概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理工類第四版簡(jiǎn)明版1-3章課后答案

1、. . .1.1 隨機(jī)事件習(xí) 試明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特習(xí) 將枚均勻的硬幣拋，事件 ，C 分別表示第一次出現(xiàn)正面，兩出現(xiàn)同 一面，至有一次出現(xiàn)正”試寫出樣本空間及事件 中樣本點(diǎn).學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .1.2 隨機(jī)事件概率.學(xué)習(xí)參考. . .1.3 古典概型.學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .1.4 條件概率.學(xué)習(xí)參考. . . 學(xué)習(xí)參考 . . .1.5 事件的獨(dú)立性.學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .復(fù)習(xí)總結(jié)總習(xí)題解答.學(xué)習(xí)參考. . .習(xí)題 證下列等：.學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考.

2、. .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .學(xué)習(xí)參考. . .第二章 隨機(jī)量及其分2.1 隨機(jī)變量習(xí)題 1 隨機(jī)變量的特征是什么？解答：隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題 2 試述隨機(jī)變量的分類.解答：若隨機(jī)變量 的所有可能值能夠一一列舉出來(lái)則稱 為散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型 隨機(jī)變量若 X 的能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值則稱 X 為續(xù)型隨機(jī)變量. 習(xí)題 3 中裝有大小相同的 個(gè)，編號(hào) 0,1,2, ,9,

3、從中任 1 個(gè)，觀察號(hào)碼是“小 5”，“等 5”，大 于 5的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果 并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率. 解答：分別用 1,2,3 表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果小于 5”，等于 ”，大于 5”則樣本空間S=1,2, 定義隨機(jī)變量 X 下：X=X()=0,11,2,2,3則 X 每個(gè)值的概率為PX=0=P 取球的號(hào)碼小于 5=5/10,.學(xué)習(xí)參考. . .PX=1=P 取球的號(hào)碼等于 5=1/10,PX=2=P 取球的號(hào)碼大于 5=4/10.2.2 離散型隨變量及其概率分布習(xí)題 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 泊松分布，且 PX=1=PX=2, 求 解答：由 P

4、X=1=PX=2, 得e-=2/2e- 解得 =2.習(xí)題 2設(shè)隨機(jī)變量 X 分布律為 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P12X3.解答：(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35. 習(xí)題 4一袋中裝有 5 球，編號(hào)為 1,2,3,4,5. 在中同時(shí)取 3 ，以 X 示取出的 3 球中的最大號(hào)碼，寫出隨 機(jī)變量 X 分布律.解答：隨機(jī)變量 X 可能取值為 3,4,5.PX=3=C221C53=110, PX=4=C32 1C53=310, PX=5=C42 1C53=35,所以 X 分布律為X 3 4 5pk 1/10 3/10 3/5習(xí)題 5 某加油站替出租

5、車公司代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得 3 元.因代營(yíng)業(yè)務(wù)， 每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi) 元，設(shè)每天出租汽車數(shù) 一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：Xpi100.15200.25300.45400.15求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.解答：因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：P3X60, PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6. 就是說(shuō)，加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為 習(xí)題 自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為 p=0.1, 當(dāng)產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整 X 表 在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1

6、)X 概率分布； (2)PX5;(3)在兩次調(diào)整之間能以 0.6 的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?解答：(1)PX=k=(1- p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2, ;PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;設(shè)以 0.6 的概率保在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于 m ，則 m 應(yīng)滿足.學(xué)習(xí)參考. . .PXm=0.6,即 m -1=0.4. 由于PXm1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為 1-0.9m=0.4, 解上式得 4.855,因此，以 0.6 的概率證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于 習(xí)題 7 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率

7、為 求一次投籃時(shí)， 投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為 X, 它可能的值只有兩個(gè)即 0 和 X=0 示未投中，其概率為 p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1 示投中一次，其概率為則隨機(jī)變量的分布律為p2=PX=1=0.6.X 0 1P 0.4 0.6習(xí)題 8 某種產(chǎn)品共 10 件，其中有 件次品，現(xiàn)從中任取 3 件，求取出的 3 件產(chǎn)品中次品的概率分布. 解答：設(shè) X 示取出 3 產(chǎn)品的次品數(shù)則 X 所有可能取值為 0,1,2,3. 應(yīng)概率分布為 PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C3

8、2C103=21120, PX=3=C33C103=1120.X 分布律為X 0123P 3512036120211201120習(xí)題 9 一批產(chǎn)品共 10 件，其中有 件正品，3 次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回 去，求直至取到正品為止所需次數(shù) X 概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同，所 以 X 可能取值是所有正整數(shù) ,k, .設(shè)第 k 次才取到正(前 次都取到次), 隨機(jī)變量 的分布律為PX=k=310310 310710=(310)k -1710,k=1,2, .習(xí)題 11 紡織廠女工照顧 800 紡綻，每一紡

