高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)詳解-專題29-圓錐曲線的綜合問題（解析版）

1、專題29圓錐曲線的綜合問題年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容2015卷1文5橢圓、拋物線橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)理20拋物線直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線存在問題的解法卷2理20直線與橢圓直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的存在型問題的解法文20直線與橢圓橢圓方程求法，直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定值問題的解法2016卷1文5直線與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系卷2理20直線與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系2017卷1理20直線與橢圓橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定點(diǎn)問題卷2文理20直線與橢圓軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定點(diǎn)問題201

2、8卷2理12直線與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系文11橢圓橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓離心率的計(jì)算卷3文理20直線與橢圓直線與橢圓的位置關(guān)系文理20直線與橢圓直線與橢圓的位置關(guān)系2019卷2理8文9橢圓與拋物線拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)卷3理21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關(guān)系，直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，拋物線的定點(diǎn)問題文21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關(guān)系，直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，拋物線的定點(diǎn)問題2020卷1理20文21橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓定點(diǎn)問題卷2理19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方

3、程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義文19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義卷3文6圓錐曲線圓錐曲線的軌跡問題大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)考點(diǎn)98曲線與方程37次考1次命題角度：（1）定點(diǎn)、定值問題；（2）最值、范圍問題；（3）證明、探究性問題核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象考點(diǎn)99定點(diǎn)與定值問題37次考6次考點(diǎn)100最值與范圍問題37次考5次考點(diǎn)101探索型與存在性問題37次考3次十年試題分類*探求規(guī)律考點(diǎn)98曲線與方程1（2020山東）已知曲線（）A若mn0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B若m=n0，則C是圓，其半徑為C若mn0，則

4、C是兩條直線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則可化為，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；來源：Z+xx+kCom對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確2（2020天津）設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）ABCD【答案】D【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為，直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，解得，故選D3【2019北京理】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意

5、美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是ABCD【答案】C【解析】由得，可取的整數(shù)有0，1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，共6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論正確由得，解得，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過結(jié)論正確如圖所示，易知，四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法錯(cuò)誤故選C4（2020全國文19）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與

6、的頂點(diǎn)重合過且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且（1）求的離心率；（2）若的四個(gè)頂點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離之和為12，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】（1）解：橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，拋物線的方程為，其中不妨設(shè)在第一象限，橢圓的方程為：，當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，又拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，有，的縱坐標(biāo)分別為，故，由得，即，解得（舍去），的離心率為（2）由（1）知，故，的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，的準(zhǔn)線為由已知得，即，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為5（2020全國理19）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合過且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且（1）求的離心率；（2）設(shè)是與的公共點(diǎn)，若，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程【

7、解析】（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，即，即，即，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）由（1）知，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得因此曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為6（2018江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓的直徑為(1)求橢圓及圓的方程；(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；直線與橢圓交于兩點(diǎn)若的面積為，求直線的方程【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓的方程為又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得因此，橢圓的方程為因?yàn)閳A的直徑為，所以其方程

8、為(2)設(shè)直線與圓相切于，則，所以直線的方程為，即由消去，得（*）因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，從而設(shè)，由（*）得，所以因?yàn)?，所以，即，解得舍去），則，因此的坐標(biāo)為綜上，直線的方程為7（2017新課標(biāo)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)【解析】（1）設(shè)，則，由得，因?yàn)樵谏?，所以，因此點(diǎn)的軌跡方程為（2）由題意知設(shè)，則，由得，又由（1）知，故所以，即又過點(diǎn)存在唯一直線垂直與，所以過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)8（2016全國文理）已知拋物

9、線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程【解析】（）由題設(shè)設(shè)，則，且記過兩點(diǎn)的直線為，則的方程為（）由于在線段上，故記的斜率為，的斜率為，則所以（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則由題設(shè)可得，所以（舍去），設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得而，所以當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合所以所求軌跡方程為9（2015江蘇理）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為3（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn)，若，求直線的方程【解析】（1）由題意，

10、得且，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)軸時(shí)，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而因?yàn)?，所以，解得此時(shí)直線方程為或10（2014廣東理）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程【解析】（）可知，又，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）設(shè)兩切線為，當(dāng)軸或軸時(shí)，對(duì)應(yīng)軸或軸，可知當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，所以是

