常微分方程與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性第三篇

1、常微分方程與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性第三篇 1第1頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第一節(jié) 常點(diǎn)與奇點(diǎn)研究二維方程組(5.1)(5.2)點(diǎn)P(x0,y0）稱為(5.1)的奇點(diǎn)，若:反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一個(gè)不等于零，則此點(diǎn)稱為(5.1)的常點(diǎn)。性質(zhì):過常點(diǎn)有唯一解，但奇點(diǎn)處解至少不唯一第2頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 由于任何奇點(diǎn)都可借助坐標(biāo)平移而將它化為原點(diǎn)，因而總認(rèn)為原點(diǎn)是（5.1）的奇點(diǎn)。 在原點(diǎn)鄰域內(nèi)將 X, Y 展為泰勞級(jí)數(shù)，得：(5.3)X2，Y2 -所有二次項(xiàng)以上的全體.則此奇點(diǎn)稱為一次奇點(diǎn),反之稱為高次奇點(diǎn)。

2、(5.4)如果第二節(jié) 一次奇點(diǎn)第3頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(5.5)研究以下線性系統(tǒng)特征方程是(5.6)其特征根為(5.8)(5.7)其中第4頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(5.9)通過非奇異線性變換，可將(5.5)化為：(1) q 0，2 0, 則其軌線在原點(diǎn)領(lǐng)域的分布情況如圖所示，這樣的奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。根據(jù)特征根的各種可能情況，對(duì)奇點(diǎn)進(jìn)行分類：oxy圖5.1p16p17p30第5頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三ox圖5.2 y 1， 2 為 相異負(fù)實(shí)根 若210，則積分曲線在原點(diǎn)與 x 軸相切，如圖示。反之，若1

3、2 0，p 0，1、2為相異正實(shí)根，積分曲線方向遠(yuǎn)離原點(diǎn)。 奇點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)p17p20p16第6頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 q0，p0，p24q0, v0，將(5.5)化為：(5.10)x圖5.3 yo再變換 x =r cos, y =r sin(5.10) (5.11)其解為r= r0 e -ut，=0+ v t，相應(yīng)的軌線如圖 奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn) q0, p0, p2-4q0, p0, p2-4q=0, 12為一對(duì)負(fù)重根。這又可分為兩種情況； y圖(5.4)x0其軌線形狀如圖 -穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn).其解為 (b) 初等因子是重的。(5.5) 可化為：p17(5.13)

4、p16第8頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 所有軌線在原點(diǎn)均與軸相切，如圖所示。穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn) yxoxoy圖5.5當(dāng)當(dāng)q 0, p0, p0:1-2 vi,為一對(duì)共軛純虛根將(5.5)化為：(5.14)其解為r=r0,=0+vt, 其軌線如圖 -奇點(diǎn)稱為中心圖5.6xoy第10頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三奇點(diǎn)分類如下： q0, p0, p2-4q0, 兩根相異負(fù)實(shí)根穩(wěn)定結(jié)點(diǎn); q0,p0,p2-4q=0, 兩根為相等負(fù)實(shí)根臨界結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)。q0,p0, 兩根為相異正實(shí)根不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);q0,p0,p0,p0,p2-4q0,p0, 兩根為共軛純虛

5、根中心.第11頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)po圖5.7q不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)鞍 點(diǎn)高次奇點(diǎn)高次奇點(diǎn)p24q=0匯源第12頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第三節(jié) 非線性項(xiàng)對(duì)奇點(diǎn)的影響(A1)X2，Y2 -所有高于二次項(xiàng)的全體.研究以下非線性系統(tǒng)相應(yīng)的線性系統(tǒng)(A2) 則原點(diǎn)（零解）若是(A2)的鞍點(diǎn),正常結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)，也是(A1)的鞍點(diǎn),正常結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)（解的結(jié)構(gòu)相同），且穩(wěn)定性保持不變；但(A2)的臨界或退化結(jié)點(diǎn)，對(duì)(A1) 來說其結(jié)構(gòu)可能發(fā)生變化。若滿足：(A3)第13頁，共78