9、錠在某一段時(shí)間 內(nèi)斷頭的概率為 0.005, 在 段時(shí)間內(nèi)斷 頭次數(shù)不大于 2 概率.解答：以 X 紡錠斷頭數(shù), n=800,p=0.005,np=4,應(yīng)用泊松定理，所求概率為：P0X2=P 0 xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e -4(1+41!+422!)0.2381.習(xí)題 12 設(shè)書籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù) 從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有 兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn) 4 頁(yè)，每頁(yè)上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率.解答：becausePX=1=PX=2, 即11!e=22!e=2,PX=0=e-2,.學(xué)習(xí)參考. . .p=(e-

10、2)4=e-8.2.3 隨機(jī)變量分布函數(shù)習(xí)題 1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0, 是隨機(jī)變量 X 分布函數(shù)則 _的隨機(jī)變量 解答：離散.由于 F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)故知 X 是個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題 2 設(shè) F(x)=0 x0 x201,1x1 問(wèn) F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解答：首先，因?yàn)?0F(x)1,(-,+).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以 F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題 3 已知離散型隨機(jī)變量 概率分布為 PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2, 試

11、寫出 X 分布函數(shù) F(x)，并畫出圖形解答：由題意知 X 分布律為：X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函數(shù) F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5.F(x)的圖形見圖.習(xí)題 4 設(shè)離散型隨機(jī)變量 分布函數(shù)為 試求：(1)X 概率分布； (2)PX2X1. 解答：(1)(2)PX2X1=PX= -1PX1=23.習(xí)題 5 設(shè) X 的分布函數(shù)為F(x)=0,x-10.4,- 1x10.8,1x31,x3,X -113pk 0.40.40.2F(x)=0,x0 x2,0 x1x -12,1x1.51,x1.5,求 P0.40.5,P1.7X 2.解答：P0.40.

12、5=1-0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0.習(xí)題 區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)，以 X 示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0,a中意小區(qū)間內(nèi)的 概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求 X 分布函數(shù).解答： F(x)=PXx=0,x0 xa,0 xa.1,xa2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量其概率密習(xí)題 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為f(x)=12e-(x+3)24(- x+則 Y=N(0,1).學(xué)習(xí)參考. . .解答：應(yīng)填 3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知 -=2 由 N(0,1), 所以 Y=3+X2N(0,1).習(xí)題 2 已知 Xf(x)

13、=2x,0 x10,其它, 求 PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=0.5f(x)dx=00dx+00.52xdx=x200.5=0.25,PX=0.5=PX0.50.5=-0.5f(x)dx-0.5f(x)dx=0.當(dāng) X0 時(shí)F(x)=0;當(dāng) 0 x1 時(shí)，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00dt+0 x2tdt=t20 x=x2;當(dāng) X1 時(shí)F(x)=xf(t)dt=-00dt+0 x2tdt+1x0dt=t201=1,故F(x)=0,x0 x2,0 x00,x0,試(1)A,B 的值；(2)P-1X1; (3)率密度函數(shù) F(x).解答：(1)becauseF(+)=l

14、imx+(A+Be -2x)=1, A=1;又 becauselimx0+(A+Be -2x)=F(0)=0, B=-1.P-1X00,x0.習(xí)題 5 某型號(hào)電子管，其壽命(小時(shí)計(jì))為一隨機(jī)變量，概率密度f(wàn)(x)=100 x2,x1000, 其它,某一電子管的使用壽命為 X, 則三個(gè)電子管使用 小時(shí)都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為 電子管使用 150 小時(shí)以上的概率為PX150=150+f(x)dx=150+100 x2dx=-100 x150+=100150=23,從而三個(gè)電子管在使用 150 小時(shí)以上不需要更換的概率為 p=(2/3)3=8/27.習(xí)題 一個(gè)汽車站上某路公共汽

15、車每 5 分有一輛車到達(dá) ，設(shè)乘客在 5 鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能 的，試計(jì)算在車站候車的 位乘客中只有 1 位等待時(shí)間超過(guò) 分鐘的概率.解答：設(shè) 每位乘客的候車時(shí)間 X 從0,5上的均勻分布. 設(shè) 表示車站 10 位客中等待時(shí)間超 過(guò) 4 鐘的人數(shù). 由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的 這是 重伯努力概型. 服從項(xiàng)分布其參數(shù)n=10,p=PX4=15=0.2,所以PY=1=C1010.20.89 0.268.習(xí)題 7設(shè) XN(3,22).(1)確定 C, 使得 PXc=PXc;(2) 足 PXd0.9, 問(wèn) d 多為多少? 解答：因?yàn)?XN(3,22), 所以 N(0,1).(1)欲使 PXc=P