11、方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，得，其中，所以點(diǎn)P的軌跡方程為（），因?yàn)闈M足上式，綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為11（2014遼寧理）圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為（如圖），雙曲線過點(diǎn)且離心率為（1）求的方程；（2）橢圓過點(diǎn)且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓心過點(diǎn)，求的方程【解析】（）設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)上下兩段分別為，由射影定理得，三角形的面積當(dāng)時(shí)，取得最大，此時(shí)，在雙曲線上，雙曲線的方程為（）由（）知的焦點(diǎn)為，由此設(shè)的方程為，其中，由在上，得，的方程為，顯然，不是直線，設(shè)的方程為，點(diǎn)，由得，由得，解得，因此直線的方程或12

12、（2013四川理）已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（）求橢圓C的離心率（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程【解析】（）由橢圓定義知，2a|PF1|PF2|，所以又由已知，c1，所以橢圓C的離心率（）由（）知，橢圓C的方程為y21設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)()當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0，1)，(0，1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(，k2)，(，k2)，則|AM|2(1k2)，|AN|2(1k2)又|AQ|2x2(y2)2(1k2)由，

13、得，即將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60由(8k)24(2k21)60，得k2由可知，代入中并化簡，得因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線ykx2上，所以，代入中并化簡，得10(y2)23x218由及k2，可知0 x2，即x又滿足10(y2)23x218，故x由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以1y1又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，則y所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y2)23x218，其中x，y13（2011天津理）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程【解析】（）解：設(shè)，

14、由題意，可得即整理得（舍），或所以（）解：由（）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得解得得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于是由即，化簡得將所以因此，點(diǎn)的軌跡方程是考點(diǎn)99定點(diǎn)與定值問題14【2020全國文21理20】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為與的另一交點(diǎn)為（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)【解析】（1）依據(jù)題意作出如下圖像：由橢圓方程可得：，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或，將代入直線可得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為

15、：，整理可得：，整理得：，故直線過定點(diǎn)15【2020山東】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)（1）求的方程；（2）點(diǎn)，在上，且，為垂足證明：存在定點(diǎn)，使得為定值【解析】（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)代入橢圓得到，設(shè)，又，代入式，求得，橢圓的方程為（2）解法一：由題意知的直線方程為，設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，聯(lián)立方程組得，得，由題意可知時(shí)，面積最大，直線與直線距離，解法二：設(shè)，解法三：設(shè)點(diǎn)AMAN，整理可得：設(shè)MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，韋達(dá)定理可得：，代入式有：，化簡可得：，即，據(jù)此可得：或，直線MN的方程為或，即或，直線過定點(diǎn)或又和A點(diǎn)重合，舍去，則直線過定點(diǎn)由于AE為定值，且AED為直角

16、三角形，AE為斜邊，AE中點(diǎn)Q滿足為定值（AE長度的一半）由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得16【2019全國理】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積【答案】（1）見詳解；（2）3或【解析】（1）設(shè)，則由于，切線DA的斜率為，故整理得設(shè)，同理可得故直線AB的方程為直線AB過定點(diǎn)（2）由（1）得直線AB的方程為由，可得于是，設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則因此，四邊形ADBE的面積設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則由于，而，與向量平行，解得t=0或當(dāng)=

17、0時(shí)，S=3；當(dāng)時(shí)，因此，四邊形ADBE的面積為3或17【2019北京理】已知拋物線C：x2=2py經(jīng)過點(diǎn)（2，1）（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)【解析】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為（2）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，由得設(shè)，則直線的方程為令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)，則，令，即，則或綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)和18【2019全國文】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D

18、作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B（1）證明：直線AB過定點(diǎn)；（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程【解析】（1）設(shè)，則由于，切線DA的斜率為，故整理得設(shè)，同理可得故直線AB的方程為直線AB過定點(diǎn)（2）由（1）得直線AB的方程為由，可得于是設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則由于，而，與向量平行，解得t=0或當(dāng)=0時(shí)，=2，所求圓的方程為；當(dāng)時(shí)，所求圓的方程為【名師點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題和第二問是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計(jì)算量不小19【2019北京文】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)

