常見不定積分的求解方法

1、常見不定積分的求解方法的討論馬征指導(dǎo)教師：封新學(xué)摘要介紹不定積分的性質(zhì)，分析常見不定積分的各種求解方 法：直接積分法、第一類換元法湊微法、第二類換元法、分部積 分法，并結(jié)合實(shí)際例題加以討論，以便于在解不定積分時能快速選擇 最正確的解題方法。關(guān)鍵詞不定積分 直接積分法 第一類換元法湊微法第二類 換元法分部積分法。The discussion of mon indefinite integral method of calculatingMa ZhengAbstractthere are four solutions of indefinite integration in this discou

2、rse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key wordsIndefinite integration,exchangeableintegration, parcel integration.。引言不定積分是？高等數(shù)學(xué) 計(jì)的一

3、個重要內(nèi)容，它是定積分、廣義積.word.zl.分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的根底，要 解決以上問題，不定積分的問題必須解決，而不定積分的根底就是常 見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運(yùn)算時有一定的法那 么，它要根據(jù)不同題型的特點(diǎn)采用不同的解法， 積分運(yùn)算比起微分運(yùn) 算來，不僅技巧性更強(qiáng)，而且也已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如dxJi k2sin2x 其中 0 k 1；sin x ,21 ,dx e xdx-dxx ； e dx； Inx 等。這一方面表達(dá)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動了微積分本身的開展。同時，

4、同一道題也可能有多種解法，多種結(jié)果，所以，掌握 不定積分的解法比擬困難，下面將不定積分的各種求解方法分類歸 納，以便于更好的掌握、運(yùn)用。1不定積分的概念定義：在某區(qū)間I上的函數(shù)f (x)，假設(shè)存在原函數(shù)，那么稱f(x)為可積函數(shù)，并將f (x)的全體原函數(shù)記為f (x)dx稱它是函數(shù)f (x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，其中為積分符號，f (x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量。假設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù),那么：f (x)dx= F (x)+C(C 為積分常數(shù))。在這里要特別注意，不定積分是某一函數(shù)的全體原函數(shù)， 而不是一個單一的函數(shù)，它的幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：.word.zl.d 一

5、一 一 一dx( f(x)dx) 和 f(x)dx 是不相等的，前者的結(jié)果是一個函數(shù)，而后者是無窮多個函數(shù)，所以, 在書寫計(jì)算結(jié)果時一定不能忘記積分常數(shù)。性質(zhì):1微分運(yùn)算與積分運(yùn)算時互逆的。注：積分和微分連在一起運(yùn)算時:完全抵消。d抵消后差一常數(shù)。2.兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于它們各自積分的代數(shù)和，即：f (x) g(x)dx= f(x)dx 土 g(x)dx o3在求不定積分時，非零數(shù)可提到積分符號外面，即：kf (x)dx = k f (x)dx(k ？0)。在這里，給出兩個重要定理：(1)導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)是常函數(shù)。(2X設(shè)兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處相等，那么兩函數(shù)相差一個常數(shù)。以便于更好的解決一些

6、簡單的不定積分問題。上面將不定積分的概念以及性質(zhì)做了簡單的介紹，下面，我們開場討論不定積分的各種求解方法。2直接積分法(公式法)從解題方面來看，利用不定積分的定義來計(jì)算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和根本積分公式從而直接求出.word.zl.不定積分，這種方法就是直接積分法（另稱公式法）F面先給出根本求導(dǎo)公式:(kx) k (x ) X(4)(arctan x)11 x2(5) (arcsin x)1八 、，1,1 x2 (logax)砧1 (In x) x(7) (ex) ex(8) (sin x) cosx(9) (cosx) sin x(10) (tan x)sec2 x

7、2(11) (cot x) csc x根據(jù)以上根本求導(dǎo)公式，我們不難導(dǎo)出以下根本積分表:1)1 x kdx kx C(k是吊數(shù))x dx C(dx 小ln x C xarcsinx(4)C (6)1,八；dx arctanx C 1 x2xaxdx -a- Cln a exdx ex C(8) cos xdx sin x Csin xdx cosx C2sec xdx tanx C)csc2 xdxcot x CF面舉例子加以說明:.word.zl.例 2.1：求（3x2 4x 1）dx解 原式二3x2dx4xdx dx=3 x2dx 4 xdx dx32=吟 Ci)* C2)(x C3) 3