16、Xc, 必 PXc=PXc, 即 PXc=1/2,亦即 (c-32)=12, 以c-32=0, 故 c=3.(2)由 PXd0.9 得 1-PXd0.9, 即PXd0.1.于是 (d32)0.1,(3-d2)0.9.查表得 3-d21.282, 所 0.436.學(xué)習(xí)參考. . .習(xí)題 9 某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄 ，各工人每月 裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布 N(4000,3600).假定車間主任希望 10% 的人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)，求：工人每月需完成 多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)？解答：用 X 示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)則 XN(4000,3600).設(shè)工人每月需完成

17、 x 件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)依題意得 PXx=0.1, 即1-PXxx=1- PXx=1-(x-1706)0.99, 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得 x-17062.33, 故 x183.98cm.因此，車門的高度超過(guò) 183.98cm ，男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于 0.01.習(xí)題 12 某人去火車站乘車， 有兩條路以走. 第一條路程較短 但交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分鐘服從 正態(tài)分布 N(40,102); 第二條路程較長(zhǎng)但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布 N(50,42), 求：若動(dòng)身時(shí)離開車時(shí)間只有 分鐘，應(yīng)走哪一條路線？若動(dòng)身時(shí)離開車時(shí)間只有 分鐘，應(yīng)走哪一條路線？解答：設(shè) X,Y 分別為該人走第一、二條路到達(dá)火

18、車站所用時(shí)間，則 XN(40,102),YN(50,42).哪一條路線在開車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因?yàn)?PX60=(604010)=(2)=0.97725, PY60=(60 - 504)=(2.5)=0.99379,所以有 60 分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路.(2)因?yàn)?PX45=(454010)=(0.5)=0.6915,PX0 ，fY(y)=1c(b- a),ca+dcb+d0,其它當(dāng) c0 ，fY(y)=-1c(b- a),cb+dyca+d0,其它. 習(xí)題 4 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù) 的率密度 fY(y).解答：f(x)=1,0 x10,其它,f

19、=ex,x(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) y(1,e), 反函數(shù)為 x=lny, 可f(x)=fX(lny)lny,1ye0,其它=1y,1y1 時(shí)=P-y-Xy12=-y-12y-1212-x2dx,所以 fY(y)=FY(y)=22e-12y-12122y-1,y1, 于是fY(y)=12(y 14,y10,y習(xí)題 7 某物體的溫度 T( F)是個(gè)隨機(jī)變量, 且有 TN(98.6,2), 已知 =5(T-32)/9, 試求 F)的概率密度. 解答：已知 TN(98.6,2). =59(T -32), 函數(shù)為 T=59+32, 是單調(diào)函數(shù)，所以f(y)=fT(95y+32) 95=122e-(95

20、y+32-98.6)2495=910-81100(y-37)2.總習(xí)題解習(xí)題 1 從 120 的整數(shù)中取一個(gè)數(shù)若取到整數(shù) 概率與 成比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè) Ak 為取到整數(shù) k, P(Ak)=ck, k=1,2, ,20.因?yàn)?P( K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1， 所以 c=1210,取到偶數(shù)=PA2 A20 =1210(2+4+ +20)=1121.習(xí)題 2 若每次射擊中靶的概率為 求擊 10 炮,(1)命中 3 的概率;少命中 3 炮的概率;(3)最可能命中幾炮.解答：若隨機(jī)變量 X 示射擊 10 炮中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨(dú)立，所以是一個(gè)

21、重伯努利 概型，X 從二項(xiàng)分布，其參數(shù)為 n=10,p=0.7, 故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;.學(xué)習(xí)參考. . .(2)PX3=1 -PX300000 即 人).因此，P保險(xiǎn)公司虧本=PX15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500 -k1-k=015e-55kk!0.000069,由此可見在 1 里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.(2)P保險(xiǎn)公司獲利不少于 100000 元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500 k=010e-55kk!0.986305,即保險(xiǎn)

22、公司獲利不少于 100000 元的概率在 98%以上.P保險(xiǎn)公司獲利不少于 200000 元=P300000-200000X200000=PX=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500 -kk=05e-55kk! 0.615961,即保險(xiǎn)公司獲利不少于 200000 元的概率接近于 62%.習(xí)題 臺(tái)總機(jī)共有 300 臺(tái)分機(jī)總機(jī)擁有 13 條外線，假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為 試求每 臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí)，能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù).解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺(tái)數(shù)為 300 臺(tái)分機(jī)可看成 300 次努利試驗(yàn)，一次試驗(yàn)是否要到外線 設(shè)要到外線的