19、O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)【解析】（1）由題意得，b2=1，c=1，a2=b2+c2=2，橢圓C的方程為（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線AP的方程為令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)又，從而同理，由得則，又，解得t=0，直線l經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）20【2018北京文20】（本小題14分）已知橢圓：的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的焦點(diǎn)（I）求橢圓的方程；（II）若，求的最大值；（III）設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若和點(diǎn)共線，求【解析】（

20、）由題意得，又，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，則，則，易得當(dāng)時(shí)，故的最大值為（）設(shè)，則，又，可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入式可得，同理可得故，三點(diǎn)共線，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡可得，即21【2018北京理19】（本小題14分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且直線交于軸與，直線交軸與（I）求直線的斜率的取值范圍（II）設(shè)為原點(diǎn)，求證：為定值【解析】解：（）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，解得，拋物線的方程為由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為由，得依題意，解得或又與軸相交，故直線不過點(diǎn)從而直線斜率的取值范圍是（）設(shè)由（I）知直線的方程為

21、令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為由得，為定值22（2017新課標(biāo)理）已知橢圓：，四點(diǎn)，中恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn)又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在C上因此，解得故C的方程為（2）設(shè)直線與直線的斜率分別為，如果與軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）則，得，不符合題設(shè)從而可設(shè)：（）將代入得由題設(shè)可知設(shè)，則，而由題設(shè)，故即解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欲使：，即，過定點(diǎn)（2，）23（2017新課標(biāo)文理）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，過做軸的垂線，垂

22、足為，點(diǎn)滿足（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)【解析】（1）設(shè)，則，由得，在上，因此點(diǎn)的軌跡方程為（2）由題意知設(shè)，則，由得，又由（1）知，故，即又過點(diǎn)存在唯一直線垂直與，過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)24（2017北京文）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上，離心率為（）求橢圓的方程；（）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)求證：與的面積之比為4：5【解析】（）設(shè)橢圓的方程為由題意得解得橢圓的方程為（）設(shè)，且，則直線的斜率，由，則，故直線的斜率直線的方程為直線的方程為聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)由點(diǎn)在橢圓上，得又，與的面積之比為25

23、（2016年全國I理）設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍【解析】（），故，故又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，由題設(shè)得，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）（）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，由得則，過點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，故四邊形的面積可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，四邊形的面積為12綜上，四邊形面積的取值范圍為26（2016年北京文）已知橢圓：過，兩點(diǎn)（）求橢圓的方程及離心率；（）設(shè)為第三象限內(nèi)一

24、點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值【解析】（I）由題意得，橢圓的方程為又，離心率（II）設(shè)（，），則又，直線的方程為令，得，從而直線的方程為令，得，從而，四邊形的面積從而四邊形的面積為定值27（2016年北京理）已知橢圓：的離心率為，的面積為1（）求橢圓的方程；（）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)求證：為定值【解析】（）由題意得解得橢圓的方程為（）由（）知，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，直線的方程為令，得從而直線的方程為令，得從而當(dāng)時(shí)，綜上，為定值28（2016年山東文）已知橢圓C：的長軸長為4，焦距為22（）求橢圓C的方程；（）過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m0)的直線

25、交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長線QM交C于點(diǎn)B(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值；(ii)求直線AB的斜率的最小值【解析】()設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，橢圓C的方程為()(i)設(shè)，由M(0，)，可得直線PM的斜率，直線QM的斜率此時(shí)，為定值(ii)設(shè)，直線PA的方程為，直線QB的方程為聯(lián)立，整理得由可得，同理，由，可知k0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)，即，符號(hào)題意，直線AB的斜率的最小值為29（2015新課標(biāo)2文）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在上（）求的方程；（）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，

26、線段的中點(diǎn)為證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值【解析】（）由題意有，解得的方程為（）設(shè)直線：，將代入得故，于是直線的斜率，即直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值30（2015新課標(biāo)2理）已知橢圓C：（），直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（）證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊行？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由【解析】()設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形直線過點(diǎn)，不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，由()得的