6、頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三定義2：設(shè)O(0, 0) 為孤立奇點(diǎn)，若點(diǎn)列 An(rn,n)，當(dāng)n時(shí)，rn0 ,n0 ,且n0 ，n為An點(diǎn)的方向場向量與向徑夾角的正切，稱=0為特征方向。 顯然，若=0為固定方向，則必為特征方向ArO3.1 奇點(diǎn)的性質(zhì)定義1：設(shè) L 為軌線, 其上的點(diǎn) A(r,),當(dāng)r0時(shí),0 （t ），稱L沿固定方向進(jìn)入奇點(diǎn)O(0, 0).鞍 點(diǎn)： 0，/2, 3 /2，結(jié) 點(diǎn)： 0，/2, 3 /2，焦 點(diǎn)： 無退化結(jié)點(diǎn)： /2, 3 /2 或 0，臨界結(jié)點(diǎn)：任意方向p7p8p9p10p110第14頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三定

7、義3： 軌線L與=0相交于P ,若P點(diǎn)向徑與方向場夾角為: 0 p ,則為正側(cè)相交； p 2 ,則為負(fù)側(cè)相交。 /2 p 3/2 ,則為正向相交；-/2 p /2,則為負(fù)向相交。O正側(cè)正向正側(cè)負(fù)向負(fù)側(cè)負(fù)向負(fù)側(cè)正向第15頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三定義4：O為奇點(diǎn)，扇形域 由OA, AB與弧AB圍城，稱為正常區(qū)域， 上滿足：除點(diǎn)O外沒有其他奇點(diǎn), OA, AB為無切線段;任意點(diǎn)的向徑與方向場向量不垂直；最多包含一個(gè)特征方向, 但OA, AB不是特征方向.結(jié)論： 軌線L與OA (或OB) 相交只能是同側(cè)同向：即： 0 或 2 。因此有三類正常區(qū)域：OABOABOABII

8、IIII第16頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三OABOABOAB結(jié)論： 軌線L與OA (或OB) 相交只能是同側(cè)同向：即： 0 或 2 。因此有三類正常區(qū)域：IIIIII引理：若為正常區(qū)域 I ，從 OA, AB與AB上出發(fā)的軌線都進(jìn)入O（當(dāng)t時(shí)）;若為正常區(qū)域 II , AB上有一點(diǎn)或一段閉弧，從其上出發(fā)的軌線都進(jìn)入O（當(dāng)t時(shí)）;若為III , 有兩種情況: (1) 沒有軌線進(jìn)入O; (2) POA或 AB: POA時(shí), OP上出發(fā)的軌線都進(jìn)入O; PAB時(shí), QOAAP, 從Q出發(fā)的軌線都進(jìn)入O第17頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其中F2，

9、G2 是 x, y 二次以上的函數(shù),且滿足(A3) 。令 x=rcos, y=rsin，運(yùn)算可得:(A5)(A6)(A4)考慮結(jié)點(diǎn)為穩(wěn)定時(shí)， 非奇異變換，將 (A1) 化為：1. 結(jié)點(diǎn)情況p7d/dt = 0 = 0, /2, , 3 /2 -特征方向第18頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三oxy1, 2 微小量；21 0 r 0 dr/dt 0.12, -正常區(qū)域 II; , -正常區(qū)域 I 結(jié)論：當(dāng)1 0, , 內(nèi)只有一對(duì)軌線當(dāng)t 時(shí)沿y軸方向趨于原點(diǎn)；其余軌線則均沿x方向趨于原點(diǎn)。 原點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。p8總之，若線性奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，加上非線性項(xiàng)之后仍為結(jié)點(diǎn)，并且穩(wěn)定性保持

10、不變。p8第19頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三鞍點(diǎn)情況兩特征根均為實(shí)根：設(shè)10(A7)(A8) xyI, III象限內(nèi)II, IV象限內(nèi) = 0, /2, , 3 /2 特征方向第20頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三鞍點(diǎn)情況兩特征根均為實(shí)根：設(shè)10 xyI, III象限內(nèi)II, IV象限內(nèi) = 0, /2, , 3 /2 -特征方向, -正常區(qū)域 II (t) , -正常區(qū)域 II (t-)oxy結(jié)論：當(dāng)0, , 內(nèi)只有一對(duì)軌線沿y軸趨于原點(diǎn)(當(dāng)t-時(shí)); , 內(nèi)只有一對(duì)軌線沿x軸趨于原點(diǎn)(當(dāng)t時(shí)). 原點(diǎn)為鞍點(diǎn)第21頁，共78頁，2022年，