23、事件為 A, P(A)=0.03, 顯然 Xb(300,0.03), 即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2, ,300),因 n=300 很大，p=0.03 又很小,=np=3000.03=9,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率. 因總共只有 13 條外線， 要到外線的臺(tái)數(shù)不超過(guò) 13故PX13k=0139kk!e0.9265, (查泊松分布表且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)k0=(n+1)p=3010.03=9.習(xí)題 在長(zhǎng)度 t 時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次 X 服從參 t2 的泊松分布而與時(shí)間間 隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)), 求：(1)某一

24、天從中午 12 至下午 時(shí)沒有收到緊急呼救的概率.學(xué)習(xí)參考. . .(2)某一天從中午 12 時(shí)至下午 時(shí)至少收到 1 次緊急呼救的概率解答：(1)t=3,=3/2, PX=0=e-3/2 0.223;(2)t=5, PX1=1 -PX=0=1-e-5/20.918.習(xí)題 6 設(shè) X 為一離散型隨機(jī)變量其分布律為X -101pi 1/21-2qq2試求：(1)q 的值； (2)X 的分布函數(shù).解答：(1)because 離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù) PX=xi=pi, 滿足ipi=1, 且 pi1, 1/2+1-2q+q2=10-2q1q21,解得 q=1-1/2. 從 X 的布律為下表所示：X

25、-101pi 1/22-13/2-2(2)由 F(x)=PXx計(jì)算 X 的布函數(shù) 1x00 x0 x習(xí)題 9 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 分布密度為f(x)=x,0 x12 x,1x20,其它求其分布函數(shù) F(x).解答：當(dāng) x0 時(shí)F(x)=x0dt=0;當(dāng) 0 x1 時(shí)，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00tdt+0 xtdt=12x2;當(dāng) 12 時(shí)F(x)=00dt+01tdt+12(2t)dt+2x0dt=1, 故F(x)=0,x212x2,0 x1 -1+2x-x22,12.習(xí)題 10 某城市飲用水的日消費(fèi)量 X(單位：百萬(wàn)升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：f(x)=19xe-x3,x00, 其它,

26、試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于 600 萬(wàn)升的概率；(2)水日消費(fèi)量介于 萬(wàn)升到 900 萬(wàn)的概率. 解答：先求 X 分布函數(shù) F(x). 顯然當(dāng) x0 時(shí)F(x)=0, 當(dāng) 0 時(shí)有F(x)=0 x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故 F(x)=1-(1+x3)e- x3,x00,x0, 以PX6=1 -PX6=1- 6=1-F(6)=1-1-(1+x3)e-x3x=6=3e-2,P6a0,其它0), 求常數(shù) c 及 Pa-a+1.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知-+f(x)dx=1, 而-+f(x)dx= a0dx+a+ce-xdx.學(xué)習(xí)參考. . .=ca+e-xd(x)=

27、-ce-xvlinea+=ce-a,所以 ce-a=1, 從而 a. 于是Pa- 1Xa+1=a -1a+1f(x)dx=-1a0dx+aa+1eae-xdx=-eae-xvlineaa+1=- ea(e-(a+1)注意，a-1a, 而當(dāng) 時(shí)，f(x)=0.習(xí)題 12 已知 Xf(x)=12x2-12x+3,0 x10, 其它, 計(jì)算 PX0.2 0.1X0.5.解答：根據(jù)條件概率有PX0.20.1X0.5=PX0.2,0.1X0.5P0.1X0.5=P0.1X0.2P0.1X0.5=0.10.2(12x2 12x+2)dx0.10.5(12x2-12x+3)dx =(4x3-6x2+3x)

28、0.10.2(4x3-6x2+3x)0.10.5=0.1480.256=0.578125.習(xí)題 15 設(shè) K 在(0,5)上服從均勻分布 求 x 的方程 4x2+4Kx+K+2=0 實(shí)根的概率.解答：因?yàn)?KU(0,5), 所 fK(k)=1/5,0k90=12/526 0.0228,PX90=1-PX90 1-0.0228=0.9772;又因?yàn)?PX90=PX- 90-, 所以有(90-)=0.9772, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得90-=2 同理：PX60=83/5260.1578; 又因?yàn)?PX60=PX-60-,故(60-0.1578.因?yàn)?0.15780.5,所 60-78=1-PX 78=1

29、-Px-701078-7010=1-(0.8)1-0.7881=0.2119,因?yàn)?0.2119t=PN(t)=0=e-0.1t,F(t)=Pt=1-PXt=1-e-0.1t;當(dāng) t0 時(shí)F(t)=0, F(x)=1-e-0.1t,x00,x00,x (=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A B0)=1+e-xdx=e-1, P(AB1)=1+2e-2xdx=e-2,P(A B2)=1+3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=i=02P(Bi)P(ABi)0.32.(2)由貝葉斯公式