8、2=x3 2x2 x C注意：這里三個積分常數(shù)都是任意的，故可寫成一個積分常數(shù)。所以對一個不定積分，只要在最后所得的式子中寫上一個積分常數(shù)即 可，以后遇到這種情況不再說明。2一 ， x例2.2:求飛一；dxdxxnx 1(x2 1) 1.解 原式=2dx= dxx 1=x arctan x C注：此處有一個技巧的方法，這里先稱作“加 1減1法，相當(dāng)于是將多項(xiàng)式拆分成多個單項(xiàng)式，然后利用根本積分公式計(jì)算，下面的 例題中還會遇到類似的題型，遇到時具體講解。直接積分法只能計(jì)算較簡單的不定積分，或是稍做變形就可用根 本積分表解決的不定積分，對于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論

9、其他方法。3第一類換元法(湊微法)利用根本積分公式和積分性質(zhì)可求得一些函數(shù)的原函數(shù)，但只是 這樣遠(yuǎn)不能解決問題，如.word.zl.sin u 2 1122 對變量代換比擬熟練后，可省去書寫中間變量的換元和回代過程。 .word.zl.xcosxdx就無法求出，必須將它進(jìn)展變形，然后就可以利用根本積分公式求出其積分。如果不定積分 f (x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為f (x) g (x) (x),作變量代換u(x),并注意到(x)dx d (x),那么可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分，于是有f(x)dx g (x) (x)dx g(u)du.如果g(u)du可以求出，不

10、定積分f (x)dx的計(jì)算問題就解決了，這就是第一類換元法(湊微分法)。注：上述公式中，第一個等號表示換元(x) u,最后一個等號 TOC o 1-5 h z 表示回代u(x).下面具體舉例題加以討論10例 3.1:求(2x 1)10dx.110 ,解原式=2 (2x 1) (2x 1)dx110=(2x 1)10d(2x 1)111 10 ,11 ,一 八 11 c2x 1 u duu C u 2x 1(2x 1) C例 3.2:原式8x 25 d(X).(X 4)219d(x) 丁(-d (x)13( x 431 一_ X 4-arctan33例3.3:求dx1 x211 x212 X 2

11、1(1 x)(1 d(1 x)1 x1(-x) 2 1d (1 x).1 x1 X在這里做一個小結(jié),當(dāng)遇到形如:dxa x2 bxc的不定積分,c可分為以下3中情況:2ax bx c的:大于0時?？蓪⒃交癁椋▁X1)(x X2),2.其中，X1、X2為 aX bX c0的兩個解,那么原不定積分.word.zl.為:dxd(x x2)(x x2)1 d(x xi)(x Xi)(X X2)(x2 Xi)(x Xi)lnxxi(x2 Xi) Ix x2 等于0時?？衫猛耆椒焦?，然后可化成2(x k) d(x k) o然后根據(jù)根本微分公式（2度可求解。 小于0時。形如例4,可先給分母進(jìn)展配方。

12、然后可根據(jù)根本積分公式（4度可求解。例 3.4： 求 secxdxdxcos xdx解原式嬴；高d sin x1 sin2 xd sin x(1 sin x)(1 sin x)1 dsin x一2 (1 sin x)d sin x(1 sin x)2ln1 sin x1 sinx該題也可利用三角函數(shù)之間的關(guān)系求解:sec2 x sec x tan x , 原式 secx tanx dx1 d (sec x tan x) secx tan xln secx tan x C .雖然兩種解法的結(jié)果不同，但經(jīng)歷證均為 secx的原函數(shù)，這也.word.zl.就表達(dá)了不定積分的解法以及結(jié)果的不唯一性。例

13、3.5:求cos2xdx解 cos2xdx1 cos2x ,1,idx - ( dx22cos2xdx)2 dxcos2xd(2x)例 3.6:解 seC6 xdxx sin 2x -C24sec6 xdx.222(sec2 x) sec xdx(1 tan2x) d (tan x)(12 tan2 xtan4x)d(tan x)tanx233tanx15 人tan x C5注:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時，拆開奇次項(xiàng)去湊微分。當(dāng)被積函數(shù)為三角函數(shù)的偶數(shù)次屆時，常用半角公式通過降低哥次的方法來計(jì)算；假設(shè)為奇次，那么拆一項(xiàng)去湊微，剩余的偶次用半角公式降房后再計(jì)算。例 3.7:2xdx100 x(

14、x 1)解原式2 x(x二1dx1)99(x 1)(x 1)而1dx.word.zl.99(x 1) (x 1)而1dxJ(x 1)98 (x 1)98(x 1)面d(x1)197(x 1)971 (x 499811) (x9999 一1) C注：這里也就是類似例2所說的方法，此處是“減1力口 1法。4第二類換元法如果不定積分 f (x)dx用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Qx (t)后，所得到的關(guān)于新積分變量t的不定積分f (t) (t)dt可以求得，那么可解決f(x)dx的計(jì)算問題，這就是所謂的第二類換 元(積分)法。設(shè)x (t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且(t) 0,又設(shè)f

