C2D33、（及廠（利、”的值是（B）c 2V24、下列說法正確的是（4、下列說法正確的是（C ） A5無意義 B 5 25 C 5141 5、用計算器算10理-104 = 0.5霹 5L42 D5/ 50 12 8；

19、(保留4個有效數(shù)字)6、已知/+-=3,則a + c/2 9 6、已知/+-=3,則a + c/2 9 一7、計算（次）方（痂7戶彳而的值解：原式=9一 10亍適度拓展8、化簡：+/）2 _4+解：原式=+ +e-3卜 2 ee) + 4 (e=) 39、已知 9、已知 a + “-i=3,求 J 解原式=3行，提示：， 綜合提高1 o、已知： =2、/7,的值= (a + cr)(a2 +cr2)R ”2-2一9？求，=riR ”2-2一9？求，=ri Fj i7晨b -6a，b +9b-33 1/3亍的值.32解：由a%-2 -6涼戶+9涼=（用尸一3只了,乂 lab, :. a a 3Z

20、?3 ,從而得公尸 10a 10alx0, axl在第二象限內(nèi)的圖 象縱坐標都小于1在第二象限內(nèi)的圖 象縱坐標都大于1xVO, axl利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：(1)在必涉上,/(幻二/ (。0且。工1)值域是()(6)或(2)若x工0,則/(x) w 1;/(x)取遍所有正數(shù)當且僅當xeR;(3)對于指數(shù)函數(shù)/(幻=，(。0且aWl),總有八1)=；(4)當時,若 XV%2,則/(XI) V f(%2);練習：1、函數(shù)/(A) = (3、的定義域和值域分別是多少？ xeR,y0 22、當xe-1,1附，函數(shù)/(x) = 3，2的值域是多少？(一：，1 )對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)運算對數(shù)

21、：一般地，若/= N(a0,且。1),那么數(shù)x叫做以a為底V的對數(shù)，記作x = Iogd N叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2、對數(shù)式與指數(shù)式的互化在對數(shù)的概念中，要注意：(1)底數(shù)的限制 0,且 W1a = N u log. N = x指數(shù)式O對數(shù)式塞底數(shù)一一對數(shù)底數(shù)指數(shù)一X一對數(shù)暴一N一真數(shù)恒等式：二N負數(shù)和零沒有對數(shù)。Logal=0； logaa=l兩類對數(shù)：10” =100 = 1()2,于是 x = 2所以2(4)由In/ = x，得x = In9即ex = e2所以2運算性質(zhì)：如果0,且owl, M0, N0,那么： N)= logfl M +bgN；Mlog。W = bgM - bg

22、N；logfl M = n logfl M (n e R) .換底公式log。b = 0 7 且。工!?，。0,且 cwl； Z?0 ).log,。證明：設(shè)明二b,所以loga三logb 因為loga三xloga：所以X=logcaVlogca=logcb/logca=logab換底公式推論(1)log lv bv = logn/?； m(2) logj7 = - (2) logj7 = - log/, a圖象特征：/!( ?=iog lx x1-函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)困數(shù)的定又域為（0，+8）圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)向y軸正負方向無限延伸函數(shù)的值域為R函數(shù)圖象都過定點（1, 1）自

23、左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象 縱坐標都大于0第一象限的圖象 縱坐標都大于0第二象限的圖象 縱坐標都小于0第二象限的圖象 縱坐標都小于0嘉函數(shù)定義：一般地，形如y = N （A-eR）的函數(shù)稱為暴孫函數(shù)，其中X是自變量，。是常數(shù).如）, = /,）, = /,）,=/工等都是塞函數(shù)，塞函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本 初等函數(shù).五種基本塞函數(shù)：定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限 單調(diào)增減性在第I象限 單調(diào)遞增在第1象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第1象限 單調(diào)遞增在第1象限 單調(diào)遞減定點(1, 1)(1, 1)(1, 1)(1, 1

24、)(1, 1)爆函數(shù)性質(zhì)：（1）所有的幕函數(shù)在（0, +8）都有定義，并且圖象都過點（1, 1）（原因：1=1）： （2）工0時幕函數(shù)的圖象都通過原點，并且在0, +8上，是增函數(shù)（從左往右看， 函數(shù)圖象逐漸上升）.特別地，當工1時，（0, 1） , y = *的圖象都在y = x圖象的下方，形狀向 下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因嗎）當/QV1時，xG （0, 1） , y = /的圖象都在y = x的圖象上方，形狀向上凸，a越 小，上凸的程度越大（你能說出原因嗎）（3） a V0時，鎏函數(shù)的圖象在區(qū)間（0, +8）上是減函數(shù).在第一家限內(nèi)，當戈向原點靠近時，圖象在y軸的右方無限逼近）

25、，軸正半軸，當x慢慢地變 大時，圖象在x軸上方并無限逼近1軸的正半軸.例題：證明幕函數(shù)/（X）= /7在0,+8上是增函數(shù)證:任取 X, x, e 0, -ho）,且x1 x2 則_ （右一丙）（。+迎） 歷+后一 8一不因 為 VO，+W7 。所以/（5） /2），即/（X）= G在0, +8上是增函數(shù).第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程零點定義：對于函數(shù)1y =/（x）（x。），把使/（x） =。成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y = /（x）（xe。） 的零點.函數(shù)零點的意義：函數(shù)），= /*）的零點就是方程/“）= o實數(shù)根，亦即函數(shù)y = /（x）的圖象與x軸交點的橫坐 標.B|J：方程/*） = 0有實數(shù)根O函數(shù)y = /（x）的圖象與大軸有交點O函數(shù)y = /（x）有零點.函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y = /（X）的零點：（代數(shù)法）求方程/。） = 0的實數(shù)根；（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y = /（x）的圖象聯(lián)系起來，并 利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)y = ax1 +bx + c(a H 0).(1 ) 0 ,方程內(nèi)2+法+。= 0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個交 點，二次函數(shù)有兩個零點.(2 ) = 0