隱圓專題大全精選

1、word.隱圓問題一、根據(jù)圓的定義作輔助圓例 1 如圖，四邊形 ABCD 中，ABCD，ABACAD p，BCq，求 BD 的 長(zhǎng)解析： 以點(diǎn) A 為圓心、 AB 為半徑作 A因?yàn)?AB AC AD ，所以 B、C、D 三點(diǎn)在 A 上延長(zhǎng) BA 交 A 于點(diǎn) E，連結(jié) DE因?yàn)?DC EB，所以弧 ED弧 BC，所以 ED BC q在 RtBDE 中，根據(jù)勾股定理，得 BD 例 2 如圖， PA PB， APB 2 ACB ， AC 與 PB 交于點(diǎn) D，且 PB5，PD 3，求 ADDC 的值B解析： 以點(diǎn) P 為圓心、 P為半徑的作 P因?yàn)?PAPB，APB2ACB ， 所以點(diǎn)、 B、C

2、在 P 上此時(shí) P 的直徑 BE10，DE8，DB 2，由相交弦定 理，得 ADDC DEDB 16二、作三角形的外接圓例 3 如圖， D、E 為ABC 邊 BC 上的兩點(diǎn)，且 BD=CE ， BAD= CAE，求 證： AB=AC C解析： 作ADE 的外接圓，分別交 AB、AC 于點(diǎn) M、N，連結(jié) MD 、NE 因?yàn)?BAD CAE，所以 BAD DAE CAE+ DAE ，即 NAD MAE 因?yàn)?BDM MAE ， CEN NAD ，所以 BDM CEN 又 BDCE，DMEN，所以 BDM CEN ，所以 BC，即 ABAC例 4 如圖， ABC 中， BF 、 CE 交于點(diǎn) D，B

3、DCD， BDE A ，求證：BECF解析： 作ABC 的外接 O，延長(zhǎng) CE交O于 G，連接 BG因?yàn)?G A ， BDE A ，所以 G BDE ，所以 BG=BD 又 BD CD ，所以 BGCD.又因?yàn)?G CDF ， GBE DCF ，所以 GBE DCF 所以 BE CF例 5 如圖，在 ABC 中， AB AC ， BAC 100， B 的平分線交 AC 于 D，求證： BCBD AD 解析： 作 ABD 的外接圓交 BC 于 E，連結(jié) DE因?yàn)?BD 是ABC 的平分線，所以弧 AD弧 DE，所以 AD DE 在 BDE 中， DBE 20， BED 18010080，所以 B

4、DE 80， 所以 BEBD 在 DEC 中， EDC 80 4040，所以 EC DE所以 BC BE ECBD AD 三、結(jié)論類似于圓冪定理的形式時(shí)作輔助圓例 6 如圖，在 ABC 中，ABAC 3，D是邊 BC 上的一點(diǎn)，且 A， 求 BDDC 的值FE解析：以點(diǎn) A 為圓心、 AB 為半徑作 A，交直線 AD 于點(diǎn) E、F，則點(diǎn) C 在A上， DE 3 1， DF 3 1由相交弦定理，得 BDDCDEDF （ 3 1）（ 3 1） 2例 7 如圖，在 ABC 中， DAB C， B的平分線 BN 交 AD 于 M求 證：（ 1）AM AN ；（ 2） AB 2AN 2BMBN解析： （

5、1）略；（ 2）由（ 1），得 AM AN 以點(diǎn) A 為圓心、 AM 為半徑作 A，交 AB 于 E，交 BA 的延長(zhǎng)線于 F，則 N 在 A 上，且 AEAFAN 由割線定理，得BMBNBEBF（ABAE）（AB AF）（ABAN）（AB AN） AB 2AN 2， 即 AB 2AN 2 BMBN 四、探究動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角時(shí)作輔助圓例 8 如圖，在直角梯形 ABCD 中， AB DC ， B 90，設(shè) AB a，DCb， AD c，當(dāng) a、 b、 c之間滿足什么關(guān)系時(shí)，在直線BC上存在點(diǎn) P，使 APPD？解析： 以 AD 為直徑作 O，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，當(dāng)O 與直線 BC有公

6、共點(diǎn)（相切或相交）時(shí)，在直線 BC 上存在點(diǎn) P，使 AP PD因?yàn)?O 的半徑a b 所以，當(dāng) dr，即2r AD c，圓心 O 到直線 BC 的距離 d AB DC2 2 2a bc時(shí)，在直線 BC 上存在點(diǎn) P，使 AP PDA （0， 2）、例 9 如圖，在平面直角坐標(biāo)系B（0 ，8），試在 x 軸正半軸上求一點(diǎn)xOy 中，給定 y 軸正半軸上的兩點(diǎn) C，使 ACB 取得最大值。解析： 經(jīng)過 A、 B、 C 三點(diǎn)作 M，設(shè) M 的半徑為 R，由正弦定理，得 AB 6sin ACB 2R 2R由此可見，當(dāng) R 取得最小值時(shí)， ACB 取得最大值而當(dāng)點(diǎn) M 與 x 軸的相切 于點(diǎn) C 時(shí)，

7、R 取得最小值根據(jù)切割線定理，得 OC2OBOA ，所以 OC4 故當(dāng)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 （4， 0）時(shí)， ACB 取得最大值例 10 已知 RtABC 中， AC 5， BC 12， ACB90，P 是邊 AB 上的動(dòng) 點(diǎn)，Q是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，且 CPQ 90，求線段 CQ 的取值范圍word.Aword.B解析： 以 CQ 為直徑作 O，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，若AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)P 在圓上， CPQ 就為直角當(dāng)O與 AB 相切時(shí)，直徑 CQ最小由切線長(zhǎng)定理，得 APAC 5，所以 BP 135 8再根據(jù)切割線定理，得 BP2BQBC，所以 BQ 16 ，CQ 20 33當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn)

8、 B 重合時(shí)，直徑 CQ 最大，此時(shí)20綜上所述， 20 CQ123四點(diǎn)共圓判斷四點(diǎn)共圓的常用方法有（ 1）對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；（2）同底同側(cè)頂角相等的兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓判斷四點(diǎn)共圓后，就可以借助過這 四點(diǎn)的輔助圓解題例 11 如圖， E 是正方形 ABCD 的邊 AB 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 DE 的垂線交 ABC 的外角平分線于點(diǎn) F，求證： FEDE 解析：連接 DB、DF因?yàn)?CBF45，DBC45，所以 DBF 90 又 DEF90，所以 D、E、B、F 四點(diǎn)共圓，所以 DFE DBE 45，所以 FEDE例 12 如圖等邊 PQR 內(nèi)接于正方形 ABCD ，其中點(diǎn) P、Q、R 分別在邊 AD 、 AB、DC 上，M 是QR的中點(diǎn)，求證：不論等邊 PQR怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) M 為不動(dòng)點(diǎn)解析： 連接 PM、AM 、 DM ，因?yàn)?M 是 QR 的中點(diǎn)，所以 PMQ 90又 PAQ 90，所以 A、Q、M、P 四點(diǎn)共圓，所以 MAP MQP 60同理， MDP 60所以 MAD 是等邊三角形，即點(diǎn) M 為不動(dòng)點(diǎn)例 13 如圖，正方形 ABCD 的中心為 O，面積為 1989， P 為正方形內(nèi)的一點(diǎn)， 且OPB45，PAPB514，求 PB 的長(zhǎng)解析： 連接 OA 、 OB因?yàn)?O