27、方程為設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是解得，當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形31（2015陜西文）如圖，橢圓：（0）經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（）求橢圓的方程；（）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為2【解析】（）由題設(shè)知，結(jié)合，解得橢圓的方程式為（）由題設(shè)知，直線的方程式為，代入，得由已知0設(shè)，則從而直線的斜率之和=32（2014江西文理）如圖，已知雙曲線：()的右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，(為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于

28、點(diǎn)，證明：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值【解析】（1）設(shè)，直線OB方程為，直線BF的方程為，解得，又直線OA的方程為，則又ABOB，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）知，則直線的方程為，即，直線AF的方程為，直線與AF的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，則，是C上一點(diǎn)，則，代入上式得，所求定值為33（2013山東文理）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為l（）求橢圓的方程；（）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接設(shè)的角平分線交的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（）在（）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，

29、并求出這個(gè)定值【解析】：（）由于，將代入橢圓方程得由題意知，即，又，橢圓方程為（）由題意可知：=，=，設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得：，而，（）由題意可知，l為橢圓的在點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：，而，代入中得為定值34（2012湖南理）在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值（）求曲線的方程；（）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值【解析】（）解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)于是，所以化簡得曲線的方程為解法2：由

30、題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為（）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切的直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為于是整理得設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，故由得設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以同理可得于是由，三式得所以當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值6400考點(diǎn)100最值與范圍問題34【2020年江蘇18】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)（1）求的周長

31、；（2）在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】見解析【解析】（1）的周長（2）由橢圓方程得，設(shè)點(diǎn)，則直線方程為，令得，即，即的最小值為（3）設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，若，則，即，由（1）可得直線方程為，即，由題意得，點(diǎn)應(yīng)為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)，設(shè)平行于的直線為，與直線的距離為，即或當(dāng)時(shí)，直線為，即，聯(lián)立可得，即或，或當(dāng)時(shí)，直線為，即，聯(lián)立可得，無解綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或36【2020浙江21】如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于

32、A）（）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值【解析】（）當(dāng)時(shí)，的方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（）設(shè)由由M在拋物線上，由即，的最大值為，此時(shí)37【2019全國理】已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得，C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左

33、右頂點(diǎn)（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為由得記，則于是直線的斜率為，方程為由得設(shè)，則和是方程的解，故，由此得從而直線的斜率為，即是直角三角形（ii）由（i）得，PQG的面積設(shè)t=k+，則由k0得t2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)在2，+）單調(diào)遞減，當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S取得最大值，最大值為因此，PQG面積的最大值為38【2019浙江】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)記的面積分別為（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)【解析】（1）由題意得，即p=2，拋物線

34、的準(zhǔn)線方程為x=1（2）設(shè)，重心令，則由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，又由于及重心G在x軸上，故，得，直線AC方程為，得由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故從而令，則m0，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G（2，0）39（2018浙江21）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)滿足的中點(diǎn)均在上（I）設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；（II）若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍【解析】解析一【標(biāo)準(zhǔn)答案】：（I）設(shè)，的中點(diǎn)在拋物線上，為方程，即的兩個(gè)不同的實(shí)根，因此，軸（II）由（I）可知，因此的面積，因此，的面積的取值范圍是解法二：（I）設(shè)，中點(diǎn)的中點(diǎn)為中點(diǎn)為由題知，由三角形知識(shí)可知

35、，三點(diǎn)共線當(dāng)時(shí)，同理，垂直于軸當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)都在軸上，垂直于軸綜上可知，垂直于軸40（2017浙江文理）如圖，已知拋物線點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為（）求直線斜率的取值范圍；（）求的最大值【解析】（）設(shè)直線AP的斜率為，因?yàn)?，所以直線AP斜率的取值范圍是（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)?，=，所以=，令，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值41（2017山東文）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為()求橢圓的方程；()動(dòng)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)點(diǎn)是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的半徑為設(shè)為的中點(diǎn)，與分別相切于點(diǎn)，求的