11、5月20日，5點(diǎn)20分，星期三焦點(diǎn)與中心的情況焦點(diǎn)情況與結(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)相似：線性部分為焦點(diǎn)時(shí)，加上非線性項(xiàng)仍為焦點(diǎn)且穩(wěn)定性不變;對(duì)于線性部分為中心的情況，加上非線性項(xiàng)后，可能依然為中心，但也可能變?yōu)椋ú唬┓€(wěn)定焦點(diǎn);例：線性部分為中心x=r cos y=r sin 可見：中心穩(wěn)定焦點(diǎn) 不穩(wěn)定焦點(diǎn)第22頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三引理：系統(tǒng)(A1)的原點(diǎn)為中心的充分必要條件：存在與時(shí)間無關(guān)的正則積分：Fi i 次齊次多項(xiàng)式 若滿足: X(-x, y)= X(x, y) Y(-x, y)= -Y(x, y)對(duì)于：(A8)(8)的軌線對(duì)稱于y軸若滿足: X(x, -y)=-X(

12、x, y) Y(x, -y)= Y(x, y)(8)的軌線對(duì)稱于 x 軸yx(A1)第23頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三能否給出判斷穩(wěn)定性的依據(jù)? -問題實(shí)質(zhì):如何確定奇點(diǎn)的性質(zhì)與（A9）系數(shù)之間的關(guān)系。(A9)Arnold 問題（1976年） 對(duì)于方程組：齊按照線性部分特征根的不同情況進(jìn)行討論.第24頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 分為以下幾個(gè)方面： 兩特征根為實(shí)根或共軛負(fù)根，此時(shí)奇點(diǎn)將為穩(wěn)定或不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，焦點(diǎn)或不穩(wěn)定鞍點(diǎn);兩特征根為一對(duì)純虛根，線性奇點(diǎn)為中心，加上高次項(xiàng)后，為中心或焦點(diǎn);兩特征根一是零根，另一個(gè)正實(shí)根，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定;兩特征

13、根一是零根，另一個(gè)負(fù)實(shí)根，這是所謂Lyapunov第一臨界情況;兩特征根全為零根，又可分為兩種情況: 初等因子是簡單的，化為齊次方程研究; 初等因子是非簡單的，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定。第25頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 第一節(jié) 保守系統(tǒng)的基本性質(zhì) 第二節(jié) 帶有參數(shù)的保守系統(tǒng) 第三節(jié) 耗散系統(tǒng) 第四節(jié) 軌線的作圖法第六章 相平面法第26頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 第一節(jié) 保守系統(tǒng)的基本性質(zhì)一、保守系統(tǒng) -能量（機(jī)械能）保持守恒的系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：其積分曲線方程(軌線方向):(6.3)p32由(6.2.), 系統(tǒng)的奇點(diǎn)為： y=0，f

14、(x)=0 (6.4)系統(tǒng)奇點(diǎn)（若有的話）分布在 x 軸上 第27頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三由(6.3)，當(dāng) f(x)=0, y0時(shí)，有 0，即軌線切線水平。 由（6.3）求得積分曲線的方程：h 為常數(shù)-其力學(xué)意義為機(jī)械能守恒(6.5) 在 h V(x)0 的 x 區(qū)間內(nèi)才有積分曲線 （6.6）（6.5） V(x0)= f(x0)=0 -系統(tǒng)奇點(diǎn)x0對(duì)應(yīng)勢能的極值其積分曲線方程(軌線方向):(6.3)第28頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三在奇點(diǎn)x0鄰域內(nèi)將V(x)展開為泰勞級(jí)數(shù)(取到二次項(xiàng)):積分曲線方程（6.5）化為(6.8)(6.7)V