30、：P(B0A)=P(B0)P(A B0)P(A)0.93.習(xí)題 19 設(shè)隨機(jī)變量 X 分布律為X -2-1013pi 1/51/61/51/1511/30試求 Y=X2 分布律解答：pi 1/51/61/51/1511/30X -2-1013X2 41019所以X2 0149pi 1/57/301/511/30.學(xué)習(xí)參考. . .注：隨機(jī)變量的值相同時(shí)要合并，對(duì)應(yīng)的概率為它們概率之和.習(xí)題 20 設(shè)隨機(jī)變量 X 密度為fX(x)=0,x02x3e- x2,x0,求 Y=2X+3 密度函數(shù).解答：由 Y=2X+3, y=2x+3,x=y- 32,x=12,由定理即得fY(x)=0,y00,其它,

31、求 Y=eX 的概密度.解答：因?yàn)?miny(0),y(+)=min1,+=1, =maxy(0),y(+ )=max1,+=+.類似上題可得fY(y)=fXh(y) h(y),1y+0,其它 =1/y2,1y+ 0,其它.習(xí)題 22 設(shè)隨便機(jī)變量 X 密度函數(shù)為fX(x)=1-x,-1x10, 其,求隨機(jī)變量 Y=X2+1 分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X 的取值范圍為(-1,1), 則 Y 的取值范圍為1,2). 當(dāng) 1y2 時(shí) FY(y)=PYy=PX2+1=P-Y-1xy-1=-y-1y-1(1-)dx=20y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,從而 Y 分布函數(shù)為 Y 概率密度為F

32、Y(y)=0,y11-(1-y- y2,1,其它fY(y)=1y-1-1,1y20,它.第三章 多維機(jī)變量及分布3.1 二維隨機(jī)變量及分布習(xí)題 1 設(shè)(X,Y)分布律為XY 1231 1/61/91/1821/3a1/9求 a.解答：由分布律性質(zhì)i jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1, 解得a=2/9.習(xí)題 2(1)設(shè)(X,Y)分布函數(shù)為 F(x,y)試用 F(x,y)表示：(1)PaXb,Yc;解答：PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).習(xí)題 2(2)設(shè)(X,Y)分布函數(shù)為 F(x,y)試用 F(x,y)表示： (2)P0Yb; 解答：P0a,Yb.

33、 解答：PXa,Yb=F(+,b) -F(a,b).習(xí)題 3(1)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表 ：.學(xué)習(xí)參考. . .試求： (1)P12X32,0Y4;解答：P12X23,0Y4PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3 =14+0+0=14.習(xí)題 3(2)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表 ：試求： (2)P1X2,3Y4;解答：P1X2,3Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+116+0+14=516. 習(xí)題 3(3)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表 ：求： (3)F

34、(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題 4 設(shè) X,Y 為隨機(jī)變量，且PX0,Y0=37, PX0=PY0=47, 求 PmaxX,0.解答：PmaxX,Y0=PX,Y 少一個(gè)大于等于 0 =PX0+PY0 PX0,Y0=47+47-37=57.習(xí)題 5只取下列數(shù)值中的值 (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相應(yīng)概率依次為 16,13,112,512, 列出(X,Y)概率分布表，并寫出關(guān)于 Y 邊緣分布.解答：(1)因所給的一組概率實(shí)數(shù)顯然均大于零，且有

35、16+13+112+512=1, 所給的一組實(shí)數(shù)必是某二 維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布 因(X,Y)取上述四組可能值，故事件：X=-1,Y=0, X=0,Y=13, X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均為不可能事件，其概率必為零. 因而得到下表：XY 01/31-10201/121/31/6005/1200(2)PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0 =0+16+512=712,同樣可求得 PY=13=112,PY=1=13,關(guān)于的 Y 緣分布見下表：Y 01/31pk 7/121/121/3習(xí)題 7 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)

36、=k(6-x-y),0 x2,2y40, 其它,(1)確定常數(shù) k; (2) PX1,Y3; PX1.5; (4) 求 4.解答：如圖所示(由-+ +f(x,y)dxdy=1, 確定常數(shù) 02-x- y)dydx=k02(6-2x)dx=8k=1, 所以 k=18.(2)PX1,Y3=01dx2318(6 y)dy=38.(3)PX1, 有F(x,y)= -x-yf(u,v)dudv=40 xudu0yvdv=x2y2. F(x,y)=PX1,Yy=40 xudu01ydy=x2.最后，設(shè) x1,0y1, 有F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函數(shù) F(x,y)在平面各區(qū)

