高中數(shù)學聯(lián)賽之歷年真題匯編(1981-2020)專題14排列組合(解析版)

1、備戰(zhàn)2021年高中數(shù)學聯(lián)賽之歷年真題匯編（1981-2020）專題14排列組合1.12004高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設三位數(shù)九=赤，若以，b, c為三條邊的長可以構成個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有（）A. A. 45 個 B. 81 個 C. 165 個D. 216 個【答案】C【解析】內(nèi)瓦C要能構成三角形的邊長，顯然均不為。.即瓦,9）.（1）若構成等邊三角形，設這樣的三位數(shù)的個數(shù)為:，由于三位數(shù)中3個數(shù)碼都相同，所以 =己=9,（2）若構成等腰（非等邊）三角形，設這樣的三位數(shù)的個數(shù)為“2,由于三位數(shù)中只有2個不同數(shù)碼設為a, b,注意2c2到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼

2、組（a，6）共有9但當人數(shù)為底時，設心上必須滿足反。26.此時，不能構成三角形的數(shù)碼是:a987654321b4,32,14,323,213,212,12,111共20種情況.同時，每個數(shù)碼組（。，與中的2個數(shù)碼填上3個數(shù)位，有C；種情況.故叫=c式2C； - 20）= 6G - 10）= 156.嫁上九=nx + n2 = 16S.2.11999高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽場，但有3名選手各比賽了 2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行了 50場那么，在上述3名選手之間比賽的場數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】設這三名選手之

3、間的比賽場數(shù)是八共名選手參賽.由題意，有50 = C：_2 + r + （6-2r）,即叱等上=44+ r, 由更3,經(jīng)檢驗可知，僅當尸1時，=13為正整數(shù).第1頁共183.11986高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】平面上有1個點集M和7個不同的圓加,。2,。7，其中圓。7恰好經(jīng)過M 中的7個點，圓C6恰好經(jīng)過M中的6個點圓G恰好經(jīng)過Af中的1個點，那么M中的點數(shù)最少為（） A. 11 B. 12 C. 21 D. 28【答案】B【解析】要使M中的點的個數(shù)最少，各圓要盡可能多地共同經(jīng)過M中的點.因為不相同的兩國最多只有兩個公 共點.由于G經(jīng)過M中的7個點，所以。6至少要經(jīng)過河中的另外4個點，而Q除了

4、和品各有兩個公共點 外，還要經(jīng)過河中的個點，故M中至少要有12個點，且有12個點，就能滿足要求：先作兩兩相交的3個 圓，記為C7,CwG.再作圓Q與兩圓C&C7都相交于另外的點（但與Cs不相交）.又過。與C?的個交點，作網(wǎng)C 3，使其與C5及a各交個新的點，將所有的交點都算作M中的點，此時V中的點為12個C?與。6，。5，。4各有 兩個交點，又與C3有個新交點，共7個點；。6與。7，。5儲4各有兩個交點，共6個點；C5與。7，。6各有兩個交 點，且與。3有 個新交點，共5個點：C與。7, C6各有兩個交點，共4個點：C3是過。7與Cs的個交點， 且與其各交得個新點，共有3個點.最后在M的12個點中，選取兩個點、個點分別作滿足要求的圓C.G是 容易的事.故答案為艮4.12020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試】現(xiàn)有10張卡片，每張卡片上寫有123,4,5中兩個不同的數(shù)，且任意兩張 卡片上的數(shù)不完全相同.將這10張卡片放入標號為1,234,5的五個盒J中，規(guī)定寫有ij的卡片只能放在i號或J 號盒子中.種放法稱為好的“，如果1號盒子中的卡片數(shù)多于其他每個盒子中的卡片數(shù).則”好的放法共有 一種.【答案】120【解析】用UM表示寫有ij的卡片.易知這10張卡片恰為i,/（l ij0,些0.故avo, bQ.2a4a因此，這樣的二次函數(shù)有禺=