15、(x0)0 V(x0) 極小值 (6.8) 橢圓方程奇點(diǎn) x0 為中心；V(x0)0, x0; y0, x0)V(x)oxV(x)圖 6.2 yp28第31頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三方程中不含速度項(xiàng)，為保守系統(tǒng)(機(jī)械能守恒)；方程中含有速度項(xiàng)，而速度項(xiàng)前的系數(shù)為常數(shù)或定號(hào)函數(shù)，為非保守系統(tǒng)；方程中含有速度項(xiàng),而速度項(xiàng)前的系數(shù)是變號(hào)函數(shù)，則不能確定是否保守系統(tǒng)。zxo圖 6.3Mz=f(x)例：質(zhì)點(diǎn)M沿繞鉛直軸z以角速度旋轉(zhuǎn)的導(dǎo)軌 z=f(x)滑動(dòng)，由Lagrange 方程推得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程(6.10)-速度項(xiàng)系數(shù)是變號(hào)函數(shù)。但是(6.10)有能量積分(6.11)m-

16、質(zhì)量，h-常數(shù)。(6.10)為一保守系統(tǒng)。第32頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其運(yùn)動(dòng)微分方程一般為(6.12)（6.13）的奇點(diǎn)：(6.14)(6.13)第二節(jié) 帶有參數(shù)的保守系統(tǒng)第33頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 f(x, )=0, 在平面內(nèi)為一曲線，如圖(6.4)xo圖 6.4假定陰影區(qū): f(x, ) 0可看出，當(dāng)參數(shù)增大時(shí)，奇點(diǎn)數(shù)目隨之變化。f(x, ) 0第34頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三如令(6.15)則得(6.13)的積分曲線方程為：(6.16)由于Vxx” (x, ) = fx(x, ),因而在奇

17、點(diǎn)x處：Vxx” (x, ) 0 (fx(x, )0)時(shí)，V-極小 中心；Vxx” (x, ) 0 (fx(x, ) 0aa -中心( =1) 沿 x增加方向看f(x, )的變化，判斷fx(x, )的符號(hào)bb -中心;c - 中心鞍點(diǎn)( = 2)cded - 中心鞍點(diǎn); e -中心 ( = 3)hgf f, h - 中心; g -鞍點(diǎn) ( = 4)i ji -中心; j -中心鞍點(diǎn) ( = 5)25:中心2 , 3 , 5 分岔點(diǎn)(奇點(diǎn)數(shù)目變化)f(x, ) 0第36頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三OMZmgr圖6.5解: 由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量距定理，可得小球的運(yùn)動(dòng)微分方程為例

18、1. 一質(zhì)量為m的小球，可沿一半徑為 r 的大環(huán)滑動(dòng)，此大環(huán)以勻角速度繞鉛直軸而轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)小球與大環(huán)之間無摩擦，試研究小球的運(yùn)動(dòng).(6.17)(6.18)第37頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三曲線如圖(6.6): 陰影區(qū)- f (,)0。O1-1圖6.6p-平衡位置: =0, =(0, ), 當(dāng)| | 1時(shí); =0, =(0, , cos-1 ),當(dāng)|1時(shí)。(6.19)令cos=sin=0第38頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三相平面內(nèi)軌線的分布情況（：- ）：1O-1p-A同宿軌道異宿軌道B中心鞍點(diǎn)|0, g()在-, 上連續(xù)，且為2 的周期函數(shù)，

19、g(0)0，g(0) 0,當(dāng)0時(shí)g( )0 ，g()=0。 顯然，這是較例2更為一般情況，此時(shí)系統(tǒng)由三個(gè)奇點(diǎn):=0，=0，而且0為穩(wěn)定焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)，為鞍點(diǎn)。第44頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(1) 等傾線法第四節(jié) 軌線作圖法(6.27)(6.28)令(6.29)等傾線令k等于一系列不同的數(shù)值，得出一系列等傾線，在每一等傾線上畫出相應(yīng)的dy/dx的方向，然后用歐拉折線法便可大致描出軌線的圖形。第45頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例:令k1k2k3第46頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(2) Linard作圖法適用于有以下