37、域的表達(dá)式F(x,y)=0,x 或 0 x2,0 x1,y1x2y2,0 x1,0y1.y2,x習(xí)題 9 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=4.8y(2- 1,xy10,其它,求邊緣概率密度 fY(y).解答：fX(x)= -+f(x,y)dy =0 x4.8y(2x)dy,0 x10,其它=2.4x2(2-x10, 其. fY(y)=+f(x,y)dx =0y4.8y(2x)dx,0y10,其=2.4y(4y-y2),0y10,其它.習(xí)題 6 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分 N(0,0,102,102,0), 其概率密度為 求 PXY.解答：由于 PXY+PXY=1，由正

38、態(tài)分布圖形的對(duì)稱性，知f(x,y)=1200ex2+y2200,PXY=PXY, 故PXY=12.3.2 條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題 1 二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為XY 0101 7/157/307/301/15(1)求 Y 邊緣分布律；(2)求 PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定 X Y 是否獨(dú)？解答：(1)由x,y)的分布律知y 只 0 及 1 個(gè)值.Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7 Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3. Py=0 x=0=Px=0,y=0Px=0=23, Py=1 x=0=13.已知 Px=0,y

39、=0=715, 由(1) 知 Py=0=0.7, 似可得 Px=0=0.7.因?yàn)?Px=0,y=0Px=0 Py=0, 所以 獨(dú)立.習(xí)題 2 將某一醫(yī)藥公司 9 月份和 8 份的青霉素針劑的訂貨單分別記為 Y. 據(jù)以往積累的資料知 X Y 的聯(lián)合分布律為XY 515253545551525354 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.055 60.050.010.03(1)求邊緣分布律;求 8 月份的訂單數(shù)為 51 時(shí)，9 月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：(1)邊

40、分布律為X 5152535455pk 0.180.150.350.120.20對(duì)應(yīng) X 值將每行的概率相加,可得 PX=i.對(duì)應(yīng) Y 值(最上邊的一行), 每列的概率相加 可得 PY=j.Y 5152535455pk 0.280.280.220.090.13.學(xué)習(xí)參考. . .(2)當(dāng) Y=51 時(shí),X 的條件分布律為 列表如下:PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.k 5152535455PX=kY=51 6/287/285/285/285/28習(xí)題 3 已知(X,Y)分布律如下表所示，試求：(1)在 條件下,X 的條件分布律

41、; (2)在 X=2 的件下,Y 的條件分布律.XY 012012 1/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于 X,Y 的兩個(gè)邊緣分布律為X 012pk 3/81/37/24Y 012pk 5/1211/241/8故(1)在 Y=1 件下，X 條件分布律為X(Y=1) 012pk3/118/110(2)在 X=2 的件下，Y 條件分布律為Y(X=2) 012pk 4/703/7習(xí)題 4 知(X,Y)的概率密函數(shù)為 f(x,y)=3x,0 x1,0yx0,其它, 求(1)邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)= -+f(x,y)dy=3x2,0 x1

42、0,其它,fY(y)=+f(x,y)dx=32(1 -y2),0y10,其.(2)對(duì)y(0,1), fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yx1,0, 它,對(duì)x(0,1), fYX(y 其它.習(xí)題 5 Y 互獨(dú)立，其概率分布如表(a)表(b)所示，求(X,Y)的合概率分布，PX+Y=1, PX+Y0.X -2-101/2pi 1/41/31/121/3表(a)Y -1/213pi 1/21/41/4表(b)解答：由 X Y 相獨(dú)立知 從而(X,Y)的合概率分布為PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yj),.學(xué)習(xí)參考. . .XY -1/2 1 3-2-1 PX=-2PY=-1

43、/2PX=-1PY=-1/2P PX=-2PY=1PX=-1PY=1P PX=-2PY=3PX=-1PY=3P X=0PY=-1/2PX=1/2PY=-1/2亦即表XY -1/213X=0PY=1PX=1/2PY=1 X=0PY=3PX=1/2PY=3-2-101/2 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12 PX+y=1=PX=-2,y=3+PX=0,Y=1=116+148=112, PX+Y0=1 -PX+Y=0=1-PX=-1,Y=1-PX=12,Y=-12=1-112-16=34.習(xí)題 7 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 服從 N(0,1)分布且

44、X 與 互獨(dú)立，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度數(shù) 解答：由題意知，隨機(jī)變量 X,Y 的概率密度函數(shù)分別是 因?yàn)?X Y 相互獨(dú)立所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)習(xí)題 8 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度 f(x)=12e- x(-x0, 有PXa,X a=PXa PXa,而事件XaX 故由上式有PXa=PXa Xa,PXa(1-a)=0PXa=0 1=PXa a0)但當(dāng) 時(shí)兩者均不成，出現(xiàn)矛盾，故 X X不獨(dú)立.3.3 二維隨機(jī)量函數(shù)的分布習(xí)題 5 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x0,y00, 它,(1)問(wèn) X Y 是否相獨(dú)立？(2)求 Z=X+Y 概率密度

