8.2012數(shù)學(xué)講座2932多元微分學(xué)4講第31.抽象求偏明結(jié)構(gòu)32條件極值很自然

1、多元微分學(xué)（31，32講第31講抽象求“偏”明結(jié)計(jì)算多元函數(shù) z f(x, y) z y x 1. 計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)設(shè)函數(shù) z f(uv，而 u u(x, y) v v(x, y，其中 f, u多元微分學(xué)（31，32講第31講抽象求“偏”明結(jié)計(jì)算多元函數(shù) z f(x, y) z y x 1. 計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)設(shè)函數(shù) z f(uv，而 u u(x, y) v v(x, y，其中 f, u, v z f u f zu v z f u f z f u f u v 抽象復(fù)合函數(shù)關(guān)于中間變元的偏導(dǎo)數(shù)具有與函數(shù)本身相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)全導(dǎo)數(shù)公式和偏導(dǎo)數(shù)計(jì)若函數(shù) z f n) xj xj (t) 都可

2、微，1jn 所謂全導(dǎo)數(shù)（也就是多元函數(shù)通過復(fù)合而產(chǎn)生的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）dz 12nfL f12n計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)的某個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，比如 u 時(shí)，把其它自變量都看成常數(shù)，就可全導(dǎo)數(shù)公式來計(jì)算例函數(shù) z u(x)v(x)，u 和v 均為可微函數(shù)，且恒有u(x)0，求分析 由二元函數(shù)的一元函數(shù)，利用全導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則直接算 z du z dv v(x)u(x)v(x)1u u(x)v(x) lnu(x)u v 例已知函數(shù)z uv，其中u y2 ，v arctg(y/ x)，求全微分d x z z vdz x dx y dy x v xdxu y v y分1如果這個(gè)函數(shù)z 直接給成變量x 與y 的冪指型二元函

3、數(shù)，為v，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法來計(jì)算（略。還可以應(yīng)用“一階微分的形式不變性”d z dz z du z dv ，而 du u dx u dy dv v dx v du xdx ydy ，dv ydx dz vuv1du uv(lnu)dv xyxyu dz ylnudx xlnu即(如果這個(gè)函數(shù)z 直接給成變量x 與y 的冪指型二元函數(shù)，為v，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法來計(jì)算（略。還可以應(yīng)用“一階微分的形式不變性”d z dz z du z dv ，而 du u dx u dy dv v dx v du xdx ydy ，dv ydx dz vuv1du uv(lnu)dv xyxyu dz yln

4、udx xlnu即(x y ) uu求抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 2已知 f(u, ) uxy, vxyf(uv*z y f(u, v) f f (u, v)f，1122f u, v2z 2 2 f 2 2 f 2 2 2 f (x x2例設(shè)z sin(xy) ，其中(u,v)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)yyuv解 z ycos(xy) ； 和 uvy2x11xcos(xy) xysin(xy) 2 yyyy1xx cos(xy) xysin(xy) uyyy238 已知函數(shù) f(x, v，u 2x y，v xyfy解 函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)為 2 f 2f yf f f f 都有與 z f (xuv) ；和及1

5、232 2( ) y( xf ) （xx 代替表示中間變元的字母，才能避免對x求偏導(dǎo)時(shí)算符記2yx例若 z xf( ) y( ) ，其中 f 和 都有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，xy解 yyyx1y f 2f yf f f f 都有與 z f (xuv) ；和及1232 2( ) y( xf ) （xx 代替表示中間變元的字母，才能避免對x求偏導(dǎo)時(shí)算符記2yx例若 z xf( ) y( ) ，其中 f 和 都有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，xy解 yyyx1yx f( ) xf ( ) y ( )f( )f ( ) ( xxy2y yy xxxy f f ( )f ( ( )f ( ) ( x yyxyy*例已知 z

6、f(x) y ，x + (y) ，其中的 和 均為可微函數(shù)，且 f 22 f (x) f f 和 f 都有與 相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)解1212 (y) f21 1) (x)( (x)f11 (x)(y)1)f12 f22 (設(shè)函數(shù) f u, v) 有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 2 2 0 ，試證明*例 2 2 z f (x2 y2, 2xy f 2x f2 2yf 2xf分析 12122x2y2 xf 2x xf 2y yf 2 2( 2y 2( ( 2y) 2x xf ( 2y) xf 22 4(x y ) ( f f ) xy2計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)一個(gè)方程能確定（解出）一個(gè)未知量。n 個(gè)變元滿足一個(gè)約束條