20、形式的微分方程(6.34)(6.34)在相平面上積分曲線方程為(6.35)為了得到坐標(biāo)為（x, y）的任意點(diǎn)A處積分曲線的切線方向，先在相平面上做出曲線(6.36) A (x, y) B (-(y), y) C AE( AC)第47頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三直線CA的斜率為yxyxBODCA(x, y)E圖6.11它與(6.35) dy/dx的乘積等于-1,因而(6.35)積分曲線在A點(diǎn)的切線方向應(yīng)與CA垂直。 A (x, y) B (-(y), y) C AE( AC)第48頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 例4 受有干摩擦力與線性恢復(fù)力

21、的振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為為了應(yīng)用Linard作圖法，需使x的系數(shù)等于1。為此，作變換 ，即可將上式化為:yxo然后，利用Linard作圖法，可以證明它的積分曲線為一系列半圓所組成，這些半圓在x軸上相連接，其圓心為 如圖所示。第49頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第七章 極限環(huán) 第一節(jié) 前 言 第二節(jié) 極限環(huán)的存在性 第三節(jié) 極限環(huán)的唯一性 第四節(jié) 極限環(huán)的穩(wěn)定性第五節(jié) 判斷極限環(huán)不存在的定理第50頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第一節(jié)前言對(duì)于微分方程的積分曲線而言，它存在一條孤立的單閉曲線，而在其領(lǐng)域內(nèi)的其他積分曲線，均以螺旋線形式向該閉曲線

22、無限逼近，則這條閉曲線稱為極限環(huán)。力學(xué)意義：孤立周期解例1(7.1)極坐標(biāo)形式(7.2)第51頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三由此可見，r=0即x=y=0是一個(gè)奇點(diǎn); 而r=1即x2+y2=1是一個(gè)周期解.而其它積分曲線都是螺線，即：當(dāng)t時(shí).對(duì)于r1，有：故r單調(diào)減少而趨于1;xyO因而閉曲線 x2+y2=1 是穩(wěn)定的極限環(huán)(7.2)故r單調(diào)增加而趨于1,對(duì)于r1有:第52頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例2(7.3)其積分曲線形狀見圖; 單閉曲線x2+y2=1是不穩(wěn)定極限環(huán)。(7.4)xyO第53頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分

23、，星期三 對(duì)于yOx其積分曲線形狀見圖。單閉曲線是半穩(wěn)定極限環(huán)(即一側(cè)不穩(wěn)定另一側(cè)不穩(wěn)定)解的穩(wěn)定性（Liapunov）軌道穩(wěn)定性？未擾擾動(dòng)t0t1第54頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三圖7.4環(huán)域定理 設(shè)在x-y平面上有兩個(gè)單閉曲線C1及C2在C1內(nèi)部。并滿足下面兩個(gè)條件(圖7.4)：(1) C1上之點(diǎn)的矢量場由C1的外部指向內(nèi)部, C2上之點(diǎn)的矢量場由C2的內(nèi)部指向外部;(2) C1及C2所圍成的環(huán)行區(qū)域內(nèi)無奇點(diǎn);則在該環(huán)域內(nèi)至少存在一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)C:C1 C C2第二節(jié) 極限環(huán)的存在性（ Poincar-Bendixson環(huán)域定理）C1一個(gè)C : 穩(wěn)定; 二個(gè)C

24、: 一個(gè)穩(wěn)定，一個(gè)半穩(wěn)定；三個(gè)C : 中間穩(wěn)，兩邊半穩(wěn)；或中間不穩(wěn)，兩邊半穩(wěn)第55頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(7.7) 以van der Pol方程為例說明環(huán)域定理的應(yīng)用。方程的形式為令則上式可化為：(7.8)(7.9)再令x=y1,y=-x1,(7.8) 第56頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三或去掉下標(biāo)將上式寫為(7.10)(7.11)可見，它與(6.35)完全相同，所以其軌線方向可以用Linard作圖法求出。先在相平面上做出曲線: x= - (y)第57頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三為應(yīng)用環(huán)域定理證明van d