45、.解答：(1)fX(x)= -+f(x=0+12(x+y)e -(x+y)dy,x00,x0under2line 令 x+y=tx+12te -tdt=12(x+1)e- x,x00,x0,由對(duì)稱性知 fY(y)=12(y+1)e- y,y00,y0, 顯然f(x,y)fX(x)fY(y),x0,y0,所以 X Y 不獨(dú)立(2)用卷積公式求 fZ(z)=f(x,z-x)dx.當(dāng)x0z-x0 即 x0 x0 時(shí)fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y 的概率密度為fZ(z)=12z2e-z,z00,z0.習(xí)題 6 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y 相互獨(dú)立，若 從(上的均勻分布，Y

46、從參數(shù) 1 的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y 的率密度分布為 由卷積公式得 Z=X+Y 的概率密度為=0+fX(z -y)e-ydy.fX(x)=1,0 x10, 其它, fY(y)=e-y,y00,y0,fZ(z)= -+fX (x)fY(z-+fX(z-y)fY(y)dy.學(xué)習(xí)參考. . .由 0z-y1 得 z-1y0 時(shí)， fZ(z)=0+fX(z ydy=max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)=0,z01 -e-z,01.習(xí)題 7 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)=be- (x+y),0 x1

47、,0y+,0,其它（1）試確定常數(shù) b；（2）求邊緣概率密度 fX(x),fY(y) （3）求函數(shù) U=maxX,Y分布函數(shù).解答：（）由-+-f(x,y)dxdy=1， 確定常數(shù) b. 01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1 所以 b=11-e-1，從而f(x,y)=11-e-1e- (x+y),0 x1,0y+它.（2）由邊緣概率密度的定義得fX(x)=0+11 -e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0 x1,0, 其它 fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e- y,0y+,0,其（3）因 ，所 X Y 獨(dú)立故FU(u)=PmaxX,Yu=PXu,Yu=F

48、X(u)FY(u)，其中FX(x)=0 xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0 x1所以FX(x)=0,x0,1-e-x1-e-1,0 x 1,1,x1.同理 FY(y)=0ye-tdt=1-e- y,0y+,0,y0，此FU(u)=0,u0,(1-e-u)21-e-u1,1 -e-u,u1.習(xí)題 9 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y 相互獨(dú)立，且服從同一分布試明： Paa2 -PXb2.解答：設(shè) minX,Y=Z,則Paz =1-PXz,Yz=1-PXzPYz =1-PXz2,代入得 Pab2-(1-PXa2)=PXa2-PXb2. 證畢.復(fù)習(xí)總結(jié)總習(xí)題解答習(xí)題 1 在一箱子中裝有 12 開關(guān)其

49、中 是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗(yàn)： 放回抽樣；(2)不放回抽樣我們定義隨機(jī)變量 如下：X=0,若第一次取出的是正品 1,第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品 若二次取出的 是次品試分別就(1),(2)兩情況，寫出 的聯(lián)合分布律.解答：(1)有放回抽樣， 布律如下：PX=0,Y=0=10101212=2536; PX=1,Y=0=2101212=536, PX=0,Y=1=1021212=536, PX=1,Y=1=221212=136,(2)不放回抽樣， 分布律如下：PX=0,Y=0=1091211=4566, PX=0,Y=1=1021211=1066,PX

50、=1,Y=0=2101211=1066, PX=1,Y=1=211211=166, Y X 0101 45/6610/6610/661/66習(xí)題 2 假設(shè)隨機(jī)變量 從參數(shù)為 的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 Xk=0,若 Yk1,若 Yk(k=1,2),求(X1,X2)聯(lián)合分布率與邊緣分布率 解答：因?yàn)?Y 從參數(shù)為 的指數(shù)分布，X1=0,若 Y若 所以有PX1=1=PY1= 1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理 PX2=1=PY2= 2+e-ydy=e-2, PX2=0=1-e-2,因?yàn)?PX1=1,X2=1=PY2=e-2PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1

51、-e-2, PX1=0,X2=0=PY PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0, .學(xué)習(xí)參考. . .故(X1,X2)合分布率與邊緣分布率如下表所示 X1slashX201PX2=j0 1 PX1=i1-e-1 0 1-e-1e-1-e-2e-2 e-11-e-2 e-2習(xí)題 3 在元旦茶話會(huì)上每人發(fā)給一袋水果 內(nèi)裝 3 只橘子2 只蘋果，3 只香蕉. 今從袋中隨機(jī)抽出 只，以 X 橘子數(shù)，Y 記蘋果數(shù)，求( 的聯(lián)合分布解答：X 取值為 0,1,2,3,Y 可取值 PX=0,Y=0=P =0, PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70, PX=0,Y=2=C3