36、最小值【解析】（）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時(shí)，得，因此橢圓方程為（）設(shè)，聯(lián)立方程，得，由得（*）且，因此，又，整理得：，令，故，令，當(dāng)時(shí)，從而在上單調(diào)遞增，因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，由（*）得且，故，設(shè)，則，得最小值為從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率時(shí)綜上所述：當(dāng)，時(shí)，取得最小值為42（2017山東理）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為（）求橢圓的方程；（）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率【解析】（I）由題意知，因此橢圓的方程為（）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知

37、，且，由題意可知圓的半徑為，由題設(shè)知，因此直線的方程為聯(lián)立方程得，因此由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，因此，最大值為綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為43(2016全國II理)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，（）當(dāng)時(shí)，求的面積；（）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解析】（I）設(shè)，則由題意知當(dāng)時(shí)，橢圓的方程為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為因此直線的方程為將代入得解得或，所以所以的面積為（）由題意知，則直線的方程為，聯(lián)立并整理得，解得或，所以由題意，所以的方程為，同理可得由，得，即當(dāng)時(shí)上式成立，因此因?yàn)?，即，整理得?/p>

38、，解得44(2016天津理)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率（）求橢圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍【解析】（）設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為（）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為設(shè)，由方程組，消去，整理得解得，或，由題意得，從而由（）知，設(shè)，有，由，得，所以，解得因此直線的方程為設(shè)，由方程組消去，解得在中，即，化簡得，即，解得或所以，直線的斜率的取值范圍為45（2016浙江文）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于（I）求p的值；（II）若

39、直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M求M的橫坐標(biāo)的取值范圍【解析】()由題意得拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線的距離由拋物線的第一得，即()由()得拋物線的方程為，可設(shè)因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：，由消去得，故，所以又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為，從而的直線FN：，直線BN：，所以，設(shè)M(，0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得：，于是，經(jīng)檢驗(yàn)，或滿足題意綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是45（2015重慶文）如圖，橢圓（0）的左、右焦點(diǎn)分別為，且過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（）若|，|，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若|，且，試確定

40、橢圓離心率的取值范圍【解析】（）由橢圓的定義，故設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）如題(21)圖，由，得由橢圓的定義，進(jìn)而于是解得，故由勾股定理得，從而，兩邊除以，得，若記，則上式變成由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，即，進(jìn)而，即46（2014新課標(biāo)1文理）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)（)求的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程【解析】（）47（2014浙江文理）如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限（）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最

41、大值為【解析】（）設(shè)直線的方程為，由，消去得，由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（）由于直線過原點(diǎn)，且與垂直，故直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，點(diǎn)到直線的距離的最大值為48（2015山東理）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是、以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)（i）求的值；（ii）求面積的最大值【解析】（）由題意知，則，又，可得，橢圓的方程為（）由（I）知橢圓的方程為（i）設(shè)，由

42、題意知，又，即，即（ii）設(shè)，將代入橢圓的方程，可得，由，可得，則有，直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積令，將代入橢圓的方程，可得，由，可得，由可知，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最大值，由（i）知，面積為，面積的最大值為49（2014山東文理）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形（）求的方程；（）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（）由題意知，設(shè)，則的中點(diǎn)為因?yàn)?，由拋物線的定義可知，解得或（舍去）由，解得所

43、以拋物線的方程為（）（）由（）知，設(shè)因?yàn)?，則，由得，故，故直線的斜率因?yàn)橹本€和直線平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程得，由題意，得設(shè)，則當(dāng)時(shí)，可得直線的方程為，由，整理得，直線恒過點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)（）由（）知直線過定點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上故設(shè)，直線的方程為由于，可得，代入拋物線的方程得所以，可求得，所以點(diǎn)到直線的距離為=則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為50（2014山東理）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為（）求橢圓的方程；（）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）點(diǎn)D在橢圓C上，

44、且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點(diǎn)（）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；（）求面積的最大值【解析】（）由題意知，可得橢圓C的方程可化簡為將代入可得，因此，可得因此，橢圓C的方程為（）（）設(shè)，則，直線AB的斜率，又，直線AD的斜率，設(shè)直線AD的方程為，由題意知，由，可得，因此，由題意知，直線BD的方程為，令，得，即可得，即因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立（）直線BD的方程，令，得，即，由（）知，可得的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S取得最大值，的面積的最大值為51（2014四川文理）已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