15、(t) 具有原函數(shù)F (t),那么f (x)dx f (t) (t)dt F(t) C F (x) C,其中(x)是x (t)的反函數(shù)。注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。例4.1：求不定積分a2 x2dx(a 0).word.zl.解令乂 asint ,那么 dx acostdt , t ( /2, /2),所以cos2t)dt2a% a2 x2dxa cost a costdt 萬(1a21-(t -sin2t) C222a(t sin t cost) C為將變量t復(fù)原回原來的積分變量22a x可知cost ，代入上式,ax,由x asint作直角三

16、角形, 2a2 x2dxarcsin得注：對此題，假設(shè)令x例42求不定積分122 dx(a 0)、x a2 -a sec tdt asect解 令 x atant,那么 dx ase(2tdt, t ( /2, /2),所sectdtIn sect tant Ciln x Vx202 C.word.zl.例4.3:求不定積分-dx(a a0).解 令 x asect ,那么 dx asect tantdt , t (0, /2),所以sectdtasect tant lxdta tantIn sect tant CiIn x Vx2a2C注：以上幾例所使用的均為三角代換， 三角代換的目的是化掉

17、根式,其一般規(guī)律如下：假設(shè)果被積函數(shù)中含有227a x時，可令xasint , t(；如果被積函數(shù)中含有Jx2一，可令xatant, t(/2)；如果被積函數(shù)中含有Jx2；可令x asect t (0, /2) .dx例4.4:求不定積分 x xe e令 tex(t0),那么In t,所以,dxx xe e1亡出t*dtarctant C.word.zl.arctanex C .例4.5:求不定積分xdxJ2 3x2 . TOC o 1-5 h z xdx 1d x2解 o o 2 o2 （變形）.2 3x222 3x2 HYPERLINK l bookmark153 o Current Do

18、cument 22t2 . 22 k令t V2 3x2（t 0）, x 3 .dx 3tdt1 1211 .原式?；（不出）1出 7 2 3x2 C 2 t333關(guān)于第二類換元法，就舉些例子說明，具體要多做大量的習(xí)題, 這樣才能找到該怎么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。5分部積分法前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計(jì)算問題， 但 有些積分，如 xexdx、 xcosxdx等，利用換元法就無法求解.接下 來要介紹另一種根本積分法一一分部積分法.設(shè)函數(shù)u u(x)和v v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么 d(uv) vdu udv 移項(xiàng)得到 udv d(uv) vdu,所以有udv uv

19、vdu ,或uv dx uv u vd .上面兩個式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵在于如何將所給積分f(x)dx化成udv的形式，使它更容易計(jì)算.所采用的主要方法就是.word.zl.湊微分法，例如，xexdxxd ex xexexdx xex ex C （x 1）ex C利用分部積分法計(jì)算不定積分，選擇好 u,v非常關(guān)鍵，選擇不當(dāng) 將會使積分的計(jì)算變得更加復(fù)雜。下面將通過例題介紹分部積分法的 應(yīng)用。例5.1 ：求不定積分 x cos xdx .解令 u x , cosxdx d sin x dv ,那么xcosxdxxd sin x xsin x sin xdx xsi

20、n x cosx C有些函數(shù)的積分需要連續(xù)屢次應(yīng)用分部積分法。例52求不定積分 x2 exdx.解令ux2和dv exdx,那么x2 exdxxd ex 2 x exdx .對后面的不定積分再用分部積分法，xexdxxd ex xex ex C（運(yùn)算熟練后，式子中不再指出u和v 了），代入前式即得x2 exdx（x2 2x 2）ex C.注：假設(shè)被積函數(shù)是募函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與指數(shù)函數(shù)或正（余） 弦函數(shù)的乘積，可設(shè)募函數(shù)為u,而將其余局部湊微分進(jìn)入微分符號， 使得應(yīng)用分部積分公式后，哥函數(shù)的哥次降低一次（哥指相碰哥為u）。例5.3：求不定積分 xarctanxdx.-.word.zl.解令

21、u arctan x , xdx2xd萬，那么x arctan xdx2 x , arctan x2x .一 arctan x22x .一 arctan x222d2J)dx1 xd (arctan x)1 ,、八-(x arctanx) C注：假設(shè)被積函數(shù)是哥指函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積 可設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u,而將募函數(shù)湊微分進(jìn)入微分號，使得應(yīng)用分部積分公式后，對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失（哥又t角（反三角 函數(shù)），對角u）.例5.4：求不定積分 exsin xdxsin xdx sin xd ex (取三角函數(shù)為u)exsin xexd(sin x)exsin xexcosxdxexsin xcosxdex（再取三角函數(shù)為u）exsin x(excosxexd cos x)ex(sin xcosx)exsin xdxx解得exsinxdx ；(sinx cosx) C.word.zl.注：假設(shè)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積時，u,dv可隨意