52、0C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70, PX=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70 , PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70, PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70, PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70, PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P =0,所以， 聯(lián)合分布如下：XY 0123012 03/709/703/

53、702/7018/7018/702/703/709/703/700 習(xí)題 4 設(shè)機(jī)變量 與 Y 相互獨(dú)，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y) 的聯(lián)合分布律及關(guān)于 Y 的緣分布 律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處XY y1 y2 y3 x11/8x21/8pj 1/61解答：由題設(shè) X Y 相獨(dú)立即有pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p 1-p21=p11=16-18=124,又由獨(dú)立性，有 p11=p1p 1=p116故 p1從而 p13=14-124-18, 又由 p12=p1p2, 即 18=14p從而 p2=12. 類似的有 將上述數(shù)值填入表中有p3=13,p13=

54、14,p2 =34.XY y1y2 y3 x1x21/24 1/8 1/12 1/41/8 3/8 1/4 3/4pj 1/6 1/2 1/3 1習(xí)題 5 設(shè)隨機(jī)變量( 的合分布如下表：求：(1)a ； 聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)； 于 X,Y 邊緣分布函數(shù) FX(x)與 FY(y). 解答：(1)because 由分布律的性質(zhì)可知 jPij=1, 故 14+14+16+a=1,a=13.(2)因 F(x,y)=PXx,Y當(dāng) x1 或 y-1 時(shí)F(x,y)=0;當(dāng) 1x2,-1 時(shí)F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;當(dāng) x2,-1 時(shí) F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-

55、1=5/12;當(dāng) 1x0 ， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;.學(xué)習(xí)參考. . .當(dāng) x0 ， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,Y=0 =1; 綜上所述，得( 聯(lián)分布函數(shù)為F(x,y)=0,x1 或 y-11/4,1x2,-1y05/12,x2,-1y01/2,1x2,y01,x2,y0. (3)由 FX(x)=PX x,Y+=j=1+pij, 得( 于 邊緣分布函數(shù)為：FX(x)=0,x114+14,1 x214+14+16+13,x2=0,x11/2,1x21,x2,同理，由 FY(y)=PX+y=yii=1+

56、Pij, 得( 關(guān) 邊緣分布函數(shù)為FY(y)=0,y-12/12,-1 y01,y0.習(xí)題 6 設(shè)隨機(jī)變量( 的合概率密度為f(x,y)=c(R-x2+y2),x2+y2R0,x2+y2 求：(1)常數(shù) c; (2)PX2+Y2 r2(rR).解答：(1)因 1=-+-+f(x,y)dydx=x2+y2Rc(R-x2+y)dxdy=)dd=cR33,所以有 c=3R3.(2)PX2+Y2r2= x2+y2r23R3R-x2+y2dxdy=02 R3(R-)dd=3r2R2(1-2r3R).習(xí)題 7 設(shè) f(x,y)=1,02,max(0,x-1)ymin(1,x)0,其它求 fX(x) 和 f

57、Y(y).解答: max(0,x-1)=0,x1x-1,x 1, min(1,x)=x,x0,y00, 其,(1)確定常數(shù) c; (2)求 X,Y 邊緣概率密度函數(shù) (3)求聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y); (4) PYX;(5)求條件概率密度函數(shù) fXY(xy); (6) PX2Y00,x0=2e-2x,x00,x0,fY(y)=-+f(x,y)dx=0+ 其它=e-y,y00,y(3)F(x,y)=-x-yf(u,v)dvdu=0 x0y2e-2ue-vdvdu,x0,y00,它 =(1-e-2x)(1-e-y),x0,y00, 其它.PY0+dx0 x2e-2xe-ydy=0+2e-2x(1

58、-e-x)dx=13.當(dāng) y0 時(shí)fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x00,x0=2e-2x,x00,x0.PX2Y1=PX2,Y1PY1=F(2,1)01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.習(xí)題 10 設(shè)隨機(jī)變量 X 概率 取值為 0, 而 Y 任意的隨機(jī)變量 證明 X Y 相獨(dú)立.解答：因?yàn)?的分布函數(shù)為 當(dāng) x0 時(shí) 時(shí), 設(shè) 的分布函數(shù)為 分布函數(shù)為 F(x,y)，則當(dāng) x0 時(shí)對(duì)任意 有 F(x,y)=PX x,Yy=P(X(Yy)=P (Yy)=P =0=FX(x)FY(y);.學(xué)習(xí)參考. . .當(dāng) x0 ，對(duì)任意 y, 有 F(x,y)=PX x