45、程；（）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)【解析】（1）依條件，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）設(shè)，又設(shè)中點(diǎn)為，（i），直線的方程為：，于是，三點(diǎn)共線，即OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（ii），令（），則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），當(dāng)最小時(shí)，即或，此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)為或52（2013廣東文理）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)（）求拋物線的方程；（）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值【解析】（

46、）依題意，解得（負(fù)根舍去）拋物線的方程為（）設(shè)點(diǎn)，由，即得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即，點(diǎn)在切線上，同理，綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是唯一的，直線的方程為，即（）由拋物線的定義可知，所以聯(lián)立，消去得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為53（2011新課標(biāo)文理）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線C（）求C的方程；（）為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值【解析】（）設(shè)，由已知得，所以=，=(0，)，=(，-2)再由題意可知（+）=0，即（，）(，2)=0所以曲線C的方程式為（）設(shè)為曲線C：上一點(diǎn)，因?yàn)?，所以的斜率為，因此直線的方程為，即則點(diǎn)到的距離又，所以

47、當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到距離的最小值為254（2011廣東文理）設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切（1）求C的圓心軌跡L的方程；（2）已知點(diǎn)M，且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【解析】（1）設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知化簡得L的方程為（2）過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得解得因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故，若P不在直線MF上，在中有故只在T1點(diǎn)取得最大值2考點(diǎn)101探索型與存在性問題55【2018上海20】（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）設(shè)常數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，曲線與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)

48、分別是曲線與線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）用為表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)在直線上，求的面積；（3）設(shè)，是否存在以為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（2）由已知，直線的方程為，聯(lián)立解得又點(diǎn)（3）存在理由如下：焦點(diǎn)為，設(shè)，則，根據(jù)得到，解得滿足題意56（2016全國I文）在直角坐標(biāo)系中，直線：交軸于點(diǎn)，交拋物線：于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)并延長交于點(diǎn)（I）求；（II）除以外，直線與是否有其它公共點(diǎn)？說明理由【解析】（）由已知得，又為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，故，的方程為，代入整理得，解得，因此所以為的中點(diǎn)，即（）直線與除以外沒

49、有其它公共點(diǎn)理由如下：直線的方程為，即代入得，解得，即直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除以外直線與沒有其它公共點(diǎn)57（2015新課標(biāo)1理）在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點(diǎn)，（）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由【解析】（）由題設(shè)可得，或，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即故在處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即故所求切線方程為或（）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線，的斜率分別為將代入的方程整理得=當(dāng)時(shí)，有=0，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，故=，所以符合題意58（2015北京理）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線

50、交軸于點(diǎn)（）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；（）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【解析】（）由題意得解得=2，故橢圓的方程為設(shè)(，0)，直線的方程為，=，即（）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則=“存在點(diǎn)使得=等價(jià)”，“存在點(diǎn)使得=”即滿足，=或，故在軸上存在點(diǎn)，使得=，點(diǎn)的坐標(biāo)為或59（2015湖北理）一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C

51、以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（）求曲線C的方程；（）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由【解析】（）設(shè)點(diǎn)，依題意，且，所以，且即，且由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為（）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由，消去，可得因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即又由可得；同理可得由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得將代入得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)時(shí)，的最

52、小值為8綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ的面積取得最小值860（2015四川理）如圖，橢圓：的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）由已知，點(diǎn)在橢圓上因此，解得，所以橢圓的方程為（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)如果存在定點(diǎn)滿足條件，則，即所以點(diǎn)在y軸上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)則，由，有，解得或所以，若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)

53、只可能為下面證明：對(duì)任意的直線，均有當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，、的坐標(biāo)分別為聯(lián)立得其判別式，所以，因此易知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為又，所以，即三點(diǎn)共線所以故存在與不同的定點(diǎn)，使得恒成立61（2015浙江理）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】（）由題意知，可設(shè)直線的方程為由消去，得因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，設(shè)為的中點(diǎn)，則，代入直線方程解得由得或（）令，則，且到直線的距離設(shè)的面積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為62（2014湖南文理）如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