江蘇省常州市西夏墅中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.3.3 簡單的線性規(guī)劃問題課件2 蘇教必修5

1、2021/8/8 星期日1一、問題情景 某校辦工廠有方木料90m3,五合板600m2，正準(zhǔn)備為外校新生加工新桌椅和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一張書櫥可獲利潤120元. （1）假設(shè)你是工廠的生產(chǎn)科長，請你按要求設(shè)計出工廠的生產(chǎn)方案。 方案一：若只生產(chǎn)書桌，用完五合板，可生產(chǎn)書桌300張，可獲得利潤80300=24000元，但方木料沒有用完. 方案二：若只生產(chǎn)書櫥，用完方木料，可生產(chǎn)450張書櫥，可獲得利潤120450=54000元，但五合板沒有用完.2021/8/8 星期日2 （2

2、）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，寫出x，y應(yīng)滿足的條件以及Z與x，y之間的函數(shù)關(guān)系式. 約束條件為 ： 目標(biāo)函數(shù)為：(3)如果你是廠長，為使工廠原料充分利用，問怎么安排能夠使資源最大限度的利用，且可獲得最大利潤？ 方案三、生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為56000元 在上面兩種情況下，原料都沒有充分利用，造成了資源浪費，那么該怎么安排能夠使資源最大限度的利用，且可獲得最大利潤？2021/8/8 星期日3二、線性規(guī)劃在實際中的應(yīng)用 線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用， 一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)； 二是給定一項任務(wù)，如何合理

3、安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).下面我們就來看看線性規(guī)劃在實際中的一些應(yīng)用：2021/8/8 星期日4例題 例1某工廠用A，B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可獲利潤2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可獲利潤3萬元，則如何安排日生產(chǎn)，可使工廠所獲利潤最大？分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格產(chǎn)品AB耗時甲41h乙42h16128h2021/8/8 星期日5解設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y件，

4、工廠利潤z萬元約束條件為： 目標(biāo)函數(shù)是：作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域2021/8/8 星期日6把目標(biāo)函數(shù)z2x3y 變形為yxOx2y80y3x4它表示斜率為 隨z變化的一組平行直線系 是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最大時，z的值最大.如圖可見，當(dāng)直線z2x3y 經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大M2021/8/8 星期日7M點是兩條直線的交點，解方程組得M點的坐標(biāo)為：所以zmax2 x3y14 由此可知，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件、乙產(chǎn)品2件時，工廠可得最大最大利潤14萬元2021/8/8 星期日8 例2 投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)一百噸需要資金200萬元，需場地200m2，可獲

5、利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)一百米需要資金300萬元，需場地100m2，可獲利潤200萬元.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900m2，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可獲利最大？資金（百萬元）場地（百平方米）利潤（百萬元）A產(chǎn)品（百噸）223B產(chǎn)品（百米）312限制149分析將已知數(shù)據(jù)列成表格2021/8/8 星期日9 解設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百米，利潤為S百萬元，則約束條件為目標(biāo)函數(shù)為作出可行域2021/8/8 星期日10把目標(biāo)函數(shù)S3x2y 變形為Ay2xy9xO2x3y14它表示斜率為隨S變化的一組平行直線系 是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最大時，S的值最大如圖可見，當(dāng)

6、直線S3x2y 經(jīng)過可行域上的點A時，截距最大，即S最大2021/8/8 星期日11A點是兩條直線的交點，解方程組得A點的坐標(biāo)為：所以Smin3x2y14.75 由此可知，,生產(chǎn)A產(chǎn)品325t，生產(chǎn)B產(chǎn)品250m時，獲利最大，且最大利潤為1475萬元2021/8/8 星期日12例3營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的

7、日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白質(zhì)kg脂肪kg花費（元）A0.1050.070.1428B0.1050.140.0721成人日常需要0.0750.060.06分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格2021/8/8 星期日13解設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，則線性約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為：z28x21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域2021/8/8 星期日14把目標(biāo)函數(shù)z28x21y 變形為xyo5/75/76/73/73/76/7它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系 是直線在y軸上的截 距，當(dāng)截距最小時，z的值最小

8、M如圖可見，當(dāng)直線z28x21y 經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最小2021/8/8 星期日15M點是兩條直線的交點，解方程組得M點的坐標(biāo)為：所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元2021/8/8 星期日16三、練習(xí)題 1. 某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在每臺A，B上加工1件甲所需工時分別為1h、2h，加工一件乙所需工時分別為2h、1h，A，B兩種設(shè)備每月有效使用臺數(shù)分別為400h/臺和500h/臺如何安排生產(chǎn)

9、可使收入最大？ 設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為z，目標(biāo)函數(shù)為Z3x2y，滿足的條件是2021/8/8 星期日17 Z 3x2y 變形為它表示斜率為 的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)xyO400200250500當(dāng)直線經(jīng)過點M時，截距最大，Z最大M解方程組可得M（200，100）Zmax 3x2y800故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件，收入最大，為80萬元2021/8/8 星期日182.某人準(zhǔn)備投資1200萬元興辦一所完全中學(xué).對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位） 分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收學(xué)費160

10、0元，高中每人每年可收學(xué)費2700元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個班為宜（含20個與30個）那么開設(shè)初中班和高中班多少個？每年收費的學(xué)費總額最多？學(xué)段班級學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)（萬元）教師年薪（萬元）初中45226班2人高中40354班2人2021/8/8 星期日19把上面四個不等式合在一起，得到y(tǒng)x2030402030o 另外，開設(shè)的班級不能為負(fù)，則x0，y0.而由于資金限制，26x54y22x23y1200 解設(shè)開設(shè)初中班x個，高中班y個。因辦學(xué)規(guī)模以2030個班為宜，所以， 20 xy302021/8/8 星期日20yx2030402030o 由圖可以看出，當(dāng)直線Z7

11、.2x10.8y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即Z最大. 設(shè)收取的學(xué)費總額為Z萬元，則目標(biāo)函數(shù)Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y.Z7.2x10.8y變形為它表示斜率為 的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān).M 易求得M（20，10），則Zmax 7.2x10.8y 252 故開設(shè)20個初中班和10個高中班，收取的學(xué)費最多，為252萬元.2021/8/8 星期日21四、要點歸納與方法小結(jié) （一）線性規(guī)劃的兩類重要實際問題的解題思路： 1.應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù) 2.用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解.(一般最優(yōu)解在直線或直線的交點上，要注意斜率的比較） 3.要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解 2021/8/8 星期日22（二）線性規(guī)劃問題的求解步驟：（1）審：審題（將題目中數(shù)據(jù)列表），將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）設(shè)：設(shè)出變量，確定約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)；（3）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域，作出目標(biāo)函數(shù)線；（4）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法