7、件，比如方程F(x, yz0，自然有n 1 n13復(fù)合函數(shù)法 比如方程 F(x, y, z) 0 ，就看成 F(x, y, z(x, y) 0，公式法 設(shè) F(x, yz) 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)Fz 0，則方程 F(x, yz復(fù)合函數(shù)法 比如方程 F(x, y, z) 0 ，就看成 F(x, y, z(x, y) 0，公式法 設(shè) F(x, yz) 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)Fz 0，則方程 F(x, yzz F z Fx （潛臺詞： Fz 0 0 在較為復(fù)雜的情形，要注意首先把隱函數(shù)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形 F(x, yz進(jìn)一步計(jì)算 FxFy 及 Fz 時(shí)，還要注意把自變x、y、z成是彼此獨(dú)立的。這42 根

8、據(jù)隱函數(shù)存在定理，方程 xy zln y exz 1 在點(diǎn) 011) （A）只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) z z x, y可以確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) y y x, z可以確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) x x y, z可以確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) x x y, zzz z (x, yz z (x, yy y (x, z和分析 F y zexz F( 0,1,1) 2F x ( 0,1,1) FxxyyyFz ln y xexz , Fz(0, 1, 1) ，應(yīng)選例設(shè)函數(shù)z是由方程 z f(x z, y z) 所確定的隱函數(shù)，試求偏導(dǎo)數(shù)z 、解 用復(fù)合函數(shù)x f(1 z)f

9、由此121 f f 用公式 記 F z f(x y z)z f1 f1 f1 f1 f例設(shè)usin(y3z)，其中z是由方程z2y xz3 10所確定的隱函數(shù)，求u cos(y 3z)3z ，再由確定隱函數(shù)z 的方程2zy z 3xz2 z z3 由于是求給定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)值，不必先解出 u 的一般表達(dá)式z(10)1x1y 0z14 13cosx x 方法對已 知 函 數(shù) y y x) 方 6xy x2 1 0 確 定 ， ey (0) ，連 續(xù) 兩 次 對 恒 等 式 求 導(dǎo) y 6( y xy) 2x 0 ， y 13cosx x 方法對已 知 函 數(shù) y y x) 方 6xy x2 1 0

10、 確 定 ， ey (0) ，連 續(xù) 兩 次 對 恒 等 式 求 導(dǎo) y 6( y xy) 2x 0 ， y(0) 0 e(y)2 ey y 6(2y xy) 2 ， y(0) eu例已知 u 是由 u e xy 所確定的隱函分F u eu xy；Fu 1 eu ；Fx y，F(xiàn)y ，u u yx11 y (1eu 1 eu yeu(u/y) 1(1eu)1(1eu)（例設(shè) z f (x, y)是方程 z y x xezyx 0 所確定的二元隱函數(shù)，求解 將方程兩端取微分dz dy dx ezyxdx xezyx(dz dy dx)(1 xezyx)dz (1 xezyx ezyx)dx (1

11、xezyx)dy 1(x 1)ezdz dx1 xezy評注 也可以用公式法先求隱函數(shù) z(x, y) 的導(dǎo)數(shù) z z ，再寫出 d例設(shè)函數(shù)u f (x, y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又已知函數(shù)y y(x)及z z(x)分sintdt x0e由方 xy e和分析 u y(xz(xdu f f dy f dz dy Fx ；dz 而y z sintx0其中 F exy xy 2， G ex 5yeydz ex(x z)sin(x yx，sin(x xex例47設(shè)函數(shù)u f (x, y,z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且z z(x, y)是由方程xex yey zez 所確定的隱函數(shù)，求du解 u 是一個(gè)復(fù)合

12、函數(shù)，它的復(fù)合結(jié)構(gòu)為u f (x, y, z(x, yeydz ex(x z)sin(x yx，sin(x xex例47設(shè)函數(shù)u f (x, y,z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且z z(x, y)是由方程xex yey zez 所確定的隱函數(shù)，求du解 u 是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，它的復(fù)合結(jié)構(gòu)為u f (x, y, z(x, ydu u dx u u f f z ，u f f 而又，用公式法求隱函數(shù) z z(x, F xex yey zez (x1)e(y1)e；(z 1)e(z 1)exy du (f f x)dx(f f yz z *已知函數(shù) u f(x, yz) 而方程 g(x, yz0 h(xz0 確定