25、er Pol方程存在穩(wěn)定的極限環(huán), 先做環(huán)域的內(nèi)境界線2:由此得：如果取r2充分小,可使y20第58頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三xy圖7.5下頁下下頁第59頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三環(huán)域的外境界線2的構(gòu)造：畫曲線為極值點(diǎn)上頁為中心的圓?。篈1B1 , C1D1-B1C1，B2C2則為二水平直線段為中心的圓?。篈2B2 , C2D2畫以3. 現(xiàn)證明，當(dāng)中的y充分大時(shí)，這樣作出的2可使只證明一個(gè)不等式(2-原點(diǎn)對(duì)稱):第60頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三C2D2圓弧半徑當(dāng)y充分大時(shí)-只要|y|足夠大，總可以滿足用L

26、inard作圖法容易得出，在1上的軌線均是自外部指向內(nèi)部。又(7.10)只有唯一的奇點(diǎn)原點(diǎn)，因而2，2構(gòu)成的環(huán)域內(nèi)無奇點(diǎn)：vdP方程在該環(huán)域內(nèi)至少存在一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)。上頁第61頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 考慮Lienard方程 第三節(jié) 極限環(huán)的唯一性定理1. (7.12)有唯一的穩(wěn)定極限環(huán)，若滿足：Lienard方程是指下形方程(7.12)g(-x)=-g(x),當(dāng)x0時(shí)：xg(x)0(2)對(duì)一切x ，f 及 g 連續(xù),且g滿足Lipschicz條件(3)設(shè)當(dāng)x時(shí)F;(4)在x正半軸上F有唯一的零點(diǎn) x=a (當(dāng)0 xa時(shí)，F(xiàn)(x)a時(shí)F(x)單調(diào)增加)。第62頁

27、，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(7.13)證：(1)引入變換,則(7.12)化為(2)首先證(7.13)對(duì)一切(x,y)滿足Lipschitz條件事實(shí)上,對(duì)|x|A,|y|0, 因而取(7.14)則V是定正函數(shù)又(7.15)根據(jù)g, F的性質(zhì),可知當(dāng)0|x| 0, 故原點(diǎn)不穩(wěn)定.第65頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 (4) (7.13)的積分曲線滿足方程(7.16)由此，在y軸上軌線具有平行于x軸的切線，而在曲線L：y=F(x)上，軌線具有平行于y軸的切線。(5)設(shè)軌線 lb 與曲線 L 相交于B點(diǎn),以 b表示B點(diǎn)的橫坐標(biāo)。由于在0 xb內(nèi)有:

28、故當(dāng)t減少時(shí)lb之值將增加而進(jìn)入曲線L的上方，從而同時(shí)有第66頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三xyADPBL: y=F(x)bQKMaCEO圖7.6第67頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三這表明當(dāng)t減少時(shí)x也減少。綜上所述可知當(dāng)t減少時(shí)，由B出發(fā)之軌線lb必與y軸的正半軸相交，否則將在y軸附近出現(xiàn)無限大斜率：與在y軸軌線具有水平切線相矛盾。設(shè)上述交點(diǎn)為A。同理可證當(dāng)t增加時(shí)lb必與y軸的負(fù)半軸相交設(shè)相交點(diǎn)為C(參看圖7.6)。(6)現(xiàn)證|OA|=|OC|是lb為閉軌的充要條件。事實(shí)上以(-x,-y)代(x,y)方程(7.13)不變,故其積分曲線對(duì)原

29、點(diǎn)對(duì)稱。因此，如|OA|=|OC|，則lb必閉，反之，如lb為必軌但卻有|OA|OC|則由于積分曲線對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱性，故必存在另一閉軌lb，且lb 與lb必相交，而這與(7.13)解的唯一性相矛盾。由此可見,如為閉軌,則必有|OA|=|OC|。第68頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三此外，由(7.14)知因而條件|OA|=|OC|就與V(A)=V(C)等價(jià)。拘此可得結(jié)論如下：lb為閉軌的充要條件是V(A)=V(C)。 (7) 現(xiàn)研究沿(7.13)的軌線V的改變情況。由(7.15)知： (7.17) 因而有令:(7.18)第69頁，共78頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三則：如果則F及dy均小于零,因而有(b)0V(C)V(A)因此 lb 不可能是閉的。下面研究的情況，如令由(7.17)知當(dāng)dV=Fdy。當(dāng)x0與dy0,因而2(b)a時(shí)F0與dy0,因而2(b)0，故 y 增加時(shí)將使 |y-F(x)|增加，對(duì)于弧