工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)

1、工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第1頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中aij 表示上半年工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量其中cij 表示工廠下半年向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量第2頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量第3頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè) mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 A

2、B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第4頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三知識點(diǎn)比較第5頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B、C 是同型矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負(fù)矩陣顯然第6頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件

3、重量 第7頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 第8頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為第9頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第10頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三知識點(diǎn)比較第11頁，共34頁，

4、2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 例（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 第12頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三解：以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中 i = 1, 2, 3于是其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 其中bi 1 表示第 i 種

5、貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 第13頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三可用矩陣表示為一般地，第14頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個(gè) mn 矩陣 ，其中并把此乘積記作 C = AB 第15頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三例：設(shè)則第16頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三知識點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.第17頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三

6、例 P.35例5 結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣 ，卻有 ，從而不能由 得出 或 的結(jié)論第18頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 (1) 乘法結(jié)合律 (3) 乘法對加法的分配律(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （其中 l 是數(shù)）(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣第19頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三(5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立第20頁，共34頁，2022年，

7、5月20日，4點(diǎn)4分，星期三四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT .例第21頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第22頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三例：已知解法1第23頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三解法2第24頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即那么 A 稱為對稱陣.如果滿足 A = AT，那么 A 稱為反對稱陣. 對稱陣 反對稱陣 第25頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三例：

8、設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對稱陣，且 HHT = E.證明：從而 H 是對稱陣 第26頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三五、方陣的行列式定義：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)第27頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣，假設(shè) A = (aij)nn，B = (bij)nn .我們以 n= 3 為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式第28頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三第29頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三第30頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三令 ，則 C = (cij)= AB 第31頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三從而 第32頁，共34頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)4分，星期三定義