13、了隱函數(shù)和 y y(x) ，f ，g ，hz u f ( x, yxzx分分析兩方程的特點(diǎn)，可以首先設(shè)方程 h(x, z0 確定了隱函z z(x，然后方程g1g3z(x)z(x) hx g(x, y, z(x) 0 確定了隱函數(shù) y y(x)，y(x) du f gyz 第32講條件極值很自如果二元函數(shù) z f (x, y) D D 上必有最大值和最小值。 如果二元函數(shù) z f (x, y) （x0, y0）取值 f (x0 , y0 (x0 , y0 ) 某鄰域內(nèi)，f (x0 , y0 z f (x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 有極值。又稱點(diǎn)(x0 , y0 ) D的邊界通常是一條曲

14、線（或多條曲線y(x。因而在邊界上，二元函數(shù) z f (x, y) 實(shí)際上就成了一元函數(shù) z f (x(x用一元函數(shù)的方法求 z f (x, y) 6計(jì)算普通極值（二元函數(shù) z f(x, y) 在定義域D內(nèi)的極值）fx(x,y)計(jì)算普通極值（二元函數(shù) z f(x, y) 在定義域D內(nèi)的極值）fx(x,y)得到全部駐點(diǎn)x0 , y0 （1）f (x, y)y（2）二階導(dǎo)數(shù)判別法B fxy(x0y0A fxx (x0y0C fyy(x0y0BAC 0 時(shí)函數(shù)有極值。A 0 時(shí) f (x0 , y0 ) 極小 ；A 0 時(shí) f (x0 , y0 ) 則計(jì)算閉D上連續(xù)函數(shù) z f(x, y) 的最在簡

15、單的情形下可以計(jì)算連續(xù)函數(shù) z f(x, y) 的最值。其步驟求二元函數(shù) z f(x, y) 在（有界）D內(nèi)的駐點(diǎn)。求二元函數(shù) z f (x, y) D 的邊界上的駐點(diǎn)條件極值和拉格朗z f(x, yD y (x) 上的極值稱為條件極值。記 F(x, y) 0 為一般情形下的約束條件。（1） 作輔助函數(shù) 拉格朗日乘子函數(shù) L(x, y f(x, yF(x, (x, y) (x, y) f (x, y) F (x, y) 0（2）yyy (x, y,) F(x, y) 例f (x, y在點(diǎn) x0 , y0 ) （A）f x0 , yy y0 （C）f x0 , yy y0（B）f x0 , yy

16、 y0（D）f x0 , yy y0 f x0 , yy y0 處的導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù) fyx0 , y0y在x0 , y0可微，偏導(dǎo)數(shù)都存在。由函數(shù)取得極小值的必要條件知應(yīng)選分f (y與(x, y都是可微函數(shù)，且y (xy) 0，已知 x0 , y0f (y在約束條件(x, y) 0f (（A）f x , y ) 0f x , y ) （B）fx x0, y 0) 0fy x0, y 0) （C）f x , y ) 0f x , y ) x（D）fx x0, y 0) 0fy x0, y 0) 分析 因?yàn)?y (x,y) 0 ，所以 (x,y) 0 確定了隱函數(shù)y=y（x），進(jìn)而x0 是f (

17、x, y(x) 的極值點(diǎn)。于是有7f (x , y ) f (x y )y(x ) 0 ，而 y(x ) (x ,y (x , y f (x , y ) f (x y )y(x ) 0 ，而 y(x ) (x ,y (x , y 0, 00f (x , y )(x ,y ) f(x y )(x ,y 0, fx (x0, y0)0，則上式左端不為0，只能選（D為q1和q2， 需求函數(shù)分別為 q1 24 0.2q2 10 0.05p2 ；總成本函數(shù)為和C 35分析 總收入函數(shù) R p1q1 p2q2 24p1 0.2p2 10p2 0.05p12總利潤函L RC 32p1 0.2p2 0.05p

18、2 139512122320.4p 120.1p 和1212由此算得 p1 80p2 120z(80,120) 例54求二元函數(shù) z f(x, y) x2y(4 x y) 在由直線 x y 6，x 軸和y 軸所圍成的閉區(qū)域D 上的極值，最大值與最小值。解 （1）fx(x, y)2xy(4 x y) x2y 22f (x, y) x (4 x y) x y y解得 0 y6 (0，y) 及點(diǎn)（4，0）和（2，1）點(diǎn)（4，0）x = 00 y6D的邊界上，只有點(diǎn)（2，1） y B2 AC 320A 0，因此點(diǎn)（2，1）z f(x, y的極大點(diǎn)，極大值 f (2，1) = D 的邊界 x 0 (0 y6) 及 y 0 (0 x6) 上，恒有 f(x, y0 x y 6上，將 y 6 代入 f(x, y) z 2x3 12x2(0 x z 6